Theorem efgsres 18151

Description: An initial segment of an extension sequence is an extension sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
efgval.w	|- W = ( _I ` Word ( I X. 2o ) )
efgval.r	|- .~ = ( ~FG ` I )
efgval2.m	|- M = ( y e. I , z e. 2o |-> <. y , ( 1o \ z ) >. )
efgval2.t	|- T = ( v e. W |-> ( n e. ( 0 ... ( # ` v ) ) , w e. ( I X. 2o ) |-> ( v splice <. n , n , <" w ( M ` w ) "> >. ) ) )
efgred.d	|- D = ( W \ U_ x e. W ran ( T ` x ) )
efgred.s	|- S = ( m e. { t e. (Word W \ { (/) } ) | ( ( t ` 0 ) e. D /\ A. k e. ( 1..^ ( # ` t ) ) ( t ` k ) e. ran ( T ` ( t ` ( k - 1 ) ) ) ) } |-> ( m ` ( ( # ` m ) - 1 ) ) )

Assertion

Ref	Expression
efgsres	|- ( ( F e. dom S /\ N e. ( 1 ... ( # ` F ) ) ) -> ( F |` ( 0..^ N ) ) e. dom S )

Distinct variable groups:   y, z   t, n, v, w, y, z, m, x   m, M   x, n, M, t, v, w   k, m, t, x, T   k, n, v, w, y, z, W, m, t, x   .~ , m, t, x, y, z   m, I, n, t, v, w, x, y, z   D, m, t

Allowed substitution hints:   D( x, y, z, w, v, k, n)   .~ ( w, v, k, n)   S( x, y, z, w, v, t, k, m, n)   T( y, z, w, v, n)   F( x, y, z, w, v, t, k, m, n)   I( k)   M( y, z, k)   N( x, y, z, w, v, t, k, m, n)

