Theorem eulerpartlemgvv 30438

Description: Lemma for eulerpart 30444: value of the function G evaluated. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Aug-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
eulerpart.p	|- P = { f e. ( NN0 ^m NN ) | ( ( `' f " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( f ` k ) x. k ) = N ) }
eulerpart.o	|- O = { g e. P | A. n e. ( `' g " NN ) -. 2 || n }
eulerpart.d	|- D = { g e. P | A. n e. NN ( g ` n ) <_ 1 }
eulerpart.j	|- J = { z e. NN | -. 2 || z }
eulerpart.f	|- F = ( x e. J , y e. NN0 |-> ( ( 2 ^ y ) x. x ) )
eulerpart.h	|- H = { r e. ( ( ~P NN0 i^i Fin ) ^m J ) | ( r supp (/) ) e. Fin }
eulerpart.m	|- M = ( r e. H |-> { <. x , y >. | ( x e. J /\ y e. ( r ` x ) ) } )
eulerpart.r	|- R = { f | ( `' f " NN ) e. Fin }
eulerpart.t	|- T = { f e. ( NN0 ^m NN ) | ( `' f " NN ) C_ J }
eulerpart.g	|- G = ( o e. ( T i^i R ) |-> ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
eulerpartlemgvv	|- ( ( A e. ( T i^i R ) /\ B e. NN ) -> ( ( G ` A ) ` B ) = if ( E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = B , 1 , 0 ) )

Distinct variable groups:   f, k, n, t, x, y, z   f, o, r, A   o, F   H, r   f, J   n, o, r, J, x, y   o, M   f, N   g, n, P   R, o   T, o   t, A, n, x, y   B, n, t, x, y   n, F, t, x, y   t, J   n, M, t, x, y   R, n   t, r, R, x, y   T, n, r, t, x, y

Allowed substitution hints:   A( z, g, k)   B( z, f, g, k, o, r)   D( x, y, z, t, f, g, k, n, o, r)   P( x, y, z, t, f, k, o, r)   R( z, f, g, k)   T( z, f, g, k)   F( z, f, g, k, r)   G( x, y, z, t, f, g, k, n, o, r)   H( x, y, z, t, f, g, k, n, o)   J( z, g, k)   M( z, f, g, k, r)   N( x, y, z, t, g, k, n, o, r)   O( x, y, z, t, f, g, k, n, o, r)

Proof of Theorem eulerpartlemgvv

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eulerpart.p	. . . . 5 |- P = { f e. ( NN0 ^m NN ) | ( ( `' f " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( f ` k ) x. k ) = N ) }
2		eulerpart.o	. . . . 5 |- O = { g e. P | A. n e. ( `' g " NN ) -. 2 || n }
3		eulerpart.d	. . . . 5 |- D = { g e. P | A. n e. NN ( g ` n ) <_ 1 }
4		eulerpart.j	. . . . 5 |- J = { z e. NN | -. 2 || z }
5		eulerpart.f	. . . . 5 |- F = ( x e. J , y e. NN0 |-> ( ( 2 ^ y ) x. x ) )
6		eulerpart.h	. . . . 5 |- H = { r e. ( ( ~P NN0 i^i Fin ) ^m J ) | ( r supp (/) ) e. Fin }
7		eulerpart.m	. . . . 5 |- M = ( r e. H |-> { <. x , y >. | ( x e. J /\ y e. ( r ` x ) ) } )
8		eulerpart.r	. . . . 5 |- R = { f | ( `' f " NN ) e. Fin }
9		eulerpart.t	. . . . 5 |- T = { f e. ( NN0 ^m NN ) | ( `' f " NN ) C_ J }
10		eulerpart.g	. . . . 5 |- G = ( o e. ( T i^i R ) |-> ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) )
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	eulerpartlemgv 30435	. . . 4 |- ( A e. ( T i^i R ) -> ( G ` A ) = ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( A |` J ) ) ) ) ) )
12	11	fveq1d 6193	. . 3 |- ( A e. ( T i^i R ) -> ( ( G ` A ) ` B ) = ( ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( A |` J ) ) ) ) ) ` B ) )
13	12	adantr 481	. 2 |- ( ( A e. ( T i^i R ) /\ B e. NN ) -> ( ( G ` A ) ` B ) = ( ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( A |` J ) ) ) ) ) ` B ) )
14		nnex 11026	. . 3 |- NN e. _V
15		imassrn 5477	. . . 4 |- ( F " ( M ` (bits o. ( A |` J ) ) ) ) C_ ran F
16	4, 5	oddpwdc 30416	. . . . 5 |- F : ( J X. NN0 ) -1-1-onto-> NN
17		f1of 6137	. . . . 5 |- ( F : ( J X. NN0 ) -1-1-onto-> NN -> F : ( J X. NN0 ) --> NN )
18		frn 6053	. . . . 5 |- ( F : ( J X. NN0 ) --> NN -> ran F C_ NN )
