Theorem rearchi 29842

Description: The field of the real numbers is Archimedean. See also arch 11289. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Apr-2018.)

Assertion

Ref	Expression
rearchi	|- RRfld e. Archi

Proof of Theorem rearchi

Dummy variables x n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reofld 29840	. . 3 |- RRfld e. oField
2		rebase 19952	. . . 4 |- RR = ( Base ` RRfld )
3		eqid 2622	. . . 4 |- ( ZRHom ` RRfld ) = ( ZRHom ` RRfld )
4		relt 19961	. . . 4 |- < = ( lt ` RRfld )
5	2, 3, 4	isarchiofld 29817	. . 3 |- (RRfld e. oField -> (RRfld e. Archi <-> A. x e. RR E. n e. NN x < ( ( ZRHom ` RRfld ) ` n ) ) )
6	1, 5	ax-mp 5	. 2 |- (RRfld e. Archi <-> A. x e. RR E. n e. NN x < ( ( ZRHom ` RRfld ) ` n ) )
7		arch 11289	. . 3 |- ( x e. RR -> E. n e. NN x < n )
8		nnz 11399	. . . . 5 |- ( n e. NN -> n e. ZZ )
9		refld 19965	. . . . . . . . 9 |- RRfld e. Field
10		isfld 18756	. . . . . . . . . 10 |- (RRfld e. Field <-> (RRfld e. DivRing /\ RRfld e. CRing ) )
11	10	simplbi 476	. . . . . . . . 9 |- (RRfld e. Field -> RRfld e. DivRing )
12		drngring 18754	. . . . . . . . 9 |- (RRfld e. DivRing -> RRfld e. Ring )
13	9, 11, 12	mp2b 10	. . . . . . . 8 |- RRfld e. Ring
14		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- (.g ` RRfld ) = (.g ` RRfld )
15		re1r 19959	. . . . . . . . 9 |- 1 = ( 1r ` RRfld )
16	3, 14, 15	zrhmulg 19858	. . . . . . . 8 |- ( (RRfld e. Ring /\ n e. ZZ ) -> ( ( ZRHom ` RRfld ) ` n ) = ( n (.g ` RRfld ) 1 ) )
17	13, 16	mpan 706	. . . . . . 7 |- ( n e. ZZ -> ( ( ZRHom ` RRfld ) ` n ) = ( n (.g ` RRfld ) 1 ) )
18		1re 10039	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR
19		remulg 19953	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. ZZ /\ 1 e. RR ) -> ( n (.g ` RRfld ) 1 ) = ( n x. 1 ) )
20	18, 19	mpan2 707	. . . . . . 7 |- ( n e. ZZ -> ( n (.g ` RRfld ) 1 ) = ( n x. 1 ) )
21		zcn 11382	. . . . . . . 8 |- ( n e. ZZ -> n e. CC )
22	21	mulid1d 10057	. . . . . . 7 |- ( n e. ZZ -> ( n x. 1 ) = n )
23	17, 20, 22	3eqtrd 2660	. . . . . 6 |- ( n e. ZZ -> ( ( ZRHom ` RRfld ) ` n ) = n )
24	23	breq2d 4665	. . . . 5 |- ( n e. ZZ -> ( x < ( ( ZRHom ` RRfld ) ` n ) <-> x < n ) )
25	8, 24	syl 17	. . . 4 |- ( n e. NN -> ( x < ( ( ZRHom ` RRfld ) ` n ) <-> x < n ) )
26	25	rexbiia 3040	. . 3 |- ( E. n e. NN x < ( ( ZRHom ` RRfld ) ` n ) <-> E. n e. NN x < n )
27	7, 26	sylibr 224	. 2 |- ( x e. RR -> E. n e. NN x < ( ( ZRHom ` RRfld ) ` n ) )
28	6, 27	mprgbir 2927	1 |- RRfld e. Archi

Syntax hints:   <-> wb 196   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   1c1 9937   x. cmul 9941   < clt 10074   NNcn 11020   ZZcz 11377  ._gcmg 17540   Ringcrg 18547   CRingccrg 18548   DivRingcdr 18747  Fieldcfield 18748   ZRHomczrh 19848  RRfldcrefld 19950  Archicarchi 29731  oFieldcofld 29796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-seq 12802  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-toset 17034  df-ps 17200  df-tsr 17201  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cmn 18195  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-rnghom 18715  df-drng 18749  df-field 18750  df-subrg 18778  df-cnfld 19747  df-zring 19819  df-zrh 19852  df-refld 19951  df-omnd 29699  df-ogrp 29700  df-inftm 29732  df-archi 29733  df-orng 29797  df-ofld 29798

This theorem is referenced by:  nn0archi  29843