Theorem efgredlemd 18157

Description: The reduced word that forms the base of the sequence in efgsval 18144 is uniquely determined, given the ending representation. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
efgval.w	|- W = ( _I ` Word ( I X. 2o ) )
efgval.r	|- .~ = ( ~FG ` I )
efgval2.m	|- M = ( y e. I , z e. 2o |-> <. y , ( 1o \ z ) >. )
efgval2.t	|- T = ( v e. W |-> ( n e. ( 0 ... ( # ` v ) ) , w e. ( I X. 2o ) |-> ( v splice <. n , n , <" w ( M ` w ) "> >. ) ) )
efgred.d	|- D = ( W \ U_ x e. W ran ( T ` x ) )
efgred.s	|- S = ( m e. { t e. (Word W \ { (/) } ) | ( ( t ` 0 ) e. D /\ A. k e. ( 1..^ ( # ` t ) ) ( t ` k ) e. ran ( T ` ( t ` ( k - 1 ) ) ) ) } |-> ( m ` ( ( # ` m ) - 1 ) ) )
efgredlem.1	|- ( ph -> A. a e. dom S A. b e. dom S ( ( # ` ( S ` a ) ) < ( # ` ( S ` A ) ) -> ( ( S ` a ) = ( S ` b ) -> ( a ` 0 ) = ( b ` 0 ) ) ) )
efgredlem.2	|- ( ph -> A e. dom S )
efgredlem.3	|- ( ph -> B e. dom S )
efgredlem.4	|- ( ph -> ( S ` A ) = ( S ` B ) )
efgredlem.5	|- ( ph -> -. ( A ` 0 ) = ( B ` 0 ) )
efgredlemb.k	|- K = ( ( ( # ` A ) - 1 ) - 1 )
efgredlemb.l	|- L = ( ( ( # ` B ) - 1 ) - 1 )
efgredlemb.p	|- ( ph -> P e. ( 0 ... ( # ` ( A ` K ) ) ) )
efgredlemb.q	|- ( ph -> Q e. ( 0 ... ( # ` ( B ` L ) ) ) )
efgredlemb.u	|- ( ph -> U e. ( I X. 2o ) )
efgredlemb.v	|- ( ph -> V e. ( I X. 2o ) )
efgredlemb.6	|- ( ph -> ( S ` A ) = ( P ( T ` ( A ` K ) ) U ) )
efgredlemb.7	|- ( ph -> ( S ` B ) = ( Q ( T ` ( B ` L ) ) V ) )
efgredlemb.8	|- ( ph -> -. ( A ` K ) = ( B ` L ) )
efgredlemd.9	|- ( ph -> P e. ( ZZ>= ` ( Q + 2 ) ) )
efgredlemd.c	|- ( ph -> C e. dom S )
efgredlemd.sc	|- ( ph -> ( S ` C ) = ( ( ( B ` L ) substr <. 0 , Q >. ) ++ ( ( A ` K ) substr <. ( Q + 2 ) , ( # ` ( A ` K ) ) >. ) ) )

Assertion

Ref	Expression
efgredlemd	|- ( ph -> ( A ` 0 ) = ( B ` 0 ) )

Distinct variable groups:   a, b, A   y, a, z, b   L, a, b   K, a, b   t, n, v, w, y, z, P   m, a, n, t, v, w, x, M, b   U, n, v, w, y, z   k, a, T, b, m, t, x   n, V, v, w, y, z   Q, n, t, v, w, y, z   W, a, b   k, n, v, w, y, z, W, m, t, x   .~ , a, b, m, t, x, y, z   B, a, b   C, a, b, k, m, n, t, v, w, x, y, z   S, a, b   I, a, b, m, n, t, v, w, x, y, z   D, a, b, m, t

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, w, v, t, k, m, n, a, b)   A( x, y, z, w, v, t, k, m, n)   B( x, y, z, w, v, t, k, m, n)   D( x, y, z, w, v, k, n)   P( x, k, m, a, b)   Q( x, k, m, a, b)   .~ ( w, v, k, n)   S( x, y, z, w, v, t, k, m, n)   T( y, z, w, v, n)   U( x, t, k, m, a, b)   I( k)   K( x, y, z, w, v, t, k, m, n)   L( x, y, z, w, v, t, k, m, n)   M( y, z, k)   V( x, t, k, m, a, b)

Proof of Theorem efgredlemd

Dummy variable i is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efgredlemd.c	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. dom S )
2		efgval.w	. . . . . . . . 9 |- W = ( _I ` Word ( I X. 2o ) )
3		efgval.r	. . . . . . . . 9 |- .~ = ( ~FG ` I )
4		efgval2.m	. . . . . . . . 9 |- M = ( y e. I , z e. 2o |-> <. y , ( 1o \ z ) >. )
5		efgval2.t	. . . . . . . . 9 |- T = ( v e. W |-> ( n e. ( 0 ... ( # ` v ) ) , w e. ( I X. 2o ) |-> ( v splice <. n , n , <" w ( M ` w ) "> >. ) ) )
6		efgred.d	. . . . . . . . 9 |- D = ( W \ U_ x e. W ran ( T ` x ) )
7		efgred.s	. . . . . . . . 9 |- S = ( m e. { t e. (Word W \ { (/) } ) | ( ( t ` 0 ) e. D /\ A. k e. ( 1..^ ( # ` t ) ) ( t ` k ) e. ran ( T ` ( t ` ( k - 1 ) ) ) ) } |-> ( m ` ( ( # ` m ) - 1 ) ) )
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	efgsdm 18143	. . . . . . . 8 |- ( C e. dom S <-> ( C e. (Word W \ { (/) } ) /\ ( C ` 0 ) e. D /\ A. i e. ( 1..^ ( # ` C ) ) ( C ` i ) e. ran ( T ` ( C ` ( i - 1 ) ) ) ) )
9	8	simp1bi 1076	. . . . . . 7 |- ( C e. dom S -> C e. (Word W \ { (/) } ) )
10	1, 9	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. (Word W \ { (/) } ) )
11	10	eldifad 3586	. . . . 5 |- ( ph -> C e. Word W )
12		efgredlem.2	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. dom S )
13	2, 3, 4, 5, 6, 7	efgsdm 18143	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. dom S <-> ( A e. (Word W \ { (/) } ) /\ ( A ` 0 ) e. D /\ A. i e. ( 1..^ ( # ` A ) ) ( A ` i ) e. ran ( T ` ( A ` ( i - 1 ) ) ) ) )
14	13	simp1bi 1076	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. dom S -> A e. (Word W \ { (/) } ) )
15	12, 14	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. (Word W \ { (/) } ) )
