MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elntg Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem elntg 25864
Description: The line definition in the Tarski structure for the Euclidean geometry. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
elntg.1 |- P = ( Base ` (EEG ` N ) )
elntg.2 |- I = (Itv ` (EEG ` N ) )
Assertion
Ref Expression
elntg |- ( N e. NN -> (LineG ` (EEG ` N ) ) = ( x e. P , y e. ( P \ { x } ) |-> { z e. P | ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) } ) )
Distinct variable groups:   x, y, z, N   z, P
Allowed substitution hints:   P( x, y)   I( x, y, z)
Proof of Theorem elntg
Dummy variable i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lngid 25342 . . 3 |- LineG = Slot (LineG ` ndx )
2 fvex 6201 . . . 4 |- (EEG ` N ) e. _V
32a1i 11 . . 3 |- ( N e. NN -> (EEG ` N ) e. _V )
4 eengstr 25860 . . . . 5 |- ( N e. NN -> (EEG ` N ) Struct <. 1 , ; 1 7 >. )
5 isstruct 15870 . . . . . 6 |- ( (EEG ` N ) Struct <. 1 , ; 1 7 >. <-> ( ( 1 e. NN /\ ; 1 7 e. NN /\ 1 <_ ; 1 7 ) /\ Fun ( (EEG ` N ) \ { (/) } ) /\ dom (EEG ` N ) C_ ( 1 ...; 1 7 ) ) )
65simp2bi 1077 . . . . 5 |- ( (EEG ` N ) Struct <. 1 , ; 1 7 >. -> Fun ( (EEG ` N ) \ { (/) } ) )
74, 6syl 17 . . . 4 |- ( N e. NN -> Fun ( (EEG ` N ) \ { (/) } ) )
8 structcnvcnv 15871 . . . . . 6 |- ( (EEG ` N ) Struct <. 1 , ; 1 7 >. -> `' `' (EEG ` N ) = ( (EEG ` N ) \ { (/) } ) )
94, 8syl 17 . . . . 5 |- ( N e. NN -> `' `' (EEG ` N ) = ( (EEG ` N ) \ { (/) } ) )
109funeqd 5910 . . . 4 |- ( N e. NN -> ( Fun `' `' (EEG ` N ) <-> Fun ( (EEG ` N ) \ { (/) } ) ) )
117, 10mpbird 247 . . 3 |- ( N e. NN -> Fun `' `' (EEG ` N ) )
12 opex 4932 . . . . . 6 |- <. (LineG ` ndx ) , ( x e. ( EE ` N ) , y e. ( ( EE ` N ) \ { x } ) |-> { z e. ( EE ` N ) | ( z Btwn <. x , y >. \/ x Btwn <. z , y >. \/ y Btwn <. x , z >. ) } ) >. e. _V
1312prid2 4298 . . . . 5 |- <. (LineG ` ndx ) , ( x e. ( EE ` N ) , y e. ( ( EE ` N ) \ { x } ) |-> { z e. ( EE ` N ) | ( z Btwn <. x , y >. \/ x Btwn <. z , y >. \/ y Btwn <. x , z >. ) } ) >. e. { <. (Itv ` ndx ) , ( x e. ( EE ` N ) , y e. ( EE ` N ) |-> { z e. ( EE ` N ) | z Btwn <. x , y >. } ) >. , <. (LineG ` ndx ) , ( x e. ( EE ` N ) , y e. ( ( EE ` N ) \ { x } ) |-> { z e. ( EE ` N ) | ( z Btwn <. x , y >. \/ x Btwn <. z , y >. \/ y Btwn <. x , z >. ) } ) >. }
14 elun2 3781 . . . . 5 |- ( <. (LineG ` ndx ) , ( x e. ( EE ` N ) , y e. ( ( EE ` N ) \ { x } ) |-> { z e. ( EE ` N ) | ( z Btwn <. x , y >. \/ x Btwn <. z , y >. \/ y Btwn <. x , z >. ) } ) >. e. { <. (Itv ` ndx ) , ( x e. ( EE ` N ) , y e. ( EE ` N ) |-> { z e. ( EE ` N ) | z Btwn <. x , y >. } ) >. , <. (LineG ` ndx ) , ( x e. ( EE ` N ) , y e. ( ( EE ` N ) \ { x } ) |-> { z e. ( EE ` N ) | ( z Btwn <. x , y >. \/ x Btwn <. z , y >. \/ y Btwn <. x , z >. ) } ) >. } -> <. (LineG ` ndx ) , ( x e. ( EE ` N ) , y e. ( ( EE ` N ) \ { x } ) |-> { z e. ( EE ` N ) | ( z Btwn <. x , y >. \/ x Btwn <. z , y >. \/ y Btwn <. x , z >. ) } ) >. e. ( { <. ( Base ` ndx ) , ( EE ` N ) >. , <. ( dist ` ndx ) , ( x e. ( EE ` N ) , y e. ( EE ` N ) |-> sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( x ` i ) - ( y ` i ) ) ^ 2 ) ) >. } u. { <. (Itv ` ndx ) , ( x e. ( EE ` N ) , y e. ( EE ` N ) |-> { z e. ( EE ` N ) | z Btwn <. x , y >. } ) >. , <. (LineG ` ndx ) , ( x e. ( EE ` N ) , y e. ( ( EE ` N ) \ { x } ) |-> { z e. ( EE ` N ) | ( z Btwn <. x , y >. \/ x Btwn <. z , y >. \/ y Btwn <. x , z >. ) } ) >. } ) )