Proof of Theorem efgsres

Dummy variable i is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efgval.w	. . . . . . . . 9 |- W = ( _I ` Word ( I X. 2o ) )
2		efgval.r	. . . . . . . . 9 |- .~ = ( ~FG ` I )
3		efgval2.m	. . . . . . . . 9 |- M = ( y e. I , z e. 2o |-> <. y , ( 1o \ z ) >. )
4		efgval2.t	. . . . . . . . 9 |- T = ( v e. W |-> ( n e. ( 0 ... ( # ` v ) ) , w e. ( I X. 2o ) |-> ( v splice <. n , n , <" w ( M ` w ) "> >. ) ) )
5		efgred.d	. . . . . . . . 9 |- D = ( W \ U_ x e. W ran ( T ` x ) )
6		efgred.s	. . . . . . . . 9 |- S = ( m e. { t e. (Word W \ { (/) } ) | ( ( t ` 0 ) e. D /\ A. k e. ( 1..^ ( # ` t ) ) ( t ` k ) e. ran ( T ` ( t ` ( k - 1 ) ) ) ) } |-> ( m ` ( ( # ` m ) - 1 ) ) )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	efgsdm 18143	. . . . . . . 8 |- ( F e. dom S <-> ( F e. (Word W \ { (/) } ) /\ ( F ` 0 ) e. D /\ A. i e. ( 1..^ ( # ` F ) ) ( F ` i ) e. ran ( T ` ( F ` ( i - 1 ) ) ) ) )
8	7	simp1bi 1076	. . . . . . 7 |- ( F e. dom S -> F e. (Word W \ { (/) } ) )
9	8	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( F e. dom S /\ N e. ( 1 ... ( # ` F ) ) ) -> F e. (Word W \ { (/) } ) )
10	9	eldifad 3586	. . . . 5 |- ( ( F e. dom S /\ N e. ( 1 ... ( # ` F ) ) ) -> F e. Word W )
11		1eluzge0 11732	. . . . . . 7 |- 1 e. ( ZZ>= ` 0 )
12		fzss1 12380	. . . . . . 7 |- ( 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( 1 ... ( # ` F ) ) C_ ( 0 ... ( # ` F ) ) )
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( 1 ... ( # ` F ) ) C_ ( 0 ... ( # ` F ) )
14		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( F e. dom S /\ N e. ( 1 ... ( # ` F ) ) ) -> N e. ( 1 ... ( # ` F ) ) )
15	13, 14	sseldi 3601	. . . . 5 |- ( ( F e. dom S /\ N e. ( 1 ... ( # ` F ) ) ) -> N e. ( 0 ... ( # ` F ) ) )
16		swrd0val 13421	. . . . 5 |- ( ( F e. Word W /\ N e. ( 0 ... ( # ` F ) ) ) -> ( F substr <. 0 , N >. ) = ( F |` ( 0..^ N ) ) )
17	10, 15, 16	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( F e. dom S /\ N e. ( 1 ... ( # ` F ) ) ) -> ( F substr <. 0 , N >. ) = ( F |` ( 0..^ N ) ) )
18		swrdcl 13419	. . . . 5 |- ( F e. Word W -> ( F substr <. 0 , N >. ) e. Word W )
19	10, 18	syl 17	. . . 4 |- ( ( F e. dom S /\ N e. ( 1 ... ( # ` F ) ) ) -> ( F substr <. 0 , N >. ) e. Word W )
20	17, 19	eqeltrrd 2702	. . 3 |- ( ( F e. dom S /\ N e. ( 1 ... ( # ` F ) ) ) -> ( F |` ( 0..^ N ) ) e. Word W )
21		swrd0len 13422	. . . . . . 7 |- ( ( F e. Word W /\ N e. ( 0 ... ( # ` F ) ) ) -> ( # ` ( F substr <. 0 , N >. ) ) = N )
22	10, 15, 21	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( F e. dom S /\ N e. ( 1 ... ( # ` F ) ) ) -> ( # ` ( F substr <. 0 , N >. ) ) = N )
23		elfznn 12370	. . . . . . 7 |- ( N e. ( 1 ... ( # ` F ) ) -> N e. NN )
24	23	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( F e. dom S /\ N e. ( 1 ... ( # ` F ) ) ) -> N e. NN )
25	22, 24	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( ( F e. dom S /\ N e. ( 1 ... ( # ` F ) ) ) -> ( # ` ( F substr <. 0 , N >. ) ) e. NN )
26		wrdfin 13323	. . . . . 6 |- ( ( F substr <. 0 , N >. ) e. Word W -> ( F substr <. 0 , N >. ) e. Fin )
27		hashnncl 13157	. . . . . 6 |- ( ( F substr <. 0 , N >. ) e. Fin -> ( ( # ` ( F substr <. 0 , N >. ) ) e. NN <-> ( F substr <. 0 , N >. ) =/= (/) ) )
28	19, 26, 27	3syl 18	. . . . 5 |- ( ( F e. dom S /\ N e. ( 1 ... ( # ` F ) ) ) -> ( ( # ` ( F substr <. 0 , N >. ) ) e. NN <-> ( F substr <. 0 , N >. ) =/= (/) ) )
29	25, 28	mpbid 222	. . . 4 |- ( ( F e. dom S /\ N e. ( 1 ... ( # ` F ) ) ) -> ( F substr <. 0 , N >. ) =/= (/) )
30	17, 29	eqnetrrd 2862	. . 3 |- ( ( F e. dom S /\ N e. ( 1 ... ( # ` F ) ) ) -> ( F |` ( 0..^ N ) ) =/= (/) )
31		eldifsn 4317	. . 3 |- ( ( F |` ( 0..^ N ) ) e. (Word W \ { (/) } ) <-> ( ( F |` ( 0..^ N ) ) e. Word W /\ ( F |` ( 0..^ N ) ) =/= (/) ) )