16	15	eldifad 3586	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. Word W )
17		wrdf 13310	. . . . . . . 8 |- ( A e. Word W -> A : ( 0..^ ( # ` A ) ) --> W )
18	16, 17	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> A : ( 0..^ ( # ` A ) ) --> W )
19		fzossfz 12488	. . . . . . . . 9 |- ( 0..^ ( ( # ` A ) - 1 ) ) C_ ( 0 ... ( ( # ` A ) - 1 ) )
20		lencl 13324	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. Word W -> ( # ` A ) e. NN0 )
21	16, 20	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( # ` A ) e. NN0 )
22	21	nn0zd 11480	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( # ` A ) e. ZZ )
23		fzoval 12471	. . . . . . . . . 10 |- ( ( # ` A ) e. ZZ -> ( 0..^ ( # ` A ) ) = ( 0 ... ( ( # ` A ) - 1 ) ) )
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0..^ ( # ` A ) ) = ( 0 ... ( ( # ` A ) - 1 ) ) )
25	19, 24	syl5sseqr 3654	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 0..^ ( ( # ` A ) - 1 ) ) C_ ( 0..^ ( # ` A ) ) )
26		efgredlemb.k	. . . . . . . . 9 |- K = ( ( ( # ` A ) - 1 ) - 1 )
27		efgredlem.1	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. a e. dom S A. b e. dom S ( ( # ` ( S ` a ) ) < ( # ` ( S ` A ) ) -> ( ( S ` a ) = ( S ` b ) -> ( a ` 0 ) = ( b ` 0 ) ) ) )
28		efgredlem.3	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B e. dom S )
29		efgredlem.4	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( S ` A ) = ( S ` B ) )
30		efgredlem.5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> -. ( A ` 0 ) = ( B ` 0 ) )
31	2, 3, 4, 5, 6, 7, 27, 12, 28, 29, 30	efgredlema 18153	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( # ` A ) - 1 ) e. NN /\ ( ( # ` B ) - 1 ) e. NN ) )
32	31	simpld 475	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( # ` A ) - 1 ) e. NN )
33		fzo0end 12560	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( # ` A ) - 1 ) e. NN -> ( ( ( # ` A ) - 1 ) - 1 ) e. ( 0..^ ( ( # ` A ) - 1 ) ) )
34	32, 33	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( # ` A ) - 1 ) - 1 ) e. ( 0..^ ( ( # ` A ) - 1 ) ) )
35	26, 34	syl5eqel 2705	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K e. ( 0..^ ( ( # ` A ) - 1 ) ) )
36	25, 35	sseldd 3604	. . . . . . 7 |- ( ph -> K e. ( 0..^ ( # ` A ) ) )
37	18, 36	ffvelrnd 6360	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A ` K ) e. W )
38	37	s1cld 13383	. . . . 5 |- ( ph -> <" ( A ` K ) "> e. Word W )
39		eldifsn 4317	. . . . . . . 8 |- ( C e. (Word W \ { (/) } ) <-> ( C e. Word W /\ C =/= (/) ) )
40		lennncl 13325	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. Word W /\ C =/= (/) ) -> ( # ` C ) e. NN )
41	39, 40	sylbi 207	. . . . . . 7 |- ( C e. (Word W \ { (/) } ) -> ( # ` C ) e. NN )
42	10, 41	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( # ` C ) e. NN )
43		lbfzo0 12507	. . . . . 6 |- ( 0 e. ( 0..^ ( # ` C ) ) <-> ( # ` C ) e. NN )
44	42, 43	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ph -> 0 e. ( 0..^ ( # ` C ) ) )
45		ccatval1 13361	. . . . 5 |- ( ( C e. Word W /\ <" ( A ` K ) "> e. Word W /\ 0 e. ( 0..^ ( # ` C ) ) ) -> ( ( C ++ <" ( A ` K ) "> ) ` 0 ) = ( C ` 0 ) )
46	11, 38, 44, 45	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ph -> ( ( C ++ <" ( A ` K ) "> ) ` 0 ) = ( C ` 0 ) )
47	2, 3, 4, 5, 6, 7	efgsdm 18143	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. dom S <-> ( B e. (Word W \ { (/) } ) /\ ( B ` 0 ) e. D /\ A. i e. ( 1..^ ( # ` B ) ) ( B ` i ) e. ran ( T ` ( B ` ( i - 1 ) ) ) ) )
48	47	simp1bi 1076	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. dom S -> B e. (Word W \ { (/) } ) )
49	28, 48	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> B e. (Word W \ { (/) } ) )
50	49	eldifad 3586	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. Word W )
51		wrdf 13310	. . . . . . . 8 |- ( B e. Word W -> B : ( 0..^ ( # ` B ) ) --> W )
52	50, 51	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> B : ( 0..^ ( # ` B ) ) --> W )
53		fzossfz 12488	. . . . . . . . 9 |- ( 0..^ ( ( # ` B ) - 1 ) ) C_ ( 0 ... ( ( # ` B ) - 1 ) )
54		lencl 13324	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. Word W -> ( # ` B ) e. NN0 )
55	50, 54	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( # ` B ) e. NN0 )
56	55	nn0zd 11480	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( # ` B ) e. ZZ )
