Theorem qqhval2lem 30025

Description: Lemma for qqhval2 30026. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
qqhval2.0	|- B = ( Base ` R )
qqhval2.1	|- ./ = (/r ` R )
qqhval2.2	|- L = ( ZRHom ` R )

Assertion

Ref	Expression
qqhval2lem	|- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( ( L ` (numer ` ( X / Y ) ) ) ./ ( L ` (denom ` ( X / Y ) ) ) ) = ( ( L ` X ) ./ ( L ` Y ) ) )

Proof of Theorem qqhval2lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drngring 18754	. . . . 5 |- ( R e. DivRing -> R e. Ring )
2		qqhval2.2	. . . . . 6 |- L = ( ZRHom ` R )
3	2	zrhrhm 19860	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> L e. (ℤring RingHom R ) )
4	1, 3	syl 17	. . . 4 |- ( R e. DivRing -> L e. (ℤring RingHom R ) )
5	4	ad2antrr 762	. . 3 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> L e. (ℤring RingHom R ) )
6		simpr1 1067	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> X e. ZZ )
7		simpr2 1068	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> Y e. ZZ )
8	6, 7	gcdcld 15230	. . . . 5 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( X gcd Y ) e. NN0 )
9	8	nn0zd 11480	. . . 4 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( X gcd Y ) e. ZZ )
10		simpr3 1069	. . . . 5 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> Y =/= 0 )
11		gcdeq0 15238	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) -> ( ( X gcd Y ) = 0 <-> ( X = 0 /\ Y = 0 ) ) )
12	11	simplbda 654	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) /\ ( X gcd Y ) = 0 ) -> Y = 0 )
13	12	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) -> ( ( X gcd Y ) = 0 -> Y = 0 ) )
14	13	necon3d 2815	. . . . . 6 |- ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) -> ( Y =/= 0 -> ( X gcd Y ) =/= 0 ) )
15	14	imp 445	. . . . 5 |- ( ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) /\ Y =/= 0 ) -> ( X gcd Y ) =/= 0 )
16	6, 7, 10, 15	syl21anc 1325	. . . 4 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( X gcd Y ) =/= 0 )
17		gcddvds 15225	. . . . . 6 |- ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) -> ( ( X gcd Y ) || X /\ ( X gcd Y ) || Y ) )
18	6, 7, 17	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( ( X gcd Y ) || X /\ ( X gcd Y ) || Y ) )
19	18	simpld 475	. . . 4 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( X gcd Y ) || X )
20		dvdsval2 14986	. . . . 5 |- ( ( ( X gcd Y ) e. ZZ /\ ( X gcd Y ) =/= 0 /\ X e. ZZ ) -> ( ( X gcd Y ) || X <-> ( X / ( X gcd Y ) ) e. ZZ ) )
21	20	biimpa 501	. . . 4 |- ( ( ( ( X gcd Y ) e. ZZ /\ ( X gcd Y ) =/= 0 /\ X e. ZZ ) /\ ( X gcd Y ) || X ) -> ( X / ( X gcd Y ) ) e. ZZ )
22	9, 16, 6, 19, 21	syl31anc 1329	. . 3 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( X / ( X gcd Y ) ) e. ZZ )
23	18	simprd 479	. . . 4 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( X gcd Y ) || Y )
24		dvdsval2 14986	. . . . 5 |- ( ( ( X gcd Y ) e. ZZ /\ ( X gcd Y ) =/= 0 /\ Y e. ZZ ) -> ( ( X gcd Y ) || Y <-> ( Y / ( X gcd Y ) ) e. ZZ ) )
25	24	biimpa 501	. . . 4 |- ( ( ( ( X gcd Y ) e. ZZ /\ ( X gcd Y ) =/= 0 /\ Y e. ZZ ) /\ ( X gcd Y ) || Y ) -> ( Y / ( X gcd Y ) ) e. ZZ )
26	9, 16, 7, 23, 25	syl31anc 1329	. . 3 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( Y / ( X gcd Y ) ) e. ZZ )
27		zringbas 19824	. . . . . . 7 |- ZZ = ( Base ` ℤring )
28		qqhval2.0	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` R )
29	27, 28	rhmf 18726	. . . . . 6 |- ( L e. (ℤring RingHom R ) -> L : ZZ --> B )
30	5, 29	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> L : ZZ --> B )