19	16, 17, 18	mp2b 10	. . . 4 |- ran F C_ NN
20	15, 19	sstri 3612	. . 3 |- ( F " ( M ` (bits o. ( A |` J ) ) ) ) C_ NN
21		simpr 477	. . 3 |- ( ( A e. ( T i^i R ) /\ B e. NN ) -> B e. NN )
22		indfval 30078	. . 3 |- ( ( NN e. _V /\ ( F " ( M ` (bits o. ( A |` J ) ) ) ) C_ NN /\ B e. NN ) -> ( ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( A |` J ) ) ) ) ) ` B ) = if ( B e. ( F " ( M ` (bits o. ( A |` J ) ) ) ) , 1 , 0 ) )
23	14, 20, 21, 22	mp3an12i 1428	. 2 |- ( ( A e. ( T i^i R ) /\ B e. NN ) -> ( ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( A |` J ) ) ) ) ) ` B ) = if ( B e. ( F " ( M ` (bits o. ( A |` J ) ) ) ) , 1 , 0 ) )
24		ffn 6045	. . . . . 6 |- ( F : ( J X. NN0 ) --> NN -> F Fn ( J X. NN0 ) )
25	16, 17, 24	mp2b 10	. . . . 5 |- F Fn ( J X. NN0 )
26	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	eulerpartlemmf 30437	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( T i^i R ) -> (bits o. ( A |` J ) ) e. H )
27	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	eulerpartlem1 30429	. . . . . . . . . . 11 |- M : H -1-1-onto-> ( ~P ( J X. NN0 ) i^i Fin )
28		f1of 6137	. . . . . . . . . . 11 |- ( M : H -1-1-onto-> ( ~P ( J X. NN0 ) i^i Fin ) -> M : H --> ( ~P ( J X. NN0 ) i^i Fin ) )
29	27, 28	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- M : H --> ( ~P ( J X. NN0 ) i^i Fin )
30	29	ffvelrni 6358	. . . . . . . . 9 |- ( (bits o. ( A |` J ) ) e. H -> ( M ` (bits o. ( A |` J ) ) ) e. ( ~P ( J X. NN0 ) i^i Fin ) )
31	26, 30	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( T i^i R ) -> ( M ` (bits o. ( A |` J ) ) ) e. ( ~P ( J X. NN0 ) i^i Fin ) )
32	31	elin1d 3802	. . . . . . 7 |- ( A e. ( T i^i R ) -> ( M ` (bits o. ( A |` J ) ) ) e. ~P ( J X. NN0 ) )
33	32	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( T i^i R ) /\ B e. NN ) -> ( M ` (bits o. ( A |` J ) ) ) e. ~P ( J X. NN0 ) )
34	33	elpwid 4170	. . . . 5 |- ( ( A e. ( T i^i R ) /\ B e. NN ) -> ( M ` (bits o. ( A |` J ) ) ) C_ ( J X. NN0 ) )
35		fvelimab 6253	. . . . 5 |- ( ( F Fn ( J X. NN0 ) /\ ( M ` (bits o. ( A |` J ) ) ) C_ ( J X. NN0 ) ) -> ( B e. ( F " ( M ` (bits o. ( A |` J ) ) ) ) <-> E. w e. ( M ` (bits o. ( A |` J ) ) ) ( F ` w ) = B ) )
36	25, 34, 35	sylancr 695	. . . 4 |- ( ( A e. ( T i^i R ) /\ B e. NN ) -> ( B e. ( F " ( M ` (bits o. ( A |` J ) ) ) ) <-> E. w e. ( M ` (bits o. ( A |` J ) ) ) ( F ` w ) = B ) )
37	4	ssrab3 3688	. . . . . . . . 9 |- J C_ NN
38	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. ( T i^i R ) -> M = ( r e. H |-> { <. x , y >. | ( x e. J /\ y e. ( r ` x ) ) } ) )
39		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( r = (bits o. ( A |` J ) ) -> ( r ` x ) = ( (bits o. ( A |` J ) ) ` x ) )
40	39	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( r = (bits o. ( A |` J ) ) -> ( y e. ( r ` x ) <-> y e. ( (bits o. ( A |` J ) ) ` x ) ) )
41	40	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( r = (bits o. ( A |` J ) ) -> ( ( x e. J /\ y e. ( r ` x ) ) <-> ( x e. J /\ y e. ( (bits o. ( A |` J ) ) ` x ) ) ) )
42	41	opabbidv 4716	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( r = (bits o. ( A |` J ) ) -> { <. x , y >. | ( x e. J /\ y e. ( r ` x ) ) } = { <. x , y >. | ( x e. J /\ y e. ( (bits o. ( A |` J ) ) ` x ) ) } )
43	42	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. ( T i^i R ) /\ r = (bits o. ( A |` J ) ) ) -> { <. x , y >. | ( x e. J /\ y e. ( r ` x ) ) } = { <. x , y >. | ( x e. J /\ y e. ( (bits o. ( A |` J ) ) ` x ) ) } )
44	14, 37	ssexi 4803	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- J e. _V
