Theorem subnegd 10399

Description: Relationship between subtraction and negative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	|- ( ph -> A e. CC )
pncand.2	|- ( ph -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
subnegd	|- ( ph -> ( A - -u B ) = ( A + B ) )

Proof of Theorem subnegd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		pncand.2	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
3		subneg 10330	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - -u B ) = ( A + B ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 693	1 |- ( ph -> ( A - -u B ) = ( A + B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990  (class class class)co 6650   CCcc 9934   + caddc 9939   - cmin 10266   -ucneg 10267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079  df-sub 10268  df-neg 10269

This theorem is referenced by:  possumd  10652  dfceil2  12640  addmodlteq  12745  ipcnval  13883  fallfacfwd  14767  cossub  14899  znunit  19912  cphsqrtcl2  22986  ulmshft  24144  ptolemy  24248  efeq1  24275  quad2  24566  dcubic2  24571  dcubic  24573  mcubic  24574  dquartlem1  24578  quart  24588  asinlem  24595  asinlem2  24596  sinasin  24616  asinsin  24619  atandmtan  24647  atantan  24650  lgamgulmlem2  24756  lgambdd  24763  lgamucov  24764  lgseisenlem2  25101  rpvmasum2  25201  chpdifbndlem1  25242  pntrsumo1  25254  pntrlog2bndlem4  25269  nvabs  27527  breprexplemc  30710  logdivsqrle  30728  poimirlem29  33438  areacirc  33505  acongrep  37547  acongeq  37550  jm2.25  37566  jm2.26lem3  37568  radcnvrat  38513  dvradcnv2  38546  binomcxplemnotnn0  38555  fperiodmul  39518  itgsincmulx  40190  fourierdlem103  40426  fourierdlem109  40432  fourierdlem111  40434  sqwvfoura  40445  etransclem46  40497  hoicvrrex  40770  sigarms  41045  fmtnorec3  41460  2pwp1prm  41503