31	30, 26	ffvelrnd 6360	. . . 4 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) e. B )
32		ffn 6045	. . . . . 6 |- ( L : ZZ --> B -> L Fn ZZ )
33	30, 32	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> L Fn ZZ )
34	7	zcnd 11483	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> Y e. CC )
35	9	zcnd 11483	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( X gcd Y ) e. CC )
36	34, 35, 10, 16	divne0d 10817	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( Y / ( X gcd Y ) ) =/= 0 )
37		ovex 6678	. . . . . . . . 9 |- ( Y / ( X gcd Y ) ) e. _V
38	37	elsn 4192	. . . . . . . 8 |- ( ( Y / ( X gcd Y ) ) e. { 0 } <-> ( Y / ( X gcd Y ) ) = 0 )
39	38	necon3bbii 2841	. . . . . . 7 |- ( -. ( Y / ( X gcd Y ) ) e. { 0 } <-> ( Y / ( X gcd Y ) ) =/= 0 )
40	36, 39	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> -. ( Y / ( X gcd Y ) ) e. { 0 } )
41	1	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> R e. Ring )
42		simplr 792	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> (chr ` R ) = 0 )
43		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
44	28, 2, 43	zrhker 30021	. . . . . . . 8 |- ( R e. Ring -> ( (chr ` R ) = 0 <-> ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) = { 0 } ) )
45	44	biimpa 501	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ (chr ` R ) = 0 ) -> ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) = { 0 } )
46	41, 42, 45	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) = { 0 } )
47	40, 46	neleqtrrd 2723	. . . . 5 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> -. ( Y / ( X gcd Y ) ) e. ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) )
48		elpreima 6337	. . . . . . . . 9 |- ( L Fn ZZ -> ( ( Y / ( X gcd Y ) ) e. ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) <-> ( ( Y / ( X gcd Y ) ) e. ZZ /\ ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) e. { ( 0g ` R ) } ) ) )
49	48	baibd 948	. . . . . . . 8 |- ( ( L Fn ZZ /\ ( Y / ( X gcd Y ) ) e. ZZ ) -> ( ( Y / ( X gcd Y ) ) e. ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) <-> ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) e. { ( 0g ` R ) } ) )
50	49	biimprd 238	. . . . . . 7 |- ( ( L Fn ZZ /\ ( Y / ( X gcd Y ) ) e. ZZ ) -> ( ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) e. { ( 0g ` R ) } -> ( Y / ( X gcd Y ) ) e. ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) ) )
51	50	con3dimp 457	. . . . . 6 |- ( ( ( L Fn ZZ /\ ( Y / ( X gcd Y ) ) e. ZZ ) /\ -. ( Y / ( X gcd Y ) ) e. ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) ) -> -. ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) e. { ( 0g ` R ) } )
52		fvex 6201	. . . . . . . 8 |- ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) e. _V
53	52	elsn 4192	. . . . . . 7 |- ( ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) e. { ( 0g ` R ) } <-> ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) = ( 0g ` R ) )
54	53	necon3bbii 2841	. . . . . 6 |- ( -. ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) e. { ( 0g ` R ) } <-> ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) =/= ( 0g ` R ) )
55	51, 54	sylib 208	. . . . 5 |- ( ( ( L Fn ZZ /\ ( Y / ( X gcd Y ) ) e. ZZ ) /\ -. ( Y / ( X gcd Y ) ) e. ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) ) -> ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) =/= ( 0g ` R ) )
56	33, 26, 47, 55	syl21anc 1325	. . . 4 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) =/= ( 0g ` R ) )
57		eqid 2622	. . . . . 6 |- (Unit ` R ) = (Unit ` R )