1513, 14ax-mp 5 . . . 4 |- <. (LineG ` ndx ) , ( x e. ( EE ` N ) , y e. ( ( EE ` N ) \ { x } ) |-> { z e. ( EE ` N ) | ( z Btwn <. x , y >. \/ x Btwn <. z , y >. \/ y Btwn <. x , z >. ) } ) >. e. ( { <. ( Base ` ndx ) , ( EE ` N ) >. , <. ( dist ` ndx ) , ( x e. ( EE ` N ) , y e. ( EE ` N ) |-> sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( x ` i ) - ( y ` i ) ) ^ 2 ) ) >. } u. { <. (Itv ` ndx ) , ( x e. ( EE ` N ) , y e. ( EE ` N ) |-> { z e. ( EE ` N ) | z Btwn <. x , y >. } ) >. , <. (LineG ` ndx ) , ( x e. ( EE ` N ) , y e. ( ( EE ` N ) \ { x } ) |-> { z e. ( EE ` N ) | ( z Btwn <. x , y >. \/ x Btwn <. z , y >. \/ y Btwn <. x , z >. ) } ) >. } )
16 eengv 25859 . . . 4 |- ( N e. NN -> (EEG ` N ) = ( { <. ( Base ` ndx ) , ( EE ` N ) >. , <. ( dist ` ndx ) , ( x e. ( EE ` N ) , y e. ( EE ` N ) |-> sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( x ` i ) - ( y ` i ) ) ^ 2 ) ) >. } u. { <. (Itv ` ndx ) , ( x e. ( EE ` N ) , y e. ( EE ` N ) |-> { z e. ( EE ` N ) | z Btwn <. x , y >. } ) >. , <. (LineG ` ndx ) , ( x e. ( EE ` N ) , y e. ( ( EE ` N ) \ { x } ) |-> { z e. ( EE ` N ) | ( z Btwn <. x , y >. \/ x Btwn <. z , y >. \/ y Btwn <. x , z >. ) } ) >. } ) )
1715, 16syl5eleqr 2708 . . 3 |- ( N e. NN -> <. (LineG ` ndx ) , ( x e. ( EE ` N ) , y e. ( ( EE ` N ) \ { x } ) |-> { z e. ( EE ` N ) | ( z Btwn <. x , y >. \/ x Btwn <. z , y >. \/ y Btwn <. x , z >. ) } ) >. e. (EEG ` N ) )
18 fvex 6201 . . . . 5 |- ( EE ` N ) e. _V
19 difexg 4808 . . . . . 6 |- ( ( EE ` N ) e. _V -> ( ( EE ` N ) \ { x } ) e. _V )
2018, 19ax-mp 5 . . . . 5 |- ( ( EE ` N ) \ { x } ) e. _V
2118, 20mpt2ex 7247 . . . 4 |- ( x e. ( EE ` N ) , y e. ( ( EE ` N ) \ { x } ) |-> { z e. ( EE ` N ) | ( z Btwn <. x , y >. \/ x Btwn <. z , y >. \/ y Btwn <. x , z >. ) } ) e. _V
2221a1i 11 . . 3 |- ( N e. NN -> ( x e. ( EE ` N ) , y e. ( ( EE ` N ) \ { x } ) |-> { z e. ( EE ` N ) | ( z Btwn <. x , y >. \/ x Btwn <. z , y >. \/ y Btwn <. x , z >. ) } ) e. _V )
231, 3, 11, 17, 22strfv2d 15905 . 2 |- ( N e. NN -> ( x e. ( EE ` N ) , y e. ( ( EE ` N ) \ { x } ) |-> { z e. ( EE ` N ) | ( z Btwn <. x , y >. \/ x Btwn <. z , y >. \/ y Btwn <. x , z >. ) } ) = (LineG ` (EEG ` N ) ) )
24 eengbas 25861 . . . 4 |- ( N e. NN -> ( EE ` N ) = ( Base ` (EEG ` N ) ) )
25 elntg.1 . . . 4 |- P = ( Base ` (EEG ` N ) )
2624, 25syl6eqr 2674 . . 3 |- ( N e. NN -> ( EE ` N ) = P )
2726difeq1d 3727 . . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( EE ` N ) \ { x } ) = ( P \ { x } ) )
2827adantr 481 . . 3 |- ( ( N e. NN /\ x e. ( EE ` N ) ) -> ( ( EE ` N ) \ { x } ) = ( P \ { x } ) )
2926adantr 481 . . . 4 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. ( EE ` N ) /\ y e. ( ( EE ` N ) \ { x } ) ) ) -> ( EE ` N ) = P )
30 simpll 790 . . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ ( x e. ( EE ` N ) /\ y e. ( ( EE ` N ) \ { x } ) ) ) /\ z e. ( EE ` N ) ) -> N e. NN )
31 elntg.2 . . . . . 6 |- I = (Itv ` (EEG ` N ) )
32 simplrl 800 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ ( x e. ( EE ` N ) /\ y e. ( ( EE ` N ) \ { x } ) ) ) /\ z e. ( EE ` N ) ) -> x e. ( EE ` N ) )
3330, 26syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ ( x e. ( EE ` N ) /\ y e. ( ( EE ` N ) \ { x } ) ) ) /\ z e. ( EE ` N ) ) -> ( EE ` N ) = P )
3432, 33eleqtrd 2703 . . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ ( x e. ( EE ` N ) /\ y e. ( ( EE ` N ) \ { x } ) ) ) /\ z e. ( EE ` N ) ) -> x e. P )