57		fzoval 12471	. . . . . . . . . 10 |- ( ( # ` B ) e. ZZ -> ( 0..^ ( # ` B ) ) = ( 0 ... ( ( # ` B ) - 1 ) ) )
58	56, 57	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0..^ ( # ` B ) ) = ( 0 ... ( ( # ` B ) - 1 ) ) )
59	53, 58	syl5sseqr 3654	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 0..^ ( ( # ` B ) - 1 ) ) C_ ( 0..^ ( # ` B ) ) )
60		efgredlemb.l	. . . . . . . . 9 |- L = ( ( ( # ` B ) - 1 ) - 1 )
61	31	simprd 479	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( # ` B ) - 1 ) e. NN )
62		fzo0end 12560	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( # ` B ) - 1 ) e. NN -> ( ( ( # ` B ) - 1 ) - 1 ) e. ( 0..^ ( ( # ` B ) - 1 ) ) )
63	61, 62	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( # ` B ) - 1 ) - 1 ) e. ( 0..^ ( ( # ` B ) - 1 ) ) )
64	60, 63	syl5eqel 2705	. . . . . . . 8 |- ( ph -> L e. ( 0..^ ( ( # ` B ) - 1 ) ) )
65	59, 64	sseldd 3604	. . . . . . 7 |- ( ph -> L e. ( 0..^ ( # ` B ) ) )
66	52, 65	ffvelrnd 6360	. . . . . 6 |- ( ph -> ( B ` L ) e. W )
67	66	s1cld 13383	. . . . 5 |- ( ph -> <" ( B ` L ) "> e. Word W )
68		ccatval1 13361	. . . . 5 |- ( ( C e. Word W /\ <" ( B ` L ) "> e. Word W /\ 0 e. ( 0..^ ( # ` C ) ) ) -> ( ( C ++ <" ( B ` L ) "> ) ` 0 ) = ( C ` 0 ) )
69	11, 67, 44, 68	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ph -> ( ( C ++ <" ( B ` L ) "> ) ` 0 ) = ( C ` 0 ) )
70	46, 69	eqtr4d 2659	. . 3 |- ( ph -> ( ( C ++ <" ( A ` K ) "> ) ` 0 ) = ( ( C ++ <" ( B ` L ) "> ) ` 0 ) )
71		fviss 6256	. . . . . . . . . 10 |- ( _I ` Word ( I X. 2o ) ) C_ Word ( I X. 2o )
72	2, 71	eqsstri 3635	. . . . . . . . 9 |- W C_ Word ( I X. 2o )
73	72, 37	sseldi 3601	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A ` K ) e. Word ( I X. 2o ) )
74		lencl 13324	. . . . . . . 8 |- ( ( A ` K ) e. Word ( I X. 2o ) -> ( # ` ( A ` K ) ) e. NN0 )
75	73, 74	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( # ` ( A ` K ) ) e. NN0 )
76	75	nn0red 11352	. . . . . 6 |- ( ph -> ( # ` ( A ` K ) ) e. RR )
77		2rp 11837	. . . . . 6 |- 2 e. RR+
78		ltaddrp 11867	. . . . . 6 |- ( ( ( # ` ( A ` K ) ) e. RR /\ 2 e. RR+ ) -> ( # ` ( A ` K ) ) < ( ( # ` ( A ` K ) ) + 2 ) )
79	76, 77, 78	sylancl 694	. . . . 5 |- ( ph -> ( # ` ( A ` K ) ) < ( ( # ` ( A ` K ) ) + 2 ) )
80	21	nn0red 11352	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( # ` A ) e. RR )
81	80	lem1d 10957	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( # ` A ) - 1 ) <_ ( # ` A ) )
82		fznn 12408	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( # ` A ) e. ZZ -> ( ( ( # ` A ) - 1 ) e. ( 1 ... ( # ` A ) ) <-> ( ( ( # ` A ) - 1 ) e. NN /\ ( ( # ` A ) - 1 ) <_ ( # ` A ) ) ) )
83	22, 82	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( # ` A ) - 1 ) e. ( 1 ... ( # ` A ) ) <-> ( ( ( # ` A ) - 1 ) e. NN /\ ( ( # ` A ) - 1 ) <_ ( # ` A ) ) ) )
84	32, 81, 83	mpbir2and 957	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( # ` A ) - 1 ) e. ( 1 ... ( # ` A ) ) )
85	2, 3, 4, 5, 6, 7	efgsres 18151	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. dom S /\ ( ( # ` A ) - 1 ) e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> ( A |` ( 0..^ ( ( # ` A ) - 1 ) ) ) e. dom S )
86	12, 84, 85	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A |` ( 0..^ ( ( # ` A ) - 1 ) ) ) e. dom S )
87	2, 3, 4, 5, 6, 7	efgsval 18144	. . . . . . . 8 |- ( ( A |` ( 0..^ ( ( # ` A ) - 1 ) ) ) e. dom S -> ( S ` ( A |` ( 0..^ ( ( # ` A ) - 1 ) ) ) ) = ( ( A |` ( 0..^ ( ( # ` A ) - 1 ) ) ) ` ( ( # ` ( A |` ( 0..^ ( ( # ` A ) - 1 ) ) ) ) - 1 ) ) )
88	86, 87	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( S ` ( A |` ( 0..^ ( ( # ` A ) - 1 ) ) ) ) = ( ( A |` ( 0..^ ( ( # ` A ) - 1 ) ) ) ` ( ( # ` ( A |` ( 0..^ ( ( # ` A ) - 1 ) ) ) ) - 1 ) ) )
89		1eluzge0 11732	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. ( ZZ>= ` 0 )
90		fzss1 12380	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( 1 ... ( # ` A ) ) C_ ( 0 ... ( # ` A ) ) )
91	89, 90	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 ... ( # ` A ) ) C_ ( 0 ... ( # ` A ) )
92	91, 84	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( # ` A ) - 1 ) e. ( 0 ... ( # ` A ) ) )
93		swrd0val 13421	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. Word W /\ ( ( # ` A ) - 1 ) e. ( 0 ... ( # ` A ) ) ) -> ( A substr <. 0 , ( ( # ` A ) - 1 ) >. ) = ( A |` ( 0..^ ( ( # ` A ) - 1 ) ) ) )