58	28, 57, 43	drngunit 18752	. . . . 5 |- ( R e. DivRing -> ( ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) e. (Unit ` R ) <-> ( ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) e. B /\ ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) =/= ( 0g ` R ) ) ) )
59	58	ad2antrr 762	. . . 4 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) e. (Unit ` R ) <-> ( ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) e. B /\ ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) =/= ( 0g ` R ) ) ) )
60	31, 56, 59	mpbir2and 957	. . 3 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) e. (Unit ` R ) )
61	30, 9	ffvelrnd 6360	. . . 4 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( L ` ( X gcd Y ) ) e. B )
62		ovex 6678	. . . . . . . . 9 |- ( X gcd Y ) e. _V
63	62	elsn 4192	. . . . . . . 8 |- ( ( X gcd Y ) e. { 0 } <-> ( X gcd Y ) = 0 )
64	63	necon3bbii 2841	. . . . . . 7 |- ( -. ( X gcd Y ) e. { 0 } <-> ( X gcd Y ) =/= 0 )
65	16, 64	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> -. ( X gcd Y ) e. { 0 } )
66	65, 46	neleqtrrd 2723	. . . . 5 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> -. ( X gcd Y ) e. ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) )
67		elpreima 6337	. . . . . . . . 9 |- ( L Fn ZZ -> ( ( X gcd Y ) e. ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) <-> ( ( X gcd Y ) e. ZZ /\ ( L ` ( X gcd Y ) ) e. { ( 0g ` R ) } ) ) )
68	67	baibd 948	. . . . . . . 8 |- ( ( L Fn ZZ /\ ( X gcd Y ) e. ZZ ) -> ( ( X gcd Y ) e. ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) <-> ( L ` ( X gcd Y ) ) e. { ( 0g ` R ) } ) )
69	68	biimprd 238	. . . . . . 7 |- ( ( L Fn ZZ /\ ( X gcd Y ) e. ZZ ) -> ( ( L ` ( X gcd Y ) ) e. { ( 0g ` R ) } -> ( X gcd Y ) e. ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) ) )
70	69	con3dimp 457	. . . . . 6 |- ( ( ( L Fn ZZ /\ ( X gcd Y ) e. ZZ ) /\ -. ( X gcd Y ) e. ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) ) -> -. ( L ` ( X gcd Y ) ) e. { ( 0g ` R ) } )
71		fvex 6201	. . . . . . . 8 |- ( L ` ( X gcd Y ) ) e. _V
72	71	elsn 4192	. . . . . . 7 |- ( ( L ` ( X gcd Y ) ) e. { ( 0g ` R ) } <-> ( L ` ( X gcd Y ) ) = ( 0g ` R ) )
73	72	necon3bbii 2841	. . . . . 6 |- ( -. ( L ` ( X gcd Y ) ) e. { ( 0g ` R ) } <-> ( L ` ( X gcd Y ) ) =/= ( 0g ` R ) )
74	70, 73	sylib 208	. . . . 5 |- ( ( ( L Fn ZZ /\ ( X gcd Y ) e. ZZ ) /\ -. ( X gcd Y ) e. ( `' L " { ( 0g ` R ) } ) ) -> ( L ` ( X gcd Y ) ) =/= ( 0g ` R ) )
75	33, 9, 66, 74	syl21anc 1325	. . . 4 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( L ` ( X gcd Y ) ) =/= ( 0g ` R ) )
76	28, 57, 43	drngunit 18752	. . . . 5 |- ( R e. DivRing -> ( ( L ` ( X gcd Y ) ) e. (Unit ` R ) <-> ( ( L ` ( X gcd Y ) ) e. B /\ ( L ` ( X gcd Y ) ) =/= ( 0g ` R ) ) ) )
77	76	ad2antrr 762	. . . 4 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( ( L ` ( X gcd Y ) ) e. (Unit ` R ) <-> ( ( L ` ( X gcd Y ) ) e. B /\ ( L ` ( X gcd Y ) ) =/= ( 0g ` R ) ) ) )
78	61, 75, 77	mpbir2and 957	. . 3 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( L ` ( X gcd Y ) ) e. (Unit ` R ) )
79		qqhval2.1	. . . 4 |- ./ = (/r ` R )
80		zringmulr 19827	. . . 4 |- x. = ( .r ` ℤring )
81	57, 27, 79, 80	rhmdvd 29821	. . 3 |- ( ( L e. (ℤring RingHom R ) /\ ( ( X / ( X gcd Y ) ) e. ZZ /\ ( Y / ( X gcd Y ) ) e. ZZ /\ ( X gcd Y ) e. ZZ ) /\ ( ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) e. (Unit ` R ) /\ ( L ` ( X gcd Y ) ) e. (Unit ` R ) ) ) -> ( ( L ` ( X / ( X gcd Y ) ) ) ./ ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) ) = ( ( L ` ( ( X / ( X gcd Y ) ) x. ( X gcd Y ) ) ) ./ ( L ` ( ( Y / ( X gcd Y ) ) x. ( X gcd Y ) ) ) ) )
