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Theorem efgredlem 18160

Description: The reduced word that forms the base of the sequence in efgsval 18144 is uniquely determined, given the ending representation. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Sep-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
efgval.w	Word
efgval.r	~_FG
efgval2.m	$\$
efgval2.t	splice
efgred.d	$\$
efgred.s	Word $\$ $/\$ ..^
efgredlem.1
efgredlem.2
efgredlem.3
efgredlem.4
efgredlem.5

**Assertion**
Ref	Expression
efgredlem

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Proof of Theorem efgredlem Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efgval.w	. . . . . . . . . 10 Word
2		fviss 6256	. . . . . . . . . 10 Word Word
3	1, 2	eqsstri 3635	. . . . . . . . 9 Word
4		efgredlem.2	. . . . . . . . . . . . 13
5		efgval.r	. . . . . . . . . . . . . . 15 ~_FG
6		efgval2.m	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\$
7		efgval2.t	. . . . . . . . . . . . . . 15 splice
8		efgred.d	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\$
9		efgred.s	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word $\$ $/\$ ..^
10	1, 5, 6, 7, 8, 9	efgsdm 18143	. . . . . . . . . . . . . 14 Word $\$ $/\$ $/\$ ..^
11	10	simp1bi 1076	. . . . . . . . . . . . 13 Word $\$
12	4, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 Word $\$
13	12	eldifad 3586	. . . . . . . . . . 11 Word
14		wrdf 13310	. . . . . . . . . . 11 Word ..^
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . . . 10 ..^
16		efgredlem.1	. . . . . . . . . . . . . . 15
17		efgredlem.3	. . . . . . . . . . . . . . 15
18		efgredlem.4	. . . . . . . . . . . . . . 15
19		efgredlem.5	. . . . . . . . . . . . . . 15
20	1, 5, 6, 7, 8, 9, 16, 4, 17, 18, 19	efgredlema 18153	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
21	20	simpld 475	. . . . . . . . . . . . 13
22		nnm1nn0 11334	. . . . . . . . . . . . 13
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . 12
24	21	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . 13
25	24	lem1d 10957	. . . . . . . . . . . 12
26		eldifsni 4320	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word $\$
27	4, 11, 26	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14
28		wrdfin 13323	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word
29		hashnncl 13157	. . . . . . . . . . . . . . 15
30	13, 28, 29	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14
31	27, 30	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . 13
32		nnm1nn0 11334	. . . . . . . . . . . . 13
33		fznn0 12432	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
34	31, 32, 33	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
35	23, 25, 34	mpbir2and 957	. . . . . . . . . . 11
36		lencl 13324	. . . . . . . . . . . . . 14 Word
37	13, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13
38	37	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . 12
39		fzoval 12471	. . . . . . . . . . . 12 ..^
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ..^
41	35, 40	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . 10 ..^
42	15, 41	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9
43	3, 42	sseldi 3601	. . . . . . . 8 Word
44		lencl 13324	. . . . . . . 8 Word
45	43, 44	syl 17	. . . . . . 7
46	45	nn0red 11352	. . . . . 6
47		2rp 11837	. . . . . 6
48		ltaddrp 11867	. . . . . 6 $/\$
49	46, 47, 48	sylancl 694	. . . . 5
50	37	nn0red 11352	. . . . . . . . . . 11
51	50	lem1d 10957	. . . . . . . . . 10
52		fznn 12408	. . . . . . . . . . 11 $/\$
53	38, 52	syl 17	. . . . . . . . . 10 $/\$
54	21, 51, 53	mpbir2and 957	. . . . . . . . 9
55	1, 5, 6, 7, 8, 9	efgsres 18151	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
56	4, 54, 55	syl2anc 693	. . . . . . . 8 ..^
57	1, 5, 6, 7, 8, 9	efgsval 18144	. . . . . . . 8 ..^ ..^ ..^ ..^
58	56, 57	syl 17	. . . . . . 7 ..^ ..^ ..^
59		1eluzge0 11732	. . . . . . . . . . . . . 14
60		fzss1 12380	. . . . . . . . . . . . . 14
61	59, 60	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13
62	61, 54	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . 12
63		swrd0val 13421	. . . . . . . . . . . 12 Word $/\$ substr ..^
