MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfz1b Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem elfz1b 12409
Description: Membership in a 1 based finite set of sequential integers. (Contributed by AV, 30-Oct-2018.) (Proof shortened by AV, 23-Jan-2022.)
Assertion
Ref Expression
elfz1b |- ( N e. ( 1 ... M ) <-> ( N e. NN /\ M e. NN /\ N <_ M ) )
Proof of Theorem elfz1b
StepHypRef Expression
1 elfz2 12333 . . . 4 |- ( N e. ( 1 ... M ) <-> ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( 1 <_ N /\ N <_ M ) ) )
2 simpl2 1065 . . . . 5 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( 1 <_ N /\ N <_ M ) ) -> M e. ZZ )
3 1red 10055 . . . . . . 7 |- ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> 1 e. RR )
4 zre 11381 . . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
543ad2ant3 1084 . . . . . . 7 |- ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N e. RR )
6 zre 11381 . . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
763ad2ant2 1083 . . . . . . 7 |- ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> M e. RR )
8 letr 10131 . . . . . . 7 |- ( ( 1 e. RR /\ N e. RR /\ M e. RR ) -> ( ( 1 <_ N /\ N <_ M ) -> 1 <_ M ) )
93, 5, 7, 8syl3anc 1326 . . . . . 6 |- ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( 1 <_ N /\ N <_ M ) -> 1 <_ M ) )
109imp 445 . . . . 5 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( 1 <_ N /\ N <_ M ) ) -> 1 <_ M )
11 elnnz1 11403 . . . . 5 |- ( M e. NN <-> ( M e. ZZ /\ 1 <_ M ) )
122, 10, 11sylanbrc 698 . . . 4 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( 1 <_ N /\ N <_ M ) ) -> M e. NN )
131, 12sylbi 207 . . 3 |- ( N e. ( 1 ... M ) -> M e. NN )
14 elfzel2 12340 . . . 4 |- ( N e. ( 1 ... M ) -> M e. ZZ )
15 fznn 12408 . . . . 5 |- ( M e. ZZ -> ( N e. ( 1 ... M ) <-> ( N e. NN /\ N <_ M ) ) )
1615biimpd 219 . . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( N e. ( 1 ... M ) -> ( N e. NN /\ N <_ M ) ) )
1714, 16mpcom 38 . . 3 |- ( N e. ( 1 ... M ) -> ( N e. NN /\ N <_ M ) )
18 3anan12 1051 . . 3 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN /\ N <_ M ) <-> ( M e. NN /\ ( N e. NN /\ N <_ M ) ) )
1913, 17, 18sylanbrc 698 . 2 |- ( N e. ( 1 ... M ) -> ( N e. NN /\ M e. NN /\ N <_ M ) )
20 nnz 11399 . . . . . 6 |- ( M e. NN -> M e. ZZ )
2120, 15syl 17 . . . . 5 |- ( M e. NN -> ( N e. ( 1 ... M ) <-> ( N e. NN /\ N <_ M ) ) )
2221biimprd 238 . . . 4 |- ( M e. NN -> ( ( N e. NN /\ N <_ M ) -> N e. ( 1 ... M ) ) )
2322expd 452 . . 3 |- ( M e. NN -> ( N e. NN -> ( N <_ M -> N e. ( 1 ... M ) ) ) )
24233imp21 1277 . 2 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN /\ N <_ M ) -> N e. ( 1 ... M ) )
2519, 24impbii 199 1 |- ( N e. ( 1 ... M ) <-> ( N e. NN /\ M e. NN /\ N <_ M ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   e. wcel 1990   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   RRcr 9935   1c1 9937   <_ cle 10075   NNcn 11020   ZZcz 11377   ...cfz 12326
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327
This theorem is referenced by:  ubmelfzo  12532  cshwidxm  13554  cshwidxn  13555  gausslemma2dlem1a  25090  gausslemma2dlem2  25092  gausslemma2dlem4  25094  pmtrto1cl  29849  psgnfzto1stlem  29850  fzto1st  29853  psgnfzto1st  29855  hgt750lemb  30734  poimirlem32  33441
  Copyright terms: Public domain W3C validator