94	16, 92, 93	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A substr <. 0 , ( ( # ` A ) - 1 ) >. ) = ( A |` ( 0..^ ( ( # ` A ) - 1 ) ) ) )
95	94	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( # ` ( A substr <. 0 , ( ( # ` A ) - 1 ) >. ) ) = ( # ` ( A |` ( 0..^ ( ( # ` A ) - 1 ) ) ) ) )
96		swrd0len 13422	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. Word W /\ ( ( # ` A ) - 1 ) e. ( 0 ... ( # ` A ) ) ) -> ( # ` ( A substr <. 0 , ( ( # ` A ) - 1 ) >. ) ) = ( ( # ` A ) - 1 ) )
97	16, 92, 96	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( # ` ( A substr <. 0 , ( ( # ` A ) - 1 ) >. ) ) = ( ( # ` A ) - 1 ) )
98	95, 97	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( # ` ( A |` ( 0..^ ( ( # ` A ) - 1 ) ) ) ) = ( ( # ` A ) - 1 ) )
99	98	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( # ` ( A |` ( 0..^ ( ( # ` A ) - 1 ) ) ) ) - 1 ) = ( ( ( # ` A ) - 1 ) - 1 ) )
100	99, 26	syl6eqr 2674	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( # ` ( A |` ( 0..^ ( ( # ` A ) - 1 ) ) ) ) - 1 ) = K )
101	100	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( A |` ( 0..^ ( ( # ` A ) - 1 ) ) ) ` ( ( # ` ( A |` ( 0..^ ( ( # ` A ) - 1 ) ) ) ) - 1 ) ) = ( ( A |` ( 0..^ ( ( # ` A ) - 1 ) ) ) ` K ) )
102		fvres 6207	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 0..^ ( ( # ` A ) - 1 ) ) -> ( ( A |` ( 0..^ ( ( # ` A ) - 1 ) ) ) ` K ) = ( A ` K ) )
103	35, 102	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( A |` ( 0..^ ( ( # ` A ) - 1 ) ) ) ` K ) = ( A ` K ) )
104	88, 101, 103	3eqtrd 2660	. . . . . 6 |- ( ph -> ( S ` ( A |` ( 0..^ ( ( # ` A ) - 1 ) ) ) ) = ( A ` K ) )
105	104	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( ph -> ( # ` ( S ` ( A |` ( 0..^ ( ( # ` A ) - 1 ) ) ) ) ) = ( # ` ( A ` K ) ) )
106	2, 3, 4, 5, 6, 7	efgsdmi 18145	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. dom S /\ ( ( # ` A ) - 1 ) e. NN ) -> ( S ` A ) e. ran ( T ` ( A ` ( ( ( # ` A ) - 1 ) - 1 ) ) ) )
107	12, 32, 106	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( S ` A ) e. ran ( T ` ( A ` ( ( ( # ` A ) - 1 ) - 1 ) ) ) )
108	26	fveq2i 6194	. . . . . . . . 9 |- ( A ` K ) = ( A ` ( ( ( # ` A ) - 1 ) - 1 ) )
109	108	fveq2i 6194	. . . . . . . 8 |- ( T ` ( A ` K ) ) = ( T ` ( A ` ( ( ( # ` A ) - 1 ) - 1 ) ) )
110	109	rneqi 5352	. . . . . . 7 |- ran ( T ` ( A ` K ) ) = ran ( T ` ( A ` ( ( ( # ` A ) - 1 ) - 1 ) ) )
111	107, 110	syl6eleqr 2712	. . . . . 6 |- ( ph -> ( S ` A ) e. ran ( T ` ( A ` K ) ) )
112	2, 3, 4, 5	efgtlen 18139	. . . . . 6 |- ( ( ( A ` K ) e. W /\ ( S ` A ) e. ran ( T ` ( A ` K ) ) ) -> ( # ` ( S ` A ) ) = ( ( # ` ( A ` K ) ) + 2 ) )
113	37, 111, 112	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> ( # ` ( S ` A ) ) = ( ( # ` ( A ` K ) ) + 2 ) )
114	79, 105, 113	3brtr4d 4685	. . . 4 |- ( ph -> ( # ` ( S ` ( A |` ( 0..^ ( ( # ` A ) - 1 ) ) ) ) ) < ( # ` ( S ` A ) ) )
115		efgredlemb.p	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> P e. ( 0 ... ( # ` ( A ` K ) ) ) )
116		efgredlemb.q	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Q e. ( 0 ... ( # ` ( B ` L ) ) ) )
117		efgredlemb.u	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> U e. ( I X. 2o ) )
118		efgredlemb.v	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> V e. ( I X. 2o ) )
119		efgredlemb.6	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( S ` A ) = ( P ( T ` ( A ` K ) ) U ) )
120		efgredlemb.7	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( S ` B ) = ( Q ( T ` ( B ` L ) ) V ) )
121		efgredlemb.8	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -. ( A ` K ) = ( B ` L ) )
122		efgredlemd.9	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> P e. ( ZZ>= ` ( Q + 2 ) ) )
123		efgredlemd.sc	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( S ` C ) = ( ( ( B ` L ) substr <. 0 , Q >. ) ++ ( ( A ` K ) substr <. ( Q + 2 ) , ( # ` ( A ` K ) ) >. ) ) )
124	2, 3, 4, 5, 6, 7, 27, 12, 28, 29, 30, 26, 60, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 1, 123	efgredleme 18156	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A ` K ) e. ran ( T ` ( S ` C ) ) /\ ( B ` L ) e. ran ( T ` ( S ` C ) ) ) )
125	124	simpld 475	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A ` K ) e. ran ( T ` ( S ` C ) ) )