45		abid2 2745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- { y | y e. ( (bits o. ( A |` J ) ) ` x ) } = ( (bits o. ( A |` J ) ) ` x )
46	45	fvexi 6202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- { y | y e. ( (bits o. ( A |` J ) ) ` x ) } e. _V
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. J -> { y | y e. ( (bits o. ( A |` J ) ) ` x ) } e. _V )
48	44, 47	opabex3 7146	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- { <. x , y >. | ( x e. J /\ y e. ( (bits o. ( A |` J ) ) ` x ) ) } e. _V
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. ( T i^i R ) -> { <. x , y >. | ( x e. J /\ y e. ( (bits o. ( A |` J ) ) ` x ) ) } e. _V )
50	38, 43, 26, 49	fvmptd 6288	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. ( T i^i R ) -> ( M ` (bits o. ( A |` J ) ) ) = { <. x , y >. | ( x e. J /\ y e. ( (bits o. ( A |` J ) ) ` x ) ) } )
51		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x = t /\ y = n ) -> x = t )
52	51	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x = t /\ y = n ) -> ( x e. J <-> t e. J ) )
53		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x = t /\ y = n ) -> y = n )
54	51	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x = t /\ y = n ) -> ( (bits o. ( A |` J ) ) ` x ) = ( (bits o. ( A |` J ) ) ` t ) )
55	53, 54	eleq12d 2695	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x = t /\ y = n ) -> ( y e. ( (bits o. ( A |` J ) ) ` x ) <-> n e. ( (bits o. ( A |` J ) ) ` t ) ) )
56	52, 55	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x = t /\ y = n ) -> ( ( x e. J /\ y e. ( (bits o. ( A |` J ) ) ` x ) ) <-> ( t e. J /\ n e. ( (bits o. ( A |` J ) ) ` t ) ) ) )
57	56	cbvopabv 4722	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { <. x , y >. | ( x e. J /\ y e. ( (bits o. ( A |` J ) ) ` x ) ) } = { <. t , n >. | ( t e. J /\ n e. ( (bits o. ( A |` J ) ) ` t ) ) }
58	50, 57	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. ( T i^i R ) -> ( M ` (bits o. ( A |` J ) ) ) = { <. t , n >. | ( t e. J /\ n e. ( (bits o. ( A |` J ) ) ` t ) ) } )
59	58	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( T i^i R ) -> ( w e. ( M ` (bits o. ( A |` J ) ) ) <-> w e. { <. t , n >. | ( t e. J /\ n e. ( (bits o. ( A |` J ) ) ` t ) ) } ) )
60	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	eulerpartlemt0 30431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( A e. ( T i^i R ) <-> ( A e. ( NN0 ^m NN ) /\ ( `' A " NN ) e. Fin /\ ( `' A " NN ) C_ J ) )
61	60	simp1bi 1076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( A e. ( T i^i R ) -> A e. ( NN0 ^m NN ) )
62		nn0ex 11298	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- NN0 e. _V
63	62, 14	elmap 7886	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( A e. ( NN0 ^m NN ) <-> A : NN --> NN0 )
64	61, 63	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( A e. ( T i^i R ) -> A : NN --> NN0 )
65		ffun 6048	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( A : NN --> NN0 -> Fun A )
66		funres 5929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( Fun A -> Fun ( A |` J ) )
67	64, 65, 66	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A e. ( T i^i R ) -> Fun ( A |` J ) )
68		fssres 6070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( A : NN --> NN0 /\ J C_ NN ) -> ( A |` J ) : J --> NN0 )
69	64, 37, 68	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( A e. ( T i^i R ) -> ( A |` J ) : J --> NN0 )
70		fdm 6051	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( A |` J ) : J --> NN0 -> dom ( A |` J ) = J )