32	20, 30, 31	sylanbrc 698	. 2 |- ( ( F e. dom S /\ N e. ( 1 ... ( # ` F ) ) ) -> ( F |` ( 0..^ N ) ) e. (Word W \ { (/) } ) )
33		lbfzo0 12507	. . . . 5 |- ( 0 e. ( 0..^ N ) <-> N e. NN )
34	24, 33	sylibr 224	. . . 4 |- ( ( F e. dom S /\ N e. ( 1 ... ( # ` F ) ) ) -> 0 e. ( 0..^ N ) )
35		fvres 6207	. . . 4 |- ( 0 e. ( 0..^ N ) -> ( ( F |` ( 0..^ N ) ) ` 0 ) = ( F ` 0 ) )
36	34, 35	syl 17	. . 3 |- ( ( F e. dom S /\ N e. ( 1 ... ( # ` F ) ) ) -> ( ( F |` ( 0..^ N ) ) ` 0 ) = ( F ` 0 ) )
37	7	simp2bi 1077	. . . 4 |- ( F e. dom S -> ( F ` 0 ) e. D )
38	37	adantr 481	. . 3 |- ( ( F e. dom S /\ N e. ( 1 ... ( # ` F ) ) ) -> ( F ` 0 ) e. D )
39	36, 38	eqeltrd 2701	. 2 |- ( ( F e. dom S /\ N e. ( 1 ... ( # ` F ) ) ) -> ( ( F |` ( 0..^ N ) ) ` 0 ) e. D )
40		elfzuz3 12339	. . . . . . 7 |- ( N e. ( 1 ... ( # ` F ) ) -> ( # ` F ) e. ( ZZ>= ` N ) )
41	40	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( F e. dom S /\ N e. ( 1 ... ( # ` F ) ) ) -> ( # ` F ) e. ( ZZ>= ` N ) )
42		fzoss2 12496	. . . . . 6 |- ( ( # ` F ) e. ( ZZ>= ` N ) -> ( 1..^ N ) C_ ( 1..^ ( # ` F ) ) )
43	41, 42	syl 17	. . . . 5 |- ( ( F e. dom S /\ N e. ( 1 ... ( # ` F ) ) ) -> ( 1..^ N ) C_ ( 1..^ ( # ` F ) ) )
44	7	simp3bi 1078	. . . . . 6 |- ( F e. dom S -> A. i e. ( 1..^ ( # ` F ) ) ( F ` i ) e. ran ( T ` ( F ` ( i - 1 ) ) ) )
45	44	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( F e. dom S /\ N e. ( 1 ... ( # ` F ) ) ) -> A. i e. ( 1..^ ( # ` F ) ) ( F ` i ) e. ran ( T ` ( F ` ( i - 1 ) ) ) )
46		ssralv 3666	. . . . 5 |- ( ( 1..^ N ) C_ ( 1..^ ( # ` F ) ) -> ( A. i e. ( 1..^ ( # ` F ) ) ( F ` i ) e. ran ( T ` ( F ` ( i - 1 ) ) ) -> A. i e. ( 1..^ N ) ( F ` i ) e. ran ( T ` ( F ` ( i - 1 ) ) ) ) )
47	43, 45, 46	sylc 65	. . . 4 |- ( ( F e. dom S /\ N e. ( 1 ... ( # ` F ) ) ) -> A. i e. ( 1..^ N ) ( F ` i ) e. ran ( T ` ( F ` ( i - 1 ) ) ) )
48		fzo0ss1 12498	. . . . . . . 8 |- ( 1..^ N ) C_ ( 0..^ N )
49	48	sseli 3599	. . . . . . 7 |- ( i e. ( 1..^ N ) -> i e. ( 0..^ N ) )
50		fvres 6207	. . . . . . 7 |- ( i e. ( 0..^ N ) -> ( ( F |` ( 0..^ N ) ) ` i ) = ( F ` i ) )
51	49, 50	syl 17	. . . . . 6 |- ( i e. ( 1..^ N ) -> ( ( F |` ( 0..^ N ) ) ` i ) = ( F ` i ) )
52		elfzoel2 12469	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i e. ( 1..^ N ) -> N e. ZZ )
53		peano2zm 11420	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )
54	52, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i e. ( 1..^ N ) -> ( N - 1 ) e. ZZ )
55		uzid 11702	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ZZ -> N e. ( ZZ>= ` N ) )
56	52, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i e. ( 1..^ N ) -> N e. ( ZZ>= ` N ) )
57	52	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. ( 1..^ N ) -> N e. CC )
58		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. CC
59		npcan 10290	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
60	57, 58, 59	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i e. ( 1..^ N ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
61	60	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i e. ( 1..^ N ) -> ( ZZ>= ` ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( ZZ>= ` N ) )
62	56, 61	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i e. ( 1..^ N ) -> N e. ( ZZ>= ` ( ( N - 1 ) + 1 ) ) )
63		peano2uzr 11743	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N - 1 ) e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( ( N - 1 ) + 1 ) ) ) -> N e. ( ZZ>= ` ( N - 1 ) ) )
64	54, 62, 63	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( i e. ( 1..^ N ) -> N e. ( ZZ>= ` ( N - 1 ) ) )
65		fzoss2 12496	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( N - 1 ) ) -> ( 0..^ ( N - 1 ) ) C_ ( 0..^ N ) )
66	64, 65	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( i e. ( 1..^ N ) -> ( 0..^ ( N - 1 ) ) C_ ( 0..^ N ) )