64	13, 62, 63	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 substr ..^
65	64	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 substr ..^
66		swrd0len 13422	. . . . . . . . . . 11 Word $/\$ substr
67	13, 62, 66	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 substr
68	65, 67	eqtr3d 2658	. . . . . . . . 9 ..^
69	68	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 ..^
70	69	fveq2d 6195	. . . . . . 7 ..^ ..^ ..^
71		fzo0end 12560	. . . . . . . 8 ..^
72		fvres 6207	. . . . . . . 8 ..^ ..^
73	21, 71, 72	3syl 18	. . . . . . 7 ..^
74	58, 70, 73	3eqtrd 2660	. . . . . 6 ..^
75	74	fveq2d 6195	. . . . 5 ..^
76	1, 5, 6, 7, 8, 9	efgsdmi 18145	. . . . . . 7 $/\$
77	4, 21, 76	syl2anc 693	. . . . . 6
78	1, 5, 6, 7	efgtlen 18139	. . . . . 6 $/\$
79	42, 77, 78	syl2anc 693	. . . . 5
80	49, 75, 79	3brtr4d 4685	. . . 4 ..^
81	1, 5, 6, 7	efgtf 18135	. . . . . . . . . . . 12 splice $/\$
82	42, 81	syl 17	. . . . . . . . . . 11 splice $/\$
83	82	simprd 479	. . . . . . . . . 10
84		ffn 6045	. . . . . . . . . 10
85		ovelrn 6810	. . . . . . . . . 10
86	83, 84, 85	3syl 18	. . . . . . . . 9
87	77, 86	mpbid 222	. . . . . . . 8
88	20	simprd 479	. . . . . . . . . 10
89	1, 5, 6, 7, 8, 9	efgsdmi 18145	. . . . . . . . . 10 $/\$
90	17, 88, 89	syl2anc 693	. . . . . . . . 9
91	1, 5, 6, 7, 8, 9	efgsdm 18143	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word $\$ $/\$ $/\$ ..^
92	91	simp1bi 1076	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Word $\$
93	17, 92	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word $\$
94	93	eldifad 3586	. . . . . . . . . . . . . 14 Word
95		wrdf 13310	. . . . . . . . . . . . . 14 Word ..^
96	94, 95	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ..^
97		fzo0end 12560	. . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
98		elfzofz 12485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
99	88, 97, 98	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14
100		lencl 13324	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word
101	94, 100	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16
102	101	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . 15
103		fzoval 12471	. . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
104	102, 103	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ..^
105	99, 104	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . . . 13 ..^
106	96, 105	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . 12
107	1, 5, 6, 7	efgtf 18135	. . . . . . . . . . . 12 splice $/\$
108	106, 107	syl 17	. . . . . . . . . . 11 splice $/\$
109	108	simprd 479	. . . . . . . . . 10
110		ffn 6045	. . . . . . . . . 10
111		ovelrn 6810	. . . . . . . . . 10
112	109, 110, 111	3syl 18	. . . . . . . . 9
113	90, 112	mpbid 222	. . . . . . . 8
114		reeanv 3107	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
115		reeanv 3107	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
116	16	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
117	4	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
118	17	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
119	18	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
120	19	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
121		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15
122		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15
123		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
124	123	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
125	123	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
126		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
127	126	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
128	126	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
129		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
130	129	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
131	129	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
132		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
133	1, 5, 6, 7, 8, 9, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 124, 125, 127, 128, 130, 131, 132	efgredlemb 18159	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
134		iman 440	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