71	70	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( A |` J ) : J --> NN0 -> ( t e. dom ( A |` J ) <-> t e. J ) )
72	69, 71	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( A e. ( T i^i R ) -> ( t e. dom ( A |` J ) <-> t e. J ) )
73	72	biimpar 502	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( A e. ( T i^i R ) /\ t e. J ) -> t e. dom ( A |` J ) )
74		fvco 6274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( Fun ( A |` J ) /\ t e. dom ( A |` J ) ) -> ( (bits o. ( A |` J ) ) ` t ) = (bits ` ( ( A |` J ) ` t ) ) )
75	67, 73, 74	syl2an2r 876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A e. ( T i^i R ) /\ t e. J ) -> ( (bits o. ( A |` J ) ) ` t ) = (bits ` ( ( A |` J ) ` t ) ) )
76		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( t e. J -> ( ( A |` J ) ` t ) = ( A ` t ) )
77	76	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( t e. J -> (bits ` ( ( A |` J ) ` t ) ) = (bits ` ( A ` t ) ) )
78	77	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A e. ( T i^i R ) /\ t e. J ) -> (bits ` ( ( A |` J ) ` t ) ) = (bits ` ( A ` t ) ) )
79	75, 78	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. ( T i^i R ) /\ t e. J ) -> ( (bits o. ( A |` J ) ) ` t ) = (bits ` ( A ` t ) ) )
80	79	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. ( T i^i R ) /\ t e. J ) -> ( n e. ( (bits o. ( A |` J ) ) ` t ) <-> n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) )
81	80	pm5.32da 673	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. ( T i^i R ) -> ( ( t e. J /\ n e. ( (bits o. ( A |` J ) ) ` t ) ) <-> ( t e. J /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) )
82	81	opabbidv 4716	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. ( T i^i R ) -> { <. t , n >. | ( t e. J /\ n e. ( (bits o. ( A |` J ) ) ` t ) ) } = { <. t , n >. | ( t e. J /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) } )
83	82	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. ( T i^i R ) -> ( w e. { <. t , n >. | ( t e. J /\ n e. ( (bits o. ( A |` J ) ) ` t ) ) } <-> w e. { <. t , n >. | ( t e. J /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) } ) )
84		elopab 4983	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w e. { <. t , n >. | ( t e. J /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) } <-> E. t E. n ( w = <. t , n >. /\ ( t e. J /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) )
85	83, 84	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. ( T i^i R ) -> ( w e. { <. t , n >. | ( t e. J /\ n e. ( (bits o. ( A |` J ) ) ` t ) ) } <-> E. t E. n ( w = <. t , n >. /\ ( t e. J /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) ) )
86		ancom 466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( w = <. t , n >. /\ ( t e. J /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) <-> ( ( t e. J /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) /\ w = <. t , n >. ) )
87		anass 681	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( t e. J /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) /\ w = <. t , n >. ) <-> ( t e. J /\ ( n e. (bits ` ( A ` t ) ) /\ w = <. t , n >. ) ) )
88	86, 87	bitri 264	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( w = <. t , n >. /\ ( t e. J /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) <-> ( t e. J /\ ( n e. (bits ` ( A ` t ) ) /\ w = <. t , n >. ) ) )