126	2, 3, 4, 5, 6, 7	efgsp1 18150	. . . . . . 7 |- ( ( C e. dom S /\ ( A ` K ) e. ran ( T ` ( S ` C ) ) ) -> ( C ++ <" ( A ` K ) "> ) e. dom S )
127	1, 125, 126	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> ( C ++ <" ( A ` K ) "> ) e. dom S )
128	2, 3, 4, 5, 6, 7	efgsval2 18146	. . . . . 6 |- ( ( C e. Word W /\ ( A ` K ) e. W /\ ( C ++ <" ( A ` K ) "> ) e. dom S ) -> ( S ` ( C ++ <" ( A ` K ) "> ) ) = ( A ` K ) )
129	11, 37, 127, 128	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ph -> ( S ` ( C ++ <" ( A ` K ) "> ) ) = ( A ` K ) )
130	104, 129	eqtr4d 2659	. . . 4 |- ( ph -> ( S ` ( A |` ( 0..^ ( ( # ` A ) - 1 ) ) ) ) = ( S ` ( C ++ <" ( A ` K ) "> ) ) )
131		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( a = ( A |` ( 0..^ ( ( # ` A ) - 1 ) ) ) -> ( S ` a ) = ( S ` ( A |` ( 0..^ ( ( # ` A ) - 1 ) ) ) ) )
132	131	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( a = ( A |` ( 0..^ ( ( # ` A ) - 1 ) ) ) -> ( # ` ( S ` a ) ) = ( # ` ( S ` ( A |` ( 0..^ ( ( # ` A ) - 1 ) ) ) ) ) )
133	132	breq1d 4663	. . . . . . 7 |- ( a = ( A |` ( 0..^ ( ( # ` A ) - 1 ) ) ) -> ( ( # ` ( S ` a ) ) < ( # ` ( S ` A ) ) <-> ( # ` ( S ` ( A |` ( 0..^ ( ( # ` A ) - 1 ) ) ) ) ) < ( # ` ( S ` A ) ) ) )
134	131	eqeq1d 2624	. . . . . . . 8 |- ( a = ( A |` ( 0..^ ( ( # ` A ) - 1 ) ) ) -> ( ( S ` a ) = ( S ` b ) <-> ( S ` ( A |` ( 0..^ ( ( # ` A ) - 1 ) ) ) ) = ( S ` b ) ) )
135		fveq1 6190	. . . . . . . . 9 |- ( a = ( A |` ( 0..^ ( ( # ` A ) - 1 ) ) ) -> ( a ` 0 ) = ( ( A |` ( 0..^ ( ( # ` A ) - 1 ) ) ) ` 0 ) )
136	135	eqeq1d 2624	. . . . . . . 8 |- ( a = ( A |` ( 0..^ ( ( # ` A ) - 1 ) ) ) -> ( ( a ` 0 ) = ( b ` 0 ) <-> ( ( A |` ( 0..^ ( ( # ` A ) - 1 ) ) ) ` 0 ) = ( b ` 0 ) ) )
137	134, 136	imbi12d 334	. . . . . . 7 |- ( a = ( A |` ( 0..^ ( ( # ` A ) - 1 ) ) ) -> ( ( ( S ` a ) = ( S ` b ) -> ( a ` 0 ) = ( b ` 0 ) ) <-> ( ( S ` ( A |` ( 0..^ ( ( # ` A ) - 1 ) ) ) ) = ( S ` b ) -> ( ( A |` ( 0..^ ( ( # ` A ) - 1 ) ) ) ` 0 ) = ( b ` 0 ) ) ) )
138	133, 137	imbi12d 334	. . . . . 6 |- ( a = ( A |` ( 0..^ ( ( # ` A ) - 1 ) ) ) -> ( ( ( # ` ( S ` a ) ) < ( # ` ( S ` A ) ) -> ( ( S ` a ) = ( S ` b ) -> ( a ` 0 ) = ( b ` 0 ) ) ) <-> ( ( # ` ( S ` ( A |` ( 0..^ ( ( # ` A ) - 1 ) ) ) ) ) < ( # ` ( S ` A ) ) -> ( ( S ` ( A |` ( 0..^ ( ( # ` A ) - 1 ) ) ) ) = ( S ` b ) -> ( ( A |` ( 0..^ ( ( # ` A ) - 1 ) ) ) ` 0 ) = ( b ` 0 ) ) ) ) )
139		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( b = ( C ++ <" ( A ` K ) "> ) -> ( S ` b ) = ( S ` ( C ++ <" ( A ` K ) "> ) ) )
140	139	eqeq2d 2632	. . . . . . . 8 |- ( b = ( C ++ <" ( A ` K ) "> ) -> ( ( S ` ( A |` ( 0..^ ( ( # ` A ) - 1 ) ) ) ) = ( S ` b ) <-> ( S ` ( A |` ( 0..^ ( ( # ` A ) - 1 ) ) ) ) = ( S ` ( C ++ <" ( A ` K ) "> ) ) ) )
141		fveq1 6190	. . . . . . . . 9 |- ( b = ( C ++ <" ( A ` K ) "> ) -> ( b ` 0 ) = ( ( C ++ <" ( A ` K ) "> ) ` 0 ) )
142	141	eqeq2d 2632	. . . . . . . 8 |- ( b = ( C ++ <" ( A ` K ) "> ) -> ( ( ( A |` ( 0..^ ( ( # ` A ) - 1 ) ) ) ` 0 ) = ( b ` 0 ) <-> ( ( A |` ( 0..^ ( ( # ` A ) - 1 ) ) ) ` 0 ) = ( ( C ++ <" ( A ` K ) "> ) ` 0 ) ) )
143	140, 142	imbi12d 334	. . . . . . 7 |- ( b = ( C ++ <" ( A ` K ) "> ) -> ( ( ( S ` ( A |` ( 0..^ ( ( # ` A ) - 1 ) ) ) ) = ( S ` b ) -> ( ( A |` ( 0..^ ( ( # ` A ) - 1 ) ) ) ` 0 ) = ( b ` 0 ) ) <-> ( ( S ` ( A |` ( 0..^ ( ( # ` A ) - 1 ) ) ) ) = ( S ` ( C ++ <" ( A ` K ) "> ) ) -> ( ( A |` ( 0..^ ( ( # ` A ) - 1 ) ) ) ` 0 ) = ( ( C ++ <" ( A ` K ) "> ) ` 0 ) ) ) )
144	143	imbi2d 330	. . . . . 6 |- ( b = ( C ++ <" ( A ` K ) "> ) -> ( ( ( # ` ( S ` ( A |` ( 0..^ ( ( # ` A ) - 1 ) ) ) ) ) < ( # ` ( S ` A ) ) -> ( ( S ` ( A |` ( 0..^ ( ( # ` A ) - 1 ) ) ) ) = ( S ` b ) -> ( ( A |` ( 0..^ ( ( # ` A ) - 1 ) ) ) ` 0 ) = ( b ` 0 ) ) ) <-> ( ( # ` ( S ` ( A |` ( 0..^ ( ( # ` A ) - 1 ) ) ) ) ) < ( # ` ( S ` A ) ) -> ( ( S ` ( A |` ( 0..^ ( ( # ` A ) - 1 ) ) ) ) = ( S ` ( C ++ <" ( A ` K ) "> ) ) -> ( ( A |` ( 0..^ ( ( # ` A ) - 1 ) ) ) ` 0 ) = ( ( C ++ <" ( A ` K ) "> ) ` 0 ) ) ) ) )
145	138, 144	rspc2va 3323	. . . . 5 |- ( ( ( ( A |` ( 0..^ ( ( # ` A ) - 1 ) ) ) e. dom S /\ ( C ++ <" ( A ` K ) "> ) e. dom S ) /\ A. a e. dom S A. b e. dom S ( ( # ` ( S ` a ) ) < ( # ` ( S ` A ) ) -> ( ( S ` a ) = ( S ` b ) -> ( a ` 0 ) = ( b ` 0 ) ) ) ) -> ( ( # ` ( S ` ( A |` ( 0..^ ( ( # ` A ) - 1 ) ) ) ) ) < ( # ` ( S ` A ) ) -> ( ( S ` ( A |` ( 0..^ ( ( # ` A ) - 1 ) ) ) ) = ( S ` ( C ++ <" ( A ` K ) "> ) ) -> ( ( A |` ( 0..^ ( ( # ` A ) - 1 ) ) ) ` 0 ) = ( ( C ++ <" ( A ` K ) "> ) ` 0 ) ) ) )