135	133, 134	mpbir 221	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
136	135	expr 643	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
137	136	rexlimdvva 3038	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
138	115, 137	syl5bir 233	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
139	138	rexlimdvva 3038	. . . . . . . . 9 $/\$
140	114, 139	syl5bir 233	. . . . . . . 8 $/\$
141	87, 113, 140	mp2and 715	. . . . . . 7
142		fvres 6207	. . . . . . . 8 ..^ ..^
143	88, 97, 142	3syl 18	. . . . . . 7 ..^
144	141, 73, 143	3eqtr4d 2666	. . . . . 6 ..^ ..^
145		fzss1 12380	. . . . . . . . . . . . 13
146	59, 145	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12
147	101	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . . 14
148	147	lem1d 10957	. . . . . . . . . . . . 13
149		fznn 12408	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
150	102, 149	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
151	88, 148, 150	mpbir2and 957	. . . . . . . . . . . 12
152	146, 151	sseldi 3601	. . . . . . . . . . 11
153		swrd0val 13421	. . . . . . . . . . 11 Word $/\$ substr ..^
154	94, 152, 153	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 substr ..^
155	154	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 substr ..^
156		swrd0len 13422	. . . . . . . . . 10 Word $/\$ substr
157	94, 152, 156	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 substr
158	155, 157	eqtr3d 2658	. . . . . . . 8 ..^
159	158	oveq1d 6665	. . . . . . 7 ..^
160	159	fveq2d 6195	. . . . . 6 ..^ ..^ ..^
161	144, 70, 160	3eqtr4d 2666	. . . . 5 ..^ ..^ ..^ ..^
162	1, 5, 6, 7, 8, 9	efgsres 18151	. . . . . . 7 $/\$ ..^
163	17, 151, 162	syl2anc 693	. . . . . 6 ..^
164	1, 5, 6, 7, 8, 9	efgsval 18144	. . . . . 6 ..^ ..^ ..^ ..^
165	163, 164	syl 17	. . . . 5 ..^ ..^ ..^
166	161, 58, 165	3eqtr4d 2666	. . . 4 ..^ ..^
167		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 ..^ ..^
168	167	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 ..^ ..^
169	168	breq1d 4663	. . . . . . 7 ..^ ..^
170	167	eqeq1d 2624	. . . . . . . 8 ..^ ..^
171		fveq1 6190	. . . . . . . . 9 ..^ ..^
172	171	eqeq1d 2624	. . . . . . . 8 ..^ ..^
173	170, 172	imbi12d 334	. . . . . . 7 ..^ ..^ ..^
174	169, 173	imbi12d 334	. . . . . 6 ..^ ..^ ..^ ..^
175		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 ..^ ..^
176	175	eqeq2d 2632	. . . . . . . 8 ..^ ..^ ..^ ..^
177		fveq1 6190	. . . . . . . . 9 ..^ ..^
178	177	eqeq2d 2632	. . . . . . . 8 ..^ ..^ ..^ ..^
179	176, 178	imbi12d 334	. . . . . . 7 ..^ ..^ ..^ ..^ ..^ ..^ ..^
180	179	imbi2d 330	. . . . . 6 ..^ ..^ ..^ ..^ ..^ ..^ ..^ ..^ ..^
181	174, 180	rspc2va 3323	. . . . 5 ..^ $/\$ ..^ $/\$ ..^ ..^ ..^ ..^ ..^
182	56, 163, 16, 181	syl21anc 1325	. . . 4 ..^ ..^ ..^ ..^ ..^
183	80, 166, 182	mp2d 49	. . 3 ..^ ..^
184		lbfzo0 12507	. . . . 5 ..^
185	21, 184	sylibr 224	. . . 4 ..^
186		fvres 6207	. . . 4 ..^ ..^
187	185, 186	syl 17	. . 3 ..^
188		lbfzo0 12507	. . . . 5 ..^
189	88, 188	sylibr 224	. . . 4 ..^
190		fvres 6207	. . . 4 ..^ ..^
191	189, 190	syl 17	. . 3 ..^
192	183, 187, 191	3eqtr3d 2664	. 2
193	192, 19	pm2.65i 185	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

wral 2912

wrex 2913

crab 2916 $\$ cdif 3571

wss 3574

c0 3915

csn 4177

cop 4183

cotp 4185

ciun 4520 class class class wbr 4653

cmpt 4729

cid 5023

cxp 5112

cdm 5114

crn 5115

cres 5116

wfn 5883

wf 5884

cfv 5888 (class class class)co 6650

cmpt2 6652

c1o 7553

c2o 7554

cfn 7955

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cn 11020

c2 11070

cn0 11292

cz 11377

cuz 11687

crp 11832

cfz 12326 ..^cfzo 12465

chash 13117 Word cword 13291 substr csubstr 13295 splice csplice 13296

cs2 13586 ~_FG cefg 18119

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-ot 4186 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-card 8765 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-nn 11021 df-2 11079 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-hash 13118 df-word 13299 df-concat 13301 df-s1 13302 df-substr 13303 df-splice 13304 df-s2 13593

This theorem is referenced by: efgred 18161

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