35 simplrr 801 . . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ ( x e. ( EE ` N ) /\ y e. ( ( EE ` N ) \ { x } ) ) ) /\ z e. ( EE ` N ) ) -> y e. ( ( EE ` N ) \ { x } ) )
3635eldifad 3586 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ ( x e. ( EE ` N ) /\ y e. ( ( EE ` N ) \ { x } ) ) ) /\ z e. ( EE ` N ) ) -> y e. ( EE ` N ) )
3736, 33eleqtrd 2703 . . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ ( x e. ( EE ` N ) /\ y e. ( ( EE ` N ) \ { x } ) ) ) /\ z e. ( EE ` N ) ) -> y e. P )
38 simpr 477 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ ( x e. ( EE ` N ) /\ y e. ( ( EE ` N ) \ { x } ) ) ) /\ z e. ( EE ` N ) ) -> z e. ( EE ` N ) )
3938, 33eleqtrd 2703 . . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ ( x e. ( EE ` N ) /\ y e. ( ( EE ` N ) \ { x } ) ) ) /\ z e. ( EE ` N ) ) -> z e. P )
4030, 25, 31, 34, 37, 39ebtwntg 25862 . . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ ( x e. ( EE ` N ) /\ y e. ( ( EE ` N ) \ { x } ) ) ) /\ z e. ( EE ` N ) ) -> ( z Btwn <. x , y >. <-> z e. ( x I y ) ) )
4130, 25, 31, 39, 37, 34ebtwntg 25862 . . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ ( x e. ( EE ` N ) /\ y e. ( ( EE ` N ) \ { x } ) ) ) /\ z e. ( EE ` N ) ) -> ( x Btwn <. z , y >. <-> x e. ( z I y ) ) )
4230, 25, 31, 34, 39, 37ebtwntg 25862 . . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ ( x e. ( EE ` N ) /\ y e. ( ( EE ` N ) \ { x } ) ) ) /\ z e. ( EE ` N ) ) -> ( y Btwn <. x , z >. <-> y e. ( x I z ) ) )
4340, 41, 423orbi123d 1398 . . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ ( x e. ( EE ` N ) /\ y e. ( ( EE ` N ) \ { x } ) ) ) /\ z e. ( EE ` N ) ) -> ( ( z Btwn <. x , y >. \/ x Btwn <. z , y >. \/ y Btwn <. x , z >. ) <-> ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) )
4429, 43rabeqbidva 3196 . . 3 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. ( EE ` N ) /\ y e. ( ( EE ` N ) \ { x } ) ) ) -> { z e. ( EE ` N ) | ( z Btwn <. x , y >. \/ x Btwn <. z , y >. \/ y Btwn <. x , z >. ) } = { z e. P | ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) } )
4526, 28, 44mpt2eq123dva 6716 . 2 |- ( N e. NN -> ( x e. ( EE ` N ) , y e. ( ( EE ` N ) \ { x } ) |-> { z e. ( EE ` N ) | ( z Btwn <. x , y >. \/ x Btwn <. z , y >. \/ y Btwn <. x , z >. ) } ) = ( x e. P , y e. ( P \ { x } ) |-> { z e. P | ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) } ) )
4623, 45eqtr3d 2658 1 |- ( N e. NN -> (LineG ` (EEG ` N ) ) = ( x e. P , y e. ( P \ { x } ) |-> { z e. P | ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   \/ w3o 1036   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   {cpr 4179   <.cop 4183   class class class wbr 4653   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   Fun wfun 5882   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   1c1 9937   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   2c2 11070   7c7 11075  ;cdc 11493   ...cfz 12326   ^cexp 12860   sum_csu 14416   Struct cstr 15853   ndxcnx 15854   Basecbs 15857   distcds 15950  Itvcitv 25335  LineGclng 25336   EEcee 25768   Btwn cbtwn 25769  EEGceeng 25857
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-seq 12802  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-ds 15964  df-itv 25337  df-lng 25338  df-eeng 25858
This theorem is referenced by:  eengtrkg  25865
  Copyright terms: Public domain W3C validator