67		elfzoelz 12470	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i e. ( 1..^ N ) -> i e. ZZ )
68		elfzom1b 12567	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( i e. ( 1..^ N ) <-> ( i - 1 ) e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) )
69	67, 52, 68	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( i e. ( 1..^ N ) -> ( i e. ( 1..^ N ) <-> ( i - 1 ) e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) )
70	69	ibi 256	. . . . . . . . . 10 |- ( i e. ( 1..^ N ) -> ( i - 1 ) e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) )
71	66, 70	sseldd 3604	. . . . . . . . 9 |- ( i e. ( 1..^ N ) -> ( i - 1 ) e. ( 0..^ N ) )
72		fvres 6207	. . . . . . . . 9 |- ( ( i - 1 ) e. ( 0..^ N ) -> ( ( F |` ( 0..^ N ) ) ` ( i - 1 ) ) = ( F ` ( i - 1 ) ) )
73	71, 72	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( i e. ( 1..^ N ) -> ( ( F |` ( 0..^ N ) ) ` ( i - 1 ) ) = ( F ` ( i - 1 ) ) )
74	73	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( i e. ( 1..^ N ) -> ( T ` ( ( F |` ( 0..^ N ) ) ` ( i - 1 ) ) ) = ( T ` ( F ` ( i - 1 ) ) ) )
75	74	rneqd 5353	. . . . . 6 |- ( i e. ( 1..^ N ) -> ran ( T ` ( ( F |` ( 0..^ N ) ) ` ( i - 1 ) ) ) = ran ( T ` ( F ` ( i - 1 ) ) ) )
76	51, 75	eleq12d 2695	. . . . 5 |- ( i e. ( 1..^ N ) -> ( ( ( F |` ( 0..^ N ) ) ` i ) e. ran ( T ` ( ( F |` ( 0..^ N ) ) ` ( i - 1 ) ) ) <-> ( F ` i ) e. ran ( T ` ( F ` ( i - 1 ) ) ) ) )
77	76	ralbiia 2979	. . . 4 |- ( A. i e. ( 1..^ N ) ( ( F |` ( 0..^ N ) ) ` i ) e. ran ( T ` ( ( F |` ( 0..^ N ) ) ` ( i - 1 ) ) ) <-> A. i e. ( 1..^ N ) ( F ` i ) e. ran ( T ` ( F ` ( i - 1 ) ) ) )
78	47, 77	sylibr 224	. . 3 |- ( ( F e. dom S /\ N e. ( 1 ... ( # ` F ) ) ) -> A. i e. ( 1..^ N ) ( ( F |` ( 0..^ N ) ) ` i ) e. ran ( T ` ( ( F |` ( 0..^ N ) ) ` ( i - 1 ) ) ) )
79	17	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( ( F e. dom S /\ N e. ( 1 ... ( # ` F ) ) ) -> ( # ` ( F substr <. 0 , N >. ) ) = ( # ` ( F |` ( 0..^ N ) ) ) )
80	79, 22	eqtr3d 2658	. . . . 5 |- ( ( F e. dom S /\ N e. ( 1 ... ( # ` F ) ) ) -> ( # ` ( F |` ( 0..^ N ) ) ) = N )
81	80	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( ( F e. dom S /\ N e. ( 1 ... ( # ` F ) ) ) -> ( 1..^ ( # ` ( F |` ( 0..^ N ) ) ) ) = ( 1..^ N ) )
82	81	raleqdv 3144	. . 3 |- ( ( F e. dom S /\ N e. ( 1 ... ( # ` F ) ) ) -> ( A. i e. ( 1..^ ( # ` ( F |` ( 0..^ N ) ) ) ) ( ( F |` ( 0..^ N ) ) ` i ) e. ran ( T ` ( ( F |` ( 0..^ N ) ) ` ( i - 1 ) ) ) <-> A. i e. ( 1..^ N ) ( ( F |` ( 0..^ N ) ) ` i ) e. ran ( T ` ( ( F |` ( 0..^ N ) ) ` ( i - 1 ) ) ) ) )
83	78, 82	mpbird 247	. 2 |- ( ( F e. dom S /\ N e. ( 1 ... ( # ` F ) ) ) -> A. i e. ( 1..^ ( # ` ( F |` ( 0..^ N ) ) ) ) ( ( F |` ( 0..^ N ) ) ` i ) e. ran ( T ` ( ( F |` ( 0..^ N ) ) ` ( i - 1 ) ) ) )
84	1, 2, 3, 4, 5, 6	efgsdm 18143	. 2 |- ( ( F |` ( 0..^ N ) ) e. dom S <-> ( ( F |` ( 0..^ N ) ) e. (Word W \ { (/) } ) /\ ( ( F |` ( 0..^ N ) ) ` 0 ) e. D /\ A. i e. ( 1..^ ( # ` ( F |` ( 0..^ N ) ) ) ) ( ( F |` ( 0..^ N ) ) ` i ) e. ran ( T ` ( ( F |` ( 0..^ N ) ) ` ( i - 1 ) ) ) ) )
85	32, 39, 83, 84	syl3anbrc 1246	1 |- ( ( F e. dom S /\ N e. ( 1 ... ( # ` F ) ) ) -> ( F |` ( 0..^ N ) ) e. dom S )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   {crab 2916   \ cdif 3571   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   <.cop 4183   <.cotp 4185   U_ciun 4520   |-> cmpt 4729   _I cid 5023   X. cxp 5112   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   1oc1o 7553   2oc2o 7554   Fincfn 7955   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   - cmin 10266   NNcn 11020   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   #chash 13117  Word cword 13291   substr csubstr 13295   splice csplice 13296   <"cs2 13586   ~_FG cefg 18119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-substr 13303

This theorem is referenced by:  efgredlemd  18157  efgredlem  18160