89	88	2exbii 1775	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E. t E. n ( w = <. t , n >. /\ ( t e. J /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) <-> E. t E. n ( t e. J /\ ( n e. (bits ` ( A ` t ) ) /\ w = <. t , n >. ) ) )
90		df-rex 2918	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) w = <. t , n >. <-> E. n ( n e. (bits ` ( A ` t ) ) /\ w = <. t , n >. ) )
91	90	anbi2i 730	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( t e. J /\ E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) w = <. t , n >. ) <-> ( t e. J /\ E. n ( n e. (bits ` ( A ` t ) ) /\ w = <. t , n >. ) ) )
92	91	exbii 1774	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E. t ( t e. J /\ E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) w = <. t , n >. ) <-> E. t ( t e. J /\ E. n ( n e. (bits ` ( A ` t ) ) /\ w = <. t , n >. ) ) )
93		df-rex 2918	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E. t e. J E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) w = <. t , n >. <-> E. t ( t e. J /\ E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) w = <. t , n >. ) )
94		exdistr 1919	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E. t E. n ( t e. J /\ ( n e. (bits ` ( A ` t ) ) /\ w = <. t , n >. ) ) <-> E. t ( t e. J /\ E. n ( n e. (bits ` ( A ` t ) ) /\ w = <. t , n >. ) ) )
95	92, 93, 94	3bitr4i 292	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E. t e. J E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) w = <. t , n >. <-> E. t E. n ( t e. J /\ ( n e. (bits ` ( A ` t ) ) /\ w = <. t , n >. ) ) )
96	89, 95	bitr4i 267	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E. t E. n ( w = <. t , n >. /\ ( t e. J /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) <-> E. t e. J E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) w = <. t , n >. )
97	85, 96	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( T i^i R ) -> ( w e. { <. t , n >. | ( t e. J /\ n e. ( (bits o. ( A |` J ) ) ` t ) ) } <-> E. t e. J E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) w = <. t , n >. ) )
98	59, 97	bitrd 268	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( T i^i R ) -> ( w e. ( M ` (bits o. ( A |` J ) ) ) <-> E. t e. J E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) w = <. t , n >. ) )
99	98	biimpa 501	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( T i^i R ) /\ w e. ( M ` (bits o. ( A |` J ) ) ) ) -> E. t e. J E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) w = <. t , n >. )
100	99	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( T i^i R ) /\ B e. NN ) /\ w e. ( M ` (bits o. ( A |` J ) ) ) ) -> E. t e. J E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) w = <. t , n >. )
101		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = <. t , n >. -> ( F ` w ) = ( F ` <. t , n >. ) )
102	101	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A e. ( T i^i R ) /\ B e. NN ) /\ w e. ( M ` (bits o. ( A |` J ) ) ) ) /\ ( t e. J /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) /\ w = <. t , n >. ) -> ( F ` w ) = ( F ` <. t , n >. ) )
103		bitsss 15148	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (bits ` ( A ` t ) ) C_ NN0
104	103	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. (bits ` ( A ` t ) ) -> n e. NN0 )
105	104	anim2i 593	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( t e. J /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) -> ( t e. J /\ n e. NN0 ) )
106	105	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A e. ( T i^i R ) /\ B e. NN ) /\ w e. ( M ` (bits o. ( A |` J ) ) ) ) /\ ( t e. J /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) /\ w = <. t , n >. ) -> ( t e. J /\ n e. NN0 ) )