146	86, 127, 27, 145	syl21anc 1325	. . . 4 |- ( ph -> ( ( # ` ( S ` ( A |` ( 0..^ ( ( # ` A ) - 1 ) ) ) ) ) < ( # ` ( S ` A ) ) -> ( ( S ` ( A |` ( 0..^ ( ( # ` A ) - 1 ) ) ) ) = ( S ` ( C ++ <" ( A ` K ) "> ) ) -> ( ( A |` ( 0..^ ( ( # ` A ) - 1 ) ) ) ` 0 ) = ( ( C ++ <" ( A ` K ) "> ) ` 0 ) ) ) )
147	114, 130, 146	mp2d 49	. . 3 |- ( ph -> ( ( A |` ( 0..^ ( ( # ` A ) - 1 ) ) ) ` 0 ) = ( ( C ++ <" ( A ` K ) "> ) ` 0 ) )
148	72, 66	sseldi 3601	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B ` L ) e. Word ( I X. 2o ) )
149		lencl 13324	. . . . . . . 8 |- ( ( B ` L ) e. Word ( I X. 2o ) -> ( # ` ( B ` L ) ) e. NN0 )
150	148, 149	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( # ` ( B ` L ) ) e. NN0 )
151	150	nn0red 11352	. . . . . 6 |- ( ph -> ( # ` ( B ` L ) ) e. RR )
152		ltaddrp 11867	. . . . . 6 |- ( ( ( # ` ( B ` L ) ) e. RR /\ 2 e. RR+ ) -> ( # ` ( B ` L ) ) < ( ( # ` ( B ` L ) ) + 2 ) )
153	151, 77, 152	sylancl 694	. . . . 5 |- ( ph -> ( # ` ( B ` L ) ) < ( ( # ` ( B ` L ) ) + 2 ) )
154	55	nn0red 11352	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( # ` B ) e. RR )
155	154	lem1d 10957	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( # ` B ) - 1 ) <_ ( # ` B ) )
156		fznn 12408	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( # ` B ) e. ZZ -> ( ( ( # ` B ) - 1 ) e. ( 1 ... ( # ` B ) ) <-> ( ( ( # ` B ) - 1 ) e. NN /\ ( ( # ` B ) - 1 ) <_ ( # ` B ) ) ) )
157	56, 156	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( # ` B ) - 1 ) e. ( 1 ... ( # ` B ) ) <-> ( ( ( # ` B ) - 1 ) e. NN /\ ( ( # ` B ) - 1 ) <_ ( # ` B ) ) ) )
158	61, 155, 157	mpbir2and 957	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( # ` B ) - 1 ) e. ( 1 ... ( # ` B ) ) )
159	2, 3, 4, 5, 6, 7	efgsres 18151	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. dom S /\ ( ( # ` B ) - 1 ) e. ( 1 ... ( # ` B ) ) ) -> ( B |` ( 0..^ ( ( # ` B ) - 1 ) ) ) e. dom S )
160	28, 158, 159	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B |` ( 0..^ ( ( # ` B ) - 1 ) ) ) e. dom S )
161	2, 3, 4, 5, 6, 7	efgsval 18144	. . . . . . . 8 |- ( ( B |` ( 0..^ ( ( # ` B ) - 1 ) ) ) e. dom S -> ( S ` ( B |` ( 0..^ ( ( # ` B ) - 1 ) ) ) ) = ( ( B |` ( 0..^ ( ( # ` B ) - 1 ) ) ) ` ( ( # ` ( B |` ( 0..^ ( ( # ` B ) - 1 ) ) ) ) - 1 ) ) )
162	160, 161	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( S ` ( B |` ( 0..^ ( ( # ` B ) - 1 ) ) ) ) = ( ( B |` ( 0..^ ( ( # ` B ) - 1 ) ) ) ` ( ( # ` ( B |` ( 0..^ ( ( # ` B ) - 1 ) ) ) ) - 1 ) ) )
163		fzss1 12380	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( 1 ... ( # ` B ) ) C_ ( 0 ... ( # ` B ) ) )
164	89, 163	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 ... ( # ` B ) ) C_ ( 0 ... ( # ` B ) )
165	164, 158	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( # ` B ) - 1 ) e. ( 0 ... ( # ` B ) ) )
166		swrd0val 13421	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. Word W /\ ( ( # ` B ) - 1 ) e. ( 0 ... ( # ` B ) ) ) -> ( B substr <. 0 , ( ( # ` B ) - 1 ) >. ) = ( B |` ( 0..^ ( ( # ` B ) - 1 ) ) ) )
167	50, 165, 166	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( B substr <. 0 , ( ( # ` B ) - 1 ) >. ) = ( B |` ( 0..^ ( ( # ` B ) - 1 ) ) ) )
168	167	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( # ` ( B substr <. 0 , ( ( # ` B ) - 1 ) >. ) ) = ( # ` ( B |` ( 0..^ ( ( # ` B ) - 1 ) ) ) ) )
169		swrd0len 13422	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. Word W /\ ( ( # ` B ) - 1 ) e. ( 0 ... ( # ` B ) ) ) -> ( # ` ( B substr <. 0 , ( ( # ` B ) - 1 ) >. ) ) = ( ( # ` B ) - 1 ) )
170	50, 165, 169	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( # ` ( B substr <. 0 , ( ( # ` B ) - 1 ) >. ) ) = ( ( # ` B ) - 1 ) )
171	168, 170	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( # ` ( B |` ( 0..^ ( ( # ` B ) - 1 ) ) ) ) = ( ( # ` B ) - 1 ) )
172	171	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( # ` ( B |` ( 0..^ ( ( # ` B ) - 1 ) ) ) ) - 1 ) = ( ( ( # ` B ) - 1 ) - 1 ) )
173	172, 60	syl6eqr 2674	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( # ` ( B |` ( 0..^ ( ( # ` B ) - 1 ) ) ) ) - 1 ) = L )