82	5, 22, 26, 9, 60, 78, 81	syl132anc 1344	. 2 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( ( L ` ( X / ( X gcd Y ) ) ) ./ ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) ) = ( ( L ` ( ( X / ( X gcd Y ) ) x. ( X gcd Y ) ) ) ./ ( L ` ( ( Y / ( X gcd Y ) ) x. ( X gcd Y ) ) ) ) )
83		divnumden 15456	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. ZZ /\ Y e. NN ) -> ( (numer ` ( X / Y ) ) = ( X / ( X gcd Y ) ) /\ (denom ` ( X / Y ) ) = ( Y / ( X gcd Y ) ) ) )
84	6, 83	sylan 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ Y e. NN ) -> ( (numer ` ( X / Y ) ) = ( X / ( X gcd Y ) ) /\ (denom ` ( X / Y ) ) = ( Y / ( X gcd Y ) ) ) )
85	84	simpld 475	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ Y e. NN ) -> (numer ` ( X / Y ) ) = ( X / ( X gcd Y ) ) )
86	85	eqcomd 2628	. . . . 5 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ Y e. NN ) -> ( X / ( X gcd Y ) ) = (numer ` ( X / Y ) ) )
87	86	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ Y e. NN ) -> ( L ` ( X / ( X gcd Y ) ) ) = ( L ` (numer ` ( X / Y ) ) ) )
88	84	simprd 479	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ Y e. NN ) -> (denom ` ( X / Y ) ) = ( Y / ( X gcd Y ) ) )
89	88	eqcomd 2628	. . . . 5 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ Y e. NN ) -> ( Y / ( X gcd Y ) ) = (denom ` ( X / Y ) ) )
90	89	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ Y e. NN ) -> ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) = ( L ` (denom ` ( X / Y ) ) ) )
91	87, 90	oveq12d 6668	. . 3 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ Y e. NN ) -> ( ( L ` ( X / ( X gcd Y ) ) ) ./ ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) ) = ( ( L ` (numer ` ( X / Y ) ) ) ./ ( L ` (denom ` ( X / Y ) ) ) ) )
92	22	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( X / ( X gcd Y ) ) e. ZZ )
93	92	zcnd 11483	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( X / ( X gcd Y ) ) e. CC )
94	93	mulm1d 10482	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( -u 1 x. ( X / ( X gcd Y ) ) ) = -u ( X / ( X gcd Y ) ) )
95		neg1cn 11124	. . . . . . . . 9 |- -u 1 e. CC
96	95	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> -u 1 e. CC )
97	96, 93	mulcomd 10061	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( -u 1 x. ( X / ( X gcd Y ) ) ) = ( ( X / ( X gcd Y ) ) x. -u 1 ) )
98	94, 97	eqtr3d 2658	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> -u ( X / ( X gcd Y ) ) = ( ( X / ( X gcd Y ) ) x. -u 1 ) )
99	98	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( L ` -u ( X / ( X gcd Y ) ) ) = ( L ` ( ( X / ( X gcd Y ) ) x. -u 1 ) ) )
100	26	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( Y / ( X gcd Y ) ) e. ZZ )
101	100	zcnd 11483	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( Y / ( X gcd Y ) ) e. CC )
102	101	mulm1d 10482	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( -u 1 x. ( Y / ( X gcd Y ) ) ) = -u ( Y / ( X gcd Y ) ) )
103	96, 101	mulcomd 10061	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( -u 1 x. ( Y / ( X gcd Y ) ) ) = ( ( Y / ( X gcd Y ) ) x. -u 1 ) )
104	102, 103	eqtr3d 2658	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> -u ( Y / ( X gcd Y ) ) = ( ( Y / ( X gcd Y ) ) x. -u 1 ) )
105	104	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( L ` -u ( Y / ( X gcd Y ) ) ) = ( L ` ( ( Y / ( X gcd Y ) ) x. -u 1 ) ) )