107		opelxp 5146	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( <. t , n >. e. ( J X. NN0 ) <-> ( t e. J /\ n e. NN0 ) )
108	4, 5	oddpwdcv 30417	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( <. t , n >. e. ( J X. NN0 ) -> ( F ` <. t , n >. ) = ( ( 2 ^ ( 2nd ` <. t , n >. ) ) x. ( 1st ` <. t , n >. ) ) )
109		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- t e. _V
110		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- n e. _V
111	109, 110	op2nd 7177	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 2nd ` <. t , n >. ) = n
112	111	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 2 ^ ( 2nd ` <. t , n >. ) ) = ( 2 ^ n )
113	109, 110	op1st 7176	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 1st ` <. t , n >. ) = t
114	112, 113	oveq12i 6662	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 2 ^ ( 2nd ` <. t , n >. ) ) x. ( 1st ` <. t , n >. ) ) = ( ( 2 ^ n ) x. t )
115	108, 114	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( <. t , n >. e. ( J X. NN0 ) -> ( F ` <. t , n >. ) = ( ( 2 ^ n ) x. t ) )
116	107, 115	sylbir 225	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( t e. J /\ n e. NN0 ) -> ( F ` <. t , n >. ) = ( ( 2 ^ n ) x. t ) )
117	106, 116	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A e. ( T i^i R ) /\ B e. NN ) /\ w e. ( M ` (bits o. ( A |` J ) ) ) ) /\ ( t e. J /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) /\ w = <. t , n >. ) -> ( F ` <. t , n >. ) = ( ( 2 ^ n ) x. t ) )
118	102, 117	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. ( T i^i R ) /\ B e. NN ) /\ w e. ( M ` (bits o. ( A |` J ) ) ) ) /\ ( t e. J /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) /\ w = <. t , n >. ) -> ( ( 2 ^ n ) x. t ) = ( F ` w ) )
119	118	ex 450	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( T i^i R ) /\ B e. NN ) /\ w e. ( M ` (bits o. ( A |` J ) ) ) ) /\ ( t e. J /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> ( w = <. t , n >. -> ( ( 2 ^ n ) x. t ) = ( F ` w ) ) )
120	119	reximdvva 3019	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( T i^i R ) /\ B e. NN ) /\ w e. ( M ` (bits o. ( A |` J ) ) ) ) -> ( E. t e. J E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) w = <. t , n >. -> E. t e. J E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = ( F ` w ) ) )
121	100, 120	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( T i^i R ) /\ B e. NN ) /\ w e. ( M ` (bits o. ( A |` J ) ) ) ) -> E. t e. J E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = ( F ` w ) )
122		ssrexv 3667	. . . . . . . . 9 |- ( J C_ NN -> ( E. t e. J E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = ( F ` w ) -> E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = ( F ` w ) ) )
123	37, 121, 122	mpsyl 68	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( T i^i R ) /\ B e. NN ) /\ w e. ( M ` (bits o. ( A |` J ) ) ) ) -> E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = ( F ` w ) )
124	123	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ( T i^i R ) /\ B e. NN ) /\ w e. ( M ` (bits o. ( A |` J ) ) ) ) /\ ( F ` w ) = B ) -> E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = ( F ` w ) )
125		eqeq2 2633	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F ` w ) = B -> ( ( ( 2 ^ n ) x. t ) = ( F ` w ) <-> ( ( 2 ^ n ) x. t ) = B ) )
126	125	rexbidv 3052	. . . . . . . . 9 |- ( ( F ` w ) = B -> ( E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = ( F ` w ) <-> E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = B ) )