174	173	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( B |` ( 0..^ ( ( # ` B ) - 1 ) ) ) ` ( ( # ` ( B |` ( 0..^ ( ( # ` B ) - 1 ) ) ) ) - 1 ) ) = ( ( B |` ( 0..^ ( ( # ` B ) - 1 ) ) ) ` L ) )
175		fvres 6207	. . . . . . . 8 |- ( L e. ( 0..^ ( ( # ` B ) - 1 ) ) -> ( ( B |` ( 0..^ ( ( # ` B ) - 1 ) ) ) ` L ) = ( B ` L ) )
176	64, 175	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( B |` ( 0..^ ( ( # ` B ) - 1 ) ) ) ` L ) = ( B ` L ) )
177	162, 174, 176	3eqtrd 2660	. . . . . 6 |- ( ph -> ( S ` ( B |` ( 0..^ ( ( # ` B ) - 1 ) ) ) ) = ( B ` L ) )
178	177	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( ph -> ( # ` ( S ` ( B |` ( 0..^ ( ( # ` B ) - 1 ) ) ) ) ) = ( # ` ( B ` L ) ) )
179	2, 3, 4, 5, 6, 7	efgsdmi 18145	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. dom S /\ ( ( # ` B ) - 1 ) e. NN ) -> ( S ` B ) e. ran ( T ` ( B ` ( ( ( # ` B ) - 1 ) - 1 ) ) ) )
180	28, 61, 179	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( S ` B ) e. ran ( T ` ( B ` ( ( ( # ` B ) - 1 ) - 1 ) ) ) )
181	29, 180	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( S ` A ) e. ran ( T ` ( B ` ( ( ( # ` B ) - 1 ) - 1 ) ) ) )
182	60	fveq2i 6194	. . . . . . . . 9 |- ( B ` L ) = ( B ` ( ( ( # ` B ) - 1 ) - 1 ) )
183	182	fveq2i 6194	. . . . . . . 8 |- ( T ` ( B ` L ) ) = ( T ` ( B ` ( ( ( # ` B ) - 1 ) - 1 ) ) )
184	183	rneqi 5352	. . . . . . 7 |- ran ( T ` ( B ` L ) ) = ran ( T ` ( B ` ( ( ( # ` B ) - 1 ) - 1 ) ) )
185	181, 184	syl6eleqr 2712	. . . . . 6 |- ( ph -> ( S ` A ) e. ran ( T ` ( B ` L ) ) )
186	2, 3, 4, 5	efgtlen 18139	. . . . . 6 |- ( ( ( B ` L ) e. W /\ ( S ` A ) e. ran ( T ` ( B ` L ) ) ) -> ( # ` ( S ` A ) ) = ( ( # ` ( B ` L ) ) + 2 ) )
187	66, 185, 186	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> ( # ` ( S ` A ) ) = ( ( # ` ( B ` L ) ) + 2 ) )
188	153, 178, 187	3brtr4d 4685	. . . 4 |- ( ph -> ( # ` ( S ` ( B |` ( 0..^ ( ( # ` B ) - 1 ) ) ) ) ) < ( # ` ( S ` A ) ) )
189	124	simprd 479	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( B ` L ) e. ran ( T ` ( S ` C ) ) )
190	2, 3, 4, 5, 6, 7	efgsp1 18150	. . . . . . 7 |- ( ( C e. dom S /\ ( B ` L ) e. ran ( T ` ( S ` C ) ) ) -> ( C ++ <" ( B ` L ) "> ) e. dom S )
191	1, 189, 190	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> ( C ++ <" ( B ` L ) "> ) e. dom S )
192	2, 3, 4, 5, 6, 7	efgsval2 18146	. . . . . 6 |- ( ( C e. Word W /\ ( B ` L ) e. W /\ ( C ++ <" ( B ` L ) "> ) e. dom S ) -> ( S ` ( C ++ <" ( B ` L ) "> ) ) = ( B ` L ) )
193	11, 66, 191, 192	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ph -> ( S ` ( C ++ <" ( B ` L ) "> ) ) = ( B ` L ) )
194	177, 193	eqtr4d 2659	. . . 4 |- ( ph -> ( S ` ( B |` ( 0..^ ( ( # ` B ) - 1 ) ) ) ) = ( S ` ( C ++ <" ( B ` L ) "> ) ) )
195		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( a = ( B |` ( 0..^ ( ( # ` B ) - 1 ) ) ) -> ( S ` a ) = ( S ` ( B |` ( 0..^ ( ( # ` B ) - 1 ) ) ) ) )
196	195	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( a = ( B |` ( 0..^ ( ( # ` B ) - 1 ) ) ) -> ( # ` ( S ` a ) ) = ( # ` ( S ` ( B |` ( 0..^ ( ( # ` B ) - 1 ) ) ) ) ) )
197	196	breq1d 4663	. . . . . . 7 |- ( a = ( B |` ( 0..^ ( ( # ` B ) - 1 ) ) ) -> ( ( # ` ( S ` a ) ) < ( # ` ( S ` A ) ) <-> ( # ` ( S ` ( B |` ( 0..^ ( ( # ` B ) - 1 ) ) ) ) ) < ( # ` ( S ` A ) ) ) )
198	195	eqeq1d 2624	. . . . . . . 8 |- ( a = ( B |` ( 0..^ ( ( # ` B ) - 1 ) ) ) -> ( ( S ` a ) = ( S ` b ) <-> ( S ` ( B |` ( 0..^ ( ( # ` B ) - 1 ) ) ) ) = ( S ` b ) ) )
199		fveq1 6190	. . . . . . . . 9 |- ( a = ( B |` ( 0..^ ( ( # ` B ) - 1 ) ) ) -> ( a ` 0 ) = ( ( B |` ( 0..^ ( ( # ` B ) - 1 ) ) ) ` 0 ) )
200	199	eqeq1d 2624	. . . . . . . 8 |- ( a = ( B |` ( 0..^ ( ( # ` B ) - 1 ) ) ) -> ( ( a ` 0 ) = ( b ` 0 ) <-> ( ( B |` ( 0..^ ( ( # ` B ) - 1 ) ) ) ` 0 ) = ( b ` 0 ) ) )
201	198, 200	imbi12d 334	. . . . . . 7 |- ( a = ( B |` ( 0..^ ( ( # ` B ) - 1 ) ) ) -> ( ( ( S ` a ) = ( S ` b ) -> ( a ` 0 ) = ( b ` 0 ) ) <-> ( ( S ` ( B |` ( 0..^ ( ( # ` B ) - 1 ) ) ) ) = ( S ` b ) -> ( ( B |` ( 0..^ ( ( # ` B ) - 1 ) ) ) ` 0 ) = ( b ` 0 ) ) ) )
202	197, 201	imbi12d 334	. . . . . 6 |- ( a = ( B |` ( 0..^ ( ( # ` B ) - 1 ) ) ) -> ( ( ( # ` ( S ` a ) ) < ( # ` ( S ` A ) ) -> ( ( S ` a ) = ( S ` b ) -> ( a ` 0 ) = ( b ` 0 ) ) ) <-> ( ( # ` ( S ` ( B |` ( 0..^ ( ( # ` B ) - 1 ) ) ) ) ) < ( # ` ( S ` A ) ) -> ( ( S ` ( B |` ( 0..^ ( ( # ` B ) - 1 ) ) ) ) = ( S ` b ) -> ( ( B |` ( 0..^ ( ( # ` B ) - 1 ) ) ) ` 0 ) = ( b ` 0 ) ) ) ) )