106	99, 105	oveq12d 6668	. . . 4 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( ( L ` -u ( X / ( X gcd Y ) ) ) ./ ( L ` -u ( Y / ( X gcd Y ) ) ) ) = ( ( L ` ( ( X / ( X gcd Y ) ) x. -u 1 ) ) ./ ( L ` ( ( Y / ( X gcd Y ) ) x. -u 1 ) ) ) )
107	6	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> X e. ZZ )
108	7	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> Y e. ZZ )
109		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> -u Y e. NN )
110		divnumden2 29564	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ -u Y e. NN ) -> ( (numer ` ( X / Y ) ) = -u ( X / ( X gcd Y ) ) /\ (denom ` ( X / Y ) ) = -u ( Y / ( X gcd Y ) ) ) )
111	107, 108, 109, 110	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( (numer ` ( X / Y ) ) = -u ( X / ( X gcd Y ) ) /\ (denom ` ( X / Y ) ) = -u ( Y / ( X gcd Y ) ) ) )
112	111	simpld 475	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> (numer ` ( X / Y ) ) = -u ( X / ( X gcd Y ) ) )
113	112	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( L ` (numer ` ( X / Y ) ) ) = ( L ` -u ( X / ( X gcd Y ) ) ) )
114	111	simprd 479	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> (denom ` ( X / Y ) ) = -u ( Y / ( X gcd Y ) ) )
115	114	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( L ` (denom ` ( X / Y ) ) ) = ( L ` -u ( Y / ( X gcd Y ) ) ) )
116	113, 115	oveq12d 6668	. . . 4 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( ( L ` (numer ` ( X / Y ) ) ) ./ ( L ` (denom ` ( X / Y ) ) ) ) = ( ( L ` -u ( X / ( X gcd Y ) ) ) ./ ( L ` -u ( Y / ( X gcd Y ) ) ) ) )
117	5	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> L e. (ℤring RingHom R ) )
118		1zzd 11408	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> 1 e. ZZ )
119	118	znegcld 11484	. . . . 5 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> -u 1 e. ZZ )
120	60	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) e. (Unit ` R ) )
121		neg1z 11413	. . . . . . . 8 |- -u 1 e. ZZ
122		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. CC
123	122	absnegi 14139	. . . . . . . . 9 |- ( abs ` -u 1 ) = ( abs ` 1 )
124		abs1 14037	. . . . . . . . 9 |- ( abs ` 1 ) = 1
125	123, 124	eqtri 2644	. . . . . . . 8 |- ( abs ` -u 1 ) = 1
126		zringunit 19836	. . . . . . . 8 |- ( -u 1 e. (Unit ` ℤring ) <-> ( -u 1 e. ZZ /\ ( abs ` -u 1 ) = 1 ) )
127	121, 125, 126	mpbir2an 955	. . . . . . 7 |- -u 1 e. (Unit ` ℤring )
128	127	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> -u 1 e. (Unit ` ℤring ) )
129		elrhmunit 29820	. . . . . 6 |- ( ( L e. (ℤring RingHom R ) /\ -u 1 e. (Unit ` ℤring ) ) -> ( L ` -u 1 ) e. (Unit ` R ) )
130	117, 128, 129	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( L ` -u 1 ) e. (Unit ` R ) )
131	57, 27, 79, 80	rhmdvd 29821	. . . . 5 |- ( ( L e. (ℤring RingHom R ) /\ ( ( X / ( X gcd Y ) ) e. ZZ /\ ( Y / ( X gcd Y ) ) e. ZZ /\ -u 1 e. ZZ ) /\ ( ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) e. (Unit ` R ) /\ ( L ` -u 1 ) e. (Unit ` R ) ) ) -> ( ( L ` ( X / ( X gcd Y ) ) ) ./ ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) ) = ( ( L ` ( ( X / ( X gcd Y ) ) x. -u 1 ) ) ./ ( L ` ( ( Y / ( X gcd Y ) ) x. -u 1 ) ) ) )
132	117, 92, 100, 119, 120, 130, 131	syl132anc 1344	. . . 4 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( ( L ` ( X / ( X gcd Y ) ) ) ./ ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) ) = ( ( L ` ( ( X / ( X gcd Y ) ) x. -u 1 ) ) ./ ( L ` ( ( Y / ( X gcd Y ) ) x. -u 1 ) ) ) )
133	106, 116, 132	3eqtr4rd 2667	. . 3 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) /\ -u Y e. NN ) -> ( ( L ` ( X / ( X gcd Y ) ) ) ./ ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) ) = ( ( L ` (numer ` ( X / Y ) ) ) ./ ( L ` (denom ` ( X / Y ) ) ) ) )
