Theorem cphsubrglem 22977

Description: Lemma for cphsubrg 22980. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cphsubrglem.k	|- K = ( Base ` F )
cphsubrglem.1	|- ( ph -> F = (ℂfld ↾s A ) )
cphsubrglem.2	|- ( ph -> F e. DivRing )

Assertion

Ref	Expression
cphsubrglem	|- ( ph -> ( F = (ℂfld ↾s K ) /\ K = ( A i^i CC ) /\ K e. (SubRing ` ℂfld ) ) )

Proof of Theorem cphsubrglem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cphsubrglem.1	. . 3 |- ( ph -> F = (ℂfld ↾s A ) )
2		cphsubrglem.k	. . . . . 6 |- K = ( Base ` F )
3	1	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Base ` F ) = ( Base ` (ℂfld ↾s A ) ) )
4		cphsubrglem.2	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F e. DivRing )
5		drngring 18754	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F e. DivRing -> F e. Ring )
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F e. Ring )
7	1, 6	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> (ℂfld ↾s A ) e. Ring )
8		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( Base ` (ℂfld ↾s A ) ) = ( Base ` (ℂfld ↾s A ) )
9		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0g ` (ℂfld ↾s A ) ) = ( 0g ` (ℂfld ↾s A ) )
10	8, 9	ring0cl 18569	. . . . . . . . . 10 |- ( (ℂfld ↾s A ) e. Ring -> ( 0g ` (ℂfld ↾s A ) ) e. ( Base ` (ℂfld ↾s A ) ) )
11		reldmress 15926	. . . . . . . . . . 11 |- Rel dom ↾s
12		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- (ℂfld ↾s A ) = (ℂfld ↾s A )
13	11, 12, 8	elbasov 15921	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0g ` (ℂfld ↾s A ) ) e. ( Base ` (ℂfld ↾s A ) ) -> (ℂfld e. _V /\ A e. _V ) )
14	7, 10, 13	3syl 18	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> (ℂfld e. _V /\ A e. _V ) )
15	14	simprd 479	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. _V )
16		cnfldbas 19750	. . . . . . . . 9 |- CC = ( Base ` ℂfld )
17	12, 16	ressbas 15930	. . . . . . . 8 |- ( A e. _V -> ( A i^i CC ) = ( Base ` (ℂfld ↾s A ) ) )
18	15, 17	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A i^i CC ) = ( Base ` (ℂfld ↾s A ) ) )
19	3, 18	eqtr4d 2659	. . . . . 6 |- ( ph -> ( Base ` F ) = ( A i^i CC ) )
20	2, 19	syl5eq 2668	. . . . 5 |- ( ph -> K = ( A i^i CC ) )
21	20	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( ph -> (ℂfld ↾s K ) = (ℂfld ↾s ( A i^i CC ) ) )
22	16	ressinbas 15936	. . . . 5 |- ( A e. _V -> (ℂfld ↾s A ) = (ℂfld ↾s ( A i^i CC ) ) )
23	15, 22	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> (ℂfld ↾s A ) = (ℂfld ↾s ( A i^i CC ) ) )
24	21, 23	eqtr4d 2659	. . 3 |- ( ph -> (ℂfld ↾s K ) = (ℂfld ↾s A ) )
25	1, 24	eqtr4d 2659	. 2 |- ( ph -> F = (ℂfld ↾s K ) )
26	25, 6	eqeltrrd 2702	. . . 4 |- ( ph -> (ℂfld ↾s K ) e. Ring )
27		cnring 19768	. . . 4 |- ℂfld e. Ring
28	26, 27	jctil 560	. . 3 |- ( ph -> (ℂfld e. Ring /\ (ℂfld ↾s K ) e. Ring ) )
29	12, 16	ressbasss 15932	. . . . . 6 |- ( Base ` (ℂfld ↾s A ) ) C_ CC
30	3, 29	syl6eqss 3655	. . . . 5 |- ( ph -> ( Base ` F ) C_ CC )
31	2, 30	syl5eqss 3649	. . . 4 |- ( ph -> K C_ CC )
32		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( 0g ` F ) = ( 0g ` F )
33		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( 1r ` F ) = ( 1r ` F )
34	32, 33	drngunz 18762	. . . . . . . . 9 |- ( F e. DivRing -> ( 1r ` F ) =/= ( 0g ` F ) )
35	4, 34	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1r ` F ) =/= ( 0g ` F ) )
36	25	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0g ` F ) = ( 0g ` (ℂfld ↾s K ) ) )
37		ringgrp 18552	. . . . . . . . . . . 12 |- (ℂfld e. Ring -> ℂfld e. Grp )
38	27, 37	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ℂfld e. Grp )
39		ringgrp 18552	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (ℂfld ↾s K ) e. Ring -> (ℂfld ↾s K ) e. Grp )
40	26, 39	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> (ℂfld ↾s K ) e. Grp )
41	16	issubg 17594	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. (SubGrp ` ℂfld ) <-> (ℂfld e. Grp /\ K C_ CC /\ (ℂfld ↾s K ) e. Grp ) )
42	38, 31, 40, 41	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> K e. (SubGrp ` ℂfld ) )
43		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- (ℂfld ↾s K ) = (ℂfld ↾s K )
