Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmtrto1cl Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem pmtrto1cl 29849
Description: Useful lemma for the following theorems. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnfzto1st.d |- D = ( 1 ... N )
pmtrto1cl.t |- T = (pmTrsp ` D )
Assertion
Ref Expression
pmtrto1cl |- ( ( K e. NN /\ ( K + 1 ) e. D ) -> ( T ` { K , ( K + 1 ) } ) e. ran T )
Proof of Theorem pmtrto1cl
StepHypRef Expression
1 psgnfzto1st.d . . . 4 |- D = ( 1 ... N )
2 fzfi 12771 . . . 4 |- ( 1 ... N ) e. Fin
31, 2eqeltri 2697 . . 3 |- D e. Fin
43a1i 11 . 2 |- ( ( K e. NN /\ ( K + 1 ) e. D ) -> D e. Fin )
5 simpl 473 . . . . . 6 |- ( ( K e. NN /\ ( K + 1 ) e. D ) -> K e. NN )
6 simpr 477 . . . . . . . . 9 |- ( ( K e. NN /\ ( K + 1 ) e. D ) -> ( K + 1 ) e. D )
76, 1syl6eleq 2711 . . . . . . . 8 |- ( ( K e. NN /\ ( K + 1 ) e. D ) -> ( K + 1 ) e. ( 1 ... N ) )
8 elfz1b 12409 . . . . . . . 8 |- ( ( K + 1 ) e. ( 1 ... N ) <-> ( ( K + 1 ) e. NN /\ N e. NN /\ ( K + 1 ) <_ N ) )
97, 8sylib 208 . . . . . . 7 |- ( ( K e. NN /\ ( K + 1 ) e. D ) -> ( ( K + 1 ) e. NN /\ N e. NN /\ ( K + 1 ) <_ N ) )
109simp2d 1074 . . . . . 6 |- ( ( K e. NN /\ ( K + 1 ) e. D ) -> N e. NN )
115nnred 11035 . . . . . . 7 |- ( ( K e. NN /\ ( K + 1 ) e. D ) -> K e. RR )
12 1red 10055 . . . . . . . 8 |- ( ( K e. NN /\ ( K + 1 ) e. D ) -> 1 e. RR )
1311, 12readdcld 10069 . . . . . . 7 |- ( ( K e. NN /\ ( K + 1 ) e. D ) -> ( K + 1 ) e. RR )
1410nnred 11035 . . . . . . 7 |- ( ( K e. NN /\ ( K + 1 ) e. D ) -> N e. RR )
1511lep1d 10955 . . . . . . 7 |- ( ( K e. NN /\ ( K + 1 ) e. D ) -> K <_ ( K + 1 ) )
169simp3d 1075 . . . . . . 7 |- ( ( K e. NN /\ ( K + 1 ) e. D ) -> ( K + 1 ) <_ N )
1711, 13, 14, 15, 16letrd 10194 . . . . . 6 |- ( ( K e. NN /\ ( K + 1 ) e. D ) -> K <_ N )
185, 10, 173jca 1242 . . . . 5 |- ( ( K e. NN /\ ( K + 1 ) e. D ) -> ( K e. NN /\ N e. NN /\ K <_ N ) )
19 elfz1b 12409 . . . . 5 |- ( K e. ( 1 ... N ) <-> ( K e. NN /\ N e. NN /\ K <_ N ) )
2018, 19sylibr 224 . . . 4 |- ( ( K e. NN /\ ( K + 1 ) e. D ) -> K e. ( 1 ... N ) )
2120, 1syl6eleqr 2712 . . 3 |- ( ( K e. NN /\ ( K + 1 ) e. D ) -> K e. D )
22 prssi 4353 . . 3 |- ( ( K e. D /\ ( K + 1 ) e. D ) -> { K , ( K + 1 ) } C_ D )
2321, 6, 22syl2anc 693 . 2 |- ( ( K e. NN /\ ( K + 1 ) e. D ) -> { K , ( K + 1 ) } C_ D )
2411ltp1d 10954 . . . 4 |- ( ( K e. NN /\ ( K + 1 ) e. D ) -> K < ( K + 1 ) )
2511, 24ltned 10173 . . 3 |- ( ( K e. NN /\ ( K + 1 ) e. D ) -> K =/= ( K + 1 ) )
26 pr2nelem 8827 . . 3 |- ( ( K e. D /\ ( K + 1 ) e. D /\ K =/= ( K + 1 ) ) -> { K , ( K + 1 ) } ~~ 2o )
2721, 6, 25, 26syl3anc 1326 . 2 |- ( ( K e. NN /\ ( K + 1 ) e. D ) -> { K , ( K + 1 ) } ~~ 2o )
28 pmtrto1cl.t . . 3 |- T = (pmTrsp ` D )
29 eqid 2622 . . 3 |- ran T = ran T
3028, 29pmtrrn 17877 . 2 |- ( ( D e. Fin /\ { K , ( K + 1 ) } C_ D /\ { K , ( K + 1 ) } ~~ 2o ) -> ( T ` { K , ( K + 1 ) } ) e. ran T )
314, 23, 27, 30syl3anc 1326 1 |- ( ( K e. NN /\ ( K + 1 ) e. D ) -> ( T ` { K , ( K + 1 ) } ) e. ran T )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   C_ wss 3574   {cpr 4179   class class class wbr 4653   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   2oc2o 7554   ~~ cen 7952   Fincfn 7955   1c1 9937   + caddc 9939   <_ cle 10075   NNcn 11020   ...cfz 12326  pmTrspcpmtr 17861
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-pmtr 17862
This theorem is referenced by:  psgnfzto1stlem  29850  fzto1st  29853  psgnfzto1st  29855
  Copyright terms: Public domain W3C validator