Theorem equivbnd2 33591

Description: If balls are totally bounded in the metric M, then balls are totally bounded in the equivalent metric N. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
equivbnd2.1	|- ( ph -> M e. ( Met ` X ) )
equivbnd2.2	|- ( ph -> N e. ( Met ` X ) )
equivbnd2.3	|- ( ph -> R e. RR+ )
equivbnd2.4	|- ( ph -> S e. RR+ )
equivbnd2.5	|- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( x N y ) <_ ( R x. ( x M y ) ) )
equivbnd2.6	|- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( x M y ) <_ ( S x. ( x N y ) ) )
equivbnd2.7	|- C = ( M |` ( Y X. Y ) )
equivbnd2.8	|- D = ( N |` ( Y X. Y ) )
equivbnd2.9	|- ( ph -> ( C e. ( TotBnd ` Y ) <-> C e. ( Bnd ` Y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
equivbnd2	|- ( ph -> ( D e. ( TotBnd ` Y ) <-> D e. ( Bnd ` Y ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, C   x, D, y   ph, x, y   x, R, y   x, S, y   x, Y, y

Allowed substitution hints:   M( x, y)   N( x, y)   X( x, y)

Proof of Theorem equivbnd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		totbndbnd 33588	. 2 |- ( D e. ( TotBnd ` Y ) -> D e. ( Bnd ` Y ) )
2		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ D e. ( Bnd ` Y ) ) -> D e. ( Bnd ` Y ) )
3		equivbnd2.7	. . . . . . 7 |- C = ( M |` ( Y X. Y ) )
4		equivbnd2.1	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. ( Met ` X ) )
5	4	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ D e. ( Bnd ` Y ) ) -> M e. ( Met ` X ) )
6		equivbnd2.2	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. ( Met ` X ) )
7		equivbnd2.8	. . . . . . . . . 10 |- D = ( N |` ( Y X. Y ) )
8	7	bnd2lem 33590	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ( Met ` X ) /\ D e. ( Bnd ` Y ) ) -> Y C_ X )
9	6, 8	sylan 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ D e. ( Bnd ` Y ) ) -> Y C_ X )
10		metres2 22168	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) -> ( M |` ( Y X. Y ) ) e. ( Met ` Y ) )
11	5, 9, 10	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ D e. ( Bnd ` Y ) ) -> ( M |` ( Y X. Y ) ) e. ( Met ` Y ) )
12	3, 11	syl5eqel 2705	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ D e. ( Bnd ` Y ) ) -> C e. ( Met ` Y ) )
13		equivbnd2.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> S e. RR+ )
14	13	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ D e. ( Bnd ` Y ) ) -> S e. RR+ )
15	9	sselda 3603	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ D e. ( Bnd ` Y ) ) /\ x e. Y ) -> x e. X )
16	9	sselda 3603	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ D e. ( Bnd ` Y ) ) /\ y e. Y ) -> y e. X )
17	15, 16	anim12dan 882	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ D e. ( Bnd ` Y ) ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> ( x e. X /\ y e. X ) )
18		equivbnd2.6	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( x M y ) <_ ( S x. ( x N y ) ) )
19	18	adantlr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ D e. ( Bnd ` Y ) ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( x M y ) <_ ( S x. ( x N y ) ) )
20	17, 19	syldan 487	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ D e. ( Bnd ` Y ) ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> ( x M y ) <_ ( S x. ( x N y ) ) )
21	3	oveqi 6663	. . . . . . . . 9 |- ( x C y ) = ( x ( M |` ( Y X. Y ) ) y )
22		ovres 6800	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. Y /\ y e. Y ) -> ( x ( M |` ( Y X. Y ) ) y ) = ( x M y ) )
23	21, 22	syl5eq 2668	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. Y /\ y e. Y ) -> ( x C y ) = ( x M y ) )
24	23	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ D e. ( Bnd ` Y ) ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> ( x C y ) = ( x M y ) )
25	7	oveqi 6663	. . . . . . . . . 10 |- ( x D y ) = ( x ( N |` ( Y X. Y ) ) y )
26		ovres 6800	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. Y /\ y e. Y ) -> ( x ( N |` ( Y X. Y ) ) y ) = ( x N y ) )
27	25, 26	syl5eq 2668	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. Y /\ y e. Y ) -> ( x D y ) = ( x N y ) )
28	27	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ D e. ( Bnd ` Y ) ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> ( x D y ) = ( x N y ) )
29	28	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ D e. ( Bnd ` Y ) ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> ( S x. ( x D y ) ) = ( S x. ( x N y ) ) )
30	20, 24, 29	3brtr4d 4685	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ D e. ( Bnd ` Y ) ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> ( x C y ) <_ ( S x. ( x D y ) ) )
31	2, 12, 14, 30	equivbnd 33589	. . . . 5 |- ( ( ph /\ D e. ( Bnd ` Y ) ) -> C e. ( Bnd ` Y ) )
32		equivbnd2.9	. . . . . 6 |- ( ph -> ( C e. ( TotBnd ` Y ) <-> C e. ( Bnd ` Y ) ) )
33	32	biimpar 502	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C e. ( Bnd ` Y ) ) -> C e. ( TotBnd ` Y ) )
34	31, 33	syldan 487	. . . 4 |- ( ( ph /\ D e. ( Bnd ` Y ) ) -> C e. ( TotBnd ` Y ) )
35		bndmet 33580	. . . . 5 |- ( D e. ( Bnd ` Y ) -> D e. ( Met ` Y ) )
36	35	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ph /\ D e. ( Bnd ` Y ) ) -> D e. ( Met ` Y ) )
37		equivbnd2.3	. . . . 5 |- ( ph -> R e. RR+ )
38	37	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ D e. ( Bnd ` Y ) ) -> R e. RR+ )
39		equivbnd2.5	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( x N y ) <_ ( R x. ( x M y ) ) )
40	39	adantlr 751	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ D e. ( Bnd ` Y ) ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( x N y ) <_ ( R x. ( x M y ) ) )
41	17, 40	syldan 487	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ D e. ( Bnd ` Y ) ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> ( x N y ) <_ ( R x. ( x M y ) ) )
42	24	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ D e. ( Bnd ` Y ) ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> ( R x. ( x C y ) ) = ( R x. ( x M y ) ) )
43	41, 28, 42	3brtr4d 4685	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ D e. ( Bnd ` Y ) ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> ( x D y ) <_ ( R x. ( x C y ) ) )
44	34, 36, 38, 43	equivtotbnd 33577	. . 3 |- ( ( ph /\ D e. ( Bnd ` Y ) ) -> D e. ( TotBnd ` Y ) )
45	44	ex 450	. 2 |- ( ph -> ( D e. ( Bnd ` Y ) -> D e. ( TotBnd ` Y ) ) )
46	1, 45	impbid2 216	1 |- ( ph -> ( D e. ( TotBnd ` Y ) <-> D e. ( Bnd ` Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   |` cres 5116   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   x. cmul 9941   <_ cle 10075   RR+crp 11832   Metcme 19732   TotBndctotbnd 33565   Bndcbnd 33566

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-ec 7744  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-2 11079  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-icc 12182  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-totbnd 33567  df-bnd 33578

This theorem is referenced by:  rrntotbnd  33635