134		simp3 1063	. . . . . 6 |- ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) -> Y =/= 0 )
135	134	neneqd 2799	. . . . 5 |- ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) -> -. Y = 0 )
136		simp2 1062	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) -> Y e. ZZ )
137		elz 11379	. . . . . . . 8 |- ( Y e. ZZ <-> ( Y e. RR /\ ( Y = 0 \/ Y e. NN \/ -u Y e. NN ) ) )
138	136, 137	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) -> ( Y e. RR /\ ( Y = 0 \/ Y e. NN \/ -u Y e. NN ) ) )
139	138	simprd 479	. . . . . 6 |- ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) -> ( Y = 0 \/ Y e. NN \/ -u Y e. NN ) )
140		3orass 1040	. . . . . 6 |- ( ( Y = 0 \/ Y e. NN \/ -u Y e. NN ) <-> ( Y = 0 \/ ( Y e. NN \/ -u Y e. NN ) ) )
141	139, 140	sylib 208	. . . . 5 |- ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) -> ( Y = 0 \/ ( Y e. NN \/ -u Y e. NN ) ) )
142		orel1 397	. . . . 5 |- ( -. Y = 0 -> ( ( Y = 0 \/ ( Y e. NN \/ -u Y e. NN ) ) -> ( Y e. NN \/ -u Y e. NN ) ) )
143	135, 141, 142	sylc 65	. . . 4 |- ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) -> ( Y e. NN \/ -u Y e. NN ) )
144	143	adantl 482	. . 3 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( Y e. NN \/ -u Y e. NN ) )
145	91, 133, 144	mpjaodan 827	. 2 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( ( L ` ( X / ( X gcd Y ) ) ) ./ ( L ` ( Y / ( X gcd Y ) ) ) ) = ( ( L ` (numer ` ( X / Y ) ) ) ./ ( L ` (denom ` ( X / Y ) ) ) ) )
146	6	zcnd 11483	. . . . 5 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> X e. CC )
147	146, 35, 16	divcan1d 10802	. . . 4 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( ( X / ( X gcd Y ) ) x. ( X gcd Y ) ) = X )
148	147	fveq2d 6195	. . 3 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( L ` ( ( X / ( X gcd Y ) ) x. ( X gcd Y ) ) ) = ( L ` X ) )
149	34, 35, 16	divcan1d 10802	. . . 4 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( ( Y / ( X gcd Y ) ) x. ( X gcd Y ) ) = Y )
150	149	fveq2d 6195	. . 3 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( L ` ( ( Y / ( X gcd Y ) ) x. ( X gcd Y ) ) ) = ( L ` Y ) )
151	148, 150	oveq12d 6668	. 2 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( ( L ` ( ( X / ( X gcd Y ) ) x. ( X gcd Y ) ) ) ./ ( L ` ( ( Y / ( X gcd Y ) ) x. ( X gcd Y ) ) ) ) = ( ( L ` X ) ./ ( L ` Y ) ) )
152	82, 145, 151	3eqtr3d 2664	1 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) ) -> ( ( L ` (numer ` ( X / Y ) ) ) ./ ( L ` (denom ` ( X / Y ) ) ) ) = ( ( L ` X ) ./ ( L ` Y ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   \/ w3o 1036   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   {csn 4177   class class class wbr 4653   `'ccnv 5113   "cima 5117   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   ZZcz 11377   abscabs 13974   || cdvds 14983   gcd cgcd 15216  numercnumer 15441  denomcdenom 15442   Basecbs 15857   0gc0g 16100   Ringcrg 18547  Unitcui 18639  /_rcdvr 18682   RingHom crh 18712   DivRingcdr 18747  ℤ_ringzring 19818   ZRHomczrh 19848  chrcchr 19850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-numer 15443  df-denom 15444  df-gz 15634  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-od 17948  df-cmn 18195  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-rnghom 18715  df-drng 18749  df-subrg 18778  df-cnfld 19747  df-zring 19819  df-zrh 19852  df-chr 19854

This theorem is referenced by:  qqhval2  30026  qqhvq  30031