203		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( b = ( C ++ <" ( B ` L ) "> ) -> ( S ` b ) = ( S ` ( C ++ <" ( B ` L ) "> ) ) )
204	203	eqeq2d 2632	. . . . . . . 8 |- ( b = ( C ++ <" ( B ` L ) "> ) -> ( ( S ` ( B |` ( 0..^ ( ( # ` B ) - 1 ) ) ) ) = ( S ` b ) <-> ( S ` ( B |` ( 0..^ ( ( # ` B ) - 1 ) ) ) ) = ( S ` ( C ++ <" ( B ` L ) "> ) ) ) )
205		fveq1 6190	. . . . . . . . 9 |- ( b = ( C ++ <" ( B ` L ) "> ) -> ( b ` 0 ) = ( ( C ++ <" ( B ` L ) "> ) ` 0 ) )
206	205	eqeq2d 2632	. . . . . . . 8 |- ( b = ( C ++ <" ( B ` L ) "> ) -> ( ( ( B |` ( 0..^ ( ( # ` B ) - 1 ) ) ) ` 0 ) = ( b ` 0 ) <-> ( ( B |` ( 0..^ ( ( # ` B ) - 1 ) ) ) ` 0 ) = ( ( C ++ <" ( B ` L ) "> ) ` 0 ) ) )
207	204, 206	imbi12d 334	. . . . . . 7 |- ( b = ( C ++ <" ( B ` L ) "> ) -> ( ( ( S ` ( B |` ( 0..^ ( ( # ` B ) - 1 ) ) ) ) = ( S ` b ) -> ( ( B |` ( 0..^ ( ( # ` B ) - 1 ) ) ) ` 0 ) = ( b ` 0 ) ) <-> ( ( S ` ( B |` ( 0..^ ( ( # ` B ) - 1 ) ) ) ) = ( S ` ( C ++ <" ( B ` L ) "> ) ) -> ( ( B |` ( 0..^ ( ( # ` B ) - 1 ) ) ) ` 0 ) = ( ( C ++ <" ( B ` L ) "> ) ` 0 ) ) ) )
208	207	imbi2d 330	. . . . . 6 |- ( b = ( C ++ <" ( B ` L ) "> ) -> ( ( ( # ` ( S ` ( B |` ( 0..^ ( ( # ` B ) - 1 ) ) ) ) ) < ( # ` ( S ` A ) ) -> ( ( S ` ( B |` ( 0..^ ( ( # ` B ) - 1 ) ) ) ) = ( S ` b ) -> ( ( B |` ( 0..^ ( ( # ` B ) - 1 ) ) ) ` 0 ) = ( b ` 0 ) ) ) <-> ( ( # ` ( S ` ( B |` ( 0..^ ( ( # ` B ) - 1 ) ) ) ) ) < ( # ` ( S ` A ) ) -> ( ( S ` ( B |` ( 0..^ ( ( # ` B ) - 1 ) ) ) ) = ( S ` ( C ++ <" ( B ` L ) "> ) ) -> ( ( B |` ( 0..^ ( ( # ` B ) - 1 ) ) ) ` 0 ) = ( ( C ++ <" ( B ` L ) "> ) ` 0 ) ) ) ) )
209	202, 208	rspc2va 3323	. . . . 5 |- ( ( ( ( B |` ( 0..^ ( ( # ` B ) - 1 ) ) ) e. dom S /\ ( C ++ <" ( B ` L ) "> ) e. dom S ) /\ A. a e. dom S A. b e. dom S ( ( # ` ( S ` a ) ) < ( # ` ( S ` A ) ) -> ( ( S ` a ) = ( S ` b ) -> ( a ` 0 ) = ( b ` 0 ) ) ) ) -> ( ( # ` ( S ` ( B |` ( 0..^ ( ( # ` B ) - 1 ) ) ) ) ) < ( # ` ( S ` A ) ) -> ( ( S ` ( B |` ( 0..^ ( ( # ` B ) - 1 ) ) ) ) = ( S ` ( C ++ <" ( B ` L ) "> ) ) -> ( ( B |` ( 0..^ ( ( # ` B ) - 1 ) ) ) ` 0 ) = ( ( C ++ <" ( B ` L ) "> ) ` 0 ) ) ) )
210	160, 191, 27, 209	syl21anc 1325	. . . 4 |- ( ph -> ( ( # ` ( S ` ( B |` ( 0..^ ( ( # ` B ) - 1 ) ) ) ) ) < ( # ` ( S ` A ) ) -> ( ( S ` ( B |` ( 0..^ ( ( # ` B ) - 1 ) ) ) ) = ( S ` ( C ++ <" ( B ` L ) "> ) ) -> ( ( B |` ( 0..^ ( ( # ` B ) - 1 ) ) ) ` 0 ) = ( ( C ++ <" ( B ` L ) "> ) ` 0 ) ) ) )
211	188, 194, 210	mp2d 49	. . 3 |- ( ph -> ( ( B |` ( 0..^ ( ( # ` B ) - 1 ) ) ) ` 0 ) = ( ( C ++ <" ( B ` L ) "> ) ` 0 ) )
212	70, 147, 211	3eqtr4d 2666	. 2 |- ( ph -> ( ( A |` ( 0..^ ( ( # ` A ) - 1 ) ) ) ` 0 ) = ( ( B |` ( 0..^ ( ( # ` B ) - 1 ) ) ) ` 0 ) )
213		lbfzo0 12507	. . . 4 |- ( 0 e. ( 0..^ ( ( # ` A ) - 1 ) ) <-> ( ( # ` A ) - 1 ) e. NN )
214	32, 213	sylibr 224	. . 3 |- ( ph -> 0 e. ( 0..^ ( ( # ` A ) - 1 ) ) )
215		fvres 6207	. . 3 |- ( 0 e. ( 0..^ ( ( # ` A ) - 1 ) ) -> ( ( A |` ( 0..^ ( ( # ` A ) - 1 ) ) ) ` 0 ) = ( A ` 0 ) )
216	214, 215	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( ( A |` ( 0..^ ( ( # ` A ) - 1 ) ) ) ` 0 ) = ( A ` 0 ) )
217		lbfzo0 12507	. . . 4 |- ( 0 e. ( 0..^ ( ( # ` B ) - 1 ) ) <-> ( ( # ` B ) - 1 ) e. NN )
218	61, 217	sylibr 224	. . 3 |- ( ph -> 0 e. ( 0..^ ( ( # ` B ) - 1 ) ) )
219		fvres 6207	. . 3 |- ( 0 e. ( 0..^ ( ( # ` B ) - 1 ) ) -> ( ( B |` ( 0..^ ( ( # ` B ) - 1 ) ) ) ` 0 ) = ( B ` 0 ) )
220	218, 219	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( ( B |` ( 0..^ ( ( # ` B ) - 1 ) ) ) ` 0 ) = ( B ` 0 ) )
221	212, 216, 220	3eqtr3d 2664	1 |- ( ph -> ( A ` 0 ) = ( B ` 0 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   {crab 2916   \ cdif 3571   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   <.cop 4183   <.cotp 4185   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   _I cid 5023   X. cxp 5112   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   1oc1o 7553   2oc2o 7554   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   #chash 13117  Word cword 13291   ++ cconcat 13293   <"cs1 13294   substr csubstr 13295   splice csplice 13296   <"cs2 13586   ~_FG cefg 18119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-s1 13302  df-substr 13303  df-splice 13304  df-s2 13593

This theorem is referenced by:  efgredlemc  18158