44		cnfld0 19770	. . . . . . . . . . 11 |- 0 = ( 0g ` ℂfld )
45	43, 44	subg0 17600	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. (SubGrp ` ℂfld ) -> 0 = ( 0g ` (ℂfld ↾s K ) ) )
46	42, 45	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 = ( 0g ` (ℂfld ↾s K ) ) )
47	36, 46	eqtr4d 2659	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 0g ` F ) = 0 )
48	35, 47	neeqtrd 2863	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1r ` F ) =/= 0 )
49	48	neneqd 2799	. . . . . 6 |- ( ph -> -. ( 1r ` F ) = 0 )
50	2, 33	ringidcl 18568	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F e. Ring -> ( 1r ` F ) e. K )
51	6, 50	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1r ` F ) e. K )
52	31, 51	sseldd 3604	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1r ` F ) e. CC )
53	52	sqvald 13005	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 1r ` F ) ^ 2 ) = ( ( 1r ` F ) x. ( 1r ` F ) ) )
54	25	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1r ` F ) = ( 1r ` (ℂfld ↾s K ) ) )
55	54	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 1r ` F ) x. ( 1r ` F ) ) = ( ( 1r ` (ℂfld ↾s K ) ) x. ( 1r ` F ) ) )
56	25	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( Base ` F ) = ( Base ` (ℂfld ↾s K ) ) )
57	2, 56	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> K = ( Base ` (ℂfld ↾s K ) ) )
58	51, 57	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1r ` F ) e. ( Base ` (ℂfld ↾s K ) ) )
59		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( Base ` (ℂfld ↾s K ) ) = ( Base ` (ℂfld ↾s K ) )
60		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Base ` F ) e. _V
61	2, 60	eqeltri 2697	. . . . . . . . . . . 12 |- K e. _V
62		cnfldmul 19752	. . . . . . . . . . . . 13 |- x. = ( .r ` ℂfld )
63	43, 62	ressmulr 16006	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. _V -> x. = ( .r ` (ℂfld ↾s K ) ) )
64	61, 63	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- x. = ( .r ` (ℂfld ↾s K ) )
65		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1r ` (ℂfld ↾s K ) ) = ( 1r ` (ℂfld ↾s K ) )
66	59, 64, 65	ringlidm 18571	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (ℂfld ↾s K ) e. Ring /\ ( 1r ` F ) e. ( Base ` (ℂfld ↾s K ) ) ) -> ( ( 1r ` (ℂfld ↾s K ) ) x. ( 1r ` F ) ) = ( 1r ` F ) )
67	26, 58, 66	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 1r ` (ℂfld ↾s K ) ) x. ( 1r ` F ) ) = ( 1r ` F ) )
68	53, 55, 67	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 1r ` F ) ^ 2 ) = ( 1r ` F ) )
69		sq01 12986	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1r ` F ) e. CC -> ( ( ( 1r ` F ) ^ 2 ) = ( 1r ` F ) <-> ( ( 1r ` F ) = 0 \/ ( 1r ` F ) = 1 ) ) )
70	52, 69	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( 1r ` F ) ^ 2 ) = ( 1r ` F ) <-> ( ( 1r ` F ) = 0 \/ ( 1r ` F ) = 1 ) ) )
71	68, 70	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1r ` F ) = 0 \/ ( 1r ` F ) = 1 ) )
72	71	ord 392	. . . . . 6 |- ( ph -> ( -. ( 1r ` F ) = 0 -> ( 1r ` F ) = 1 ) )
73	49, 72	mpd 15	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1r ` F ) = 1 )
74	73, 51	eqeltrrd 2702	. . . 4 |- ( ph -> 1 e. K )
75	31, 74	jca 554	. . 3 |- ( ph -> ( K C_ CC /\ 1 e. K ) )
76		cnfld1 19771	. . . 4 |- 1 = ( 1r ` ℂfld )
77	16, 76	issubrg 18780	. . 3 |- ( K e. (SubRing ` ℂfld ) <-> ( (ℂfld e. Ring /\ (ℂfld ↾s K ) e. Ring ) /\ ( K C_ CC /\ 1 e. K ) ) )
78	28, 75, 77	sylanbrc 698	. 2 |- ( ph -> K e. (SubRing ` ℂfld ) )
79	25, 20, 78	3jca 1242	1 |- ( ph -> ( F = (ℂfld ↾s K ) /\ K = ( A i^i CC ) /\ K e. (SubRing ` ℂfld ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   2c2 11070   ^cexp 12860   Basecbs 15857   ↾_s cress 15858   .rcmulr 15942   0gc0g 16100   Grpcgrp 17422  SubGrpcsubg 17588   1rcur 18501   Ringcrg 18547   DivRingcdr 18747  SubRingcsubrg 18776  ℂ_fldccnfld 19746

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-subg 17591  df-cmn 18195  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-drng 18749  df-subrg 18778  df-cnfld 19747

This theorem is referenced by:  cphreccllem  22978  cphsubrg  22980  tchclm  23031  tchcph  23036