127	126	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ( T i^i R ) /\ B e. NN ) /\ w e. ( M ` (bits o. ( A |` J ) ) ) ) /\ ( F ` w ) = B ) -> ( E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = ( F ` w ) <-> E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = B ) )
128	127	rexbidv 3052	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ( T i^i R ) /\ B e. NN ) /\ w e. ( M ` (bits o. ( A |` J ) ) ) ) /\ ( F ` w ) = B ) -> ( E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = ( F ` w ) <-> E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = B ) )
129	124, 128	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ( T i^i R ) /\ B e. NN ) /\ w e. ( M ` (bits o. ( A |` J ) ) ) ) /\ ( F ` w ) = B ) -> E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = B )
130	129	r19.29an 3077	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( T i^i R ) /\ B e. NN ) /\ E. w e. ( M ` (bits o. ( A |` J ) ) ) ( F ` w ) = B ) -> E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = B )
131		simp-5l 808	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. ( T i^i R ) /\ B e. NN ) /\ E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = B ) /\ x e. J ) /\ y e. (bits ` ( A ` x ) ) ) /\ ( ( 2 ^ y ) x. x ) = B ) -> A e. ( T i^i R ) )
132		simpllr 799	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. ( T i^i R ) /\ B e. NN ) /\ E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = B ) /\ x e. J ) /\ y e. (bits ` ( A ` x ) ) ) /\ ( ( 2 ^ y ) x. x ) = B ) -> x e. J )
133		simplr 792	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. ( T i^i R ) /\ B e. NN ) /\ E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = B ) /\ x e. J ) /\ y e. (bits ` ( A ` x ) ) ) /\ ( ( 2 ^ y ) x. x ) = B ) -> y e. (bits ` ( A ` x ) ) )
134	70	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A |` J ) : J --> NN0 -> ( x e. dom ( A |` J ) <-> x e. J ) )
135	69, 134	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( T i^i R ) -> ( x e. dom ( A |` J ) <-> x e. J ) )
136	135	biimpar 502	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ( T i^i R ) /\ x e. J ) -> x e. dom ( A |` J ) )
137		fvco 6274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Fun ( A |` J ) /\ x e. dom ( A |` J ) ) -> ( (bits o. ( A |` J ) ) ` x ) = (bits ` ( ( A |` J ) ` x ) ) )
138	67, 136, 137	syl2an2r 876	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( T i^i R ) /\ x e. J ) -> ( (bits o. ( A |` J ) ) ` x ) = (bits ` ( ( A |` J ) ` x ) ) )
139		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. J -> ( ( A |` J ) ` x ) = ( A ` x ) )
140	139	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. J -> (bits ` ( ( A |` J ) ` x ) ) = (bits ` ( A ` x ) ) )
141	140	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( T i^i R ) /\ x e. J ) -> (bits ` ( ( A |` J ) ` x ) ) = (bits ` ( A ` x ) ) )
142	138, 141	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( T i^i R ) /\ x e. J ) -> ( (bits o. ( A |` J ) ) ` x ) = (bits ` ( A ` x ) ) )
143	131, 132, 142	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. ( T i^i R ) /\ B e. NN ) /\ E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = B ) /\ x e. J ) /\ y e. (bits ` ( A ` x ) ) ) /\ ( ( 2 ^ y ) x. x ) = B ) -> ( (bits o. ( A |` J ) ) ` x ) = (bits ` ( A ` x ) ) )
144	133, 143	eleqtrrd 2704	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. ( T i^i R ) /\ B e. NN ) /\ E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = B ) /\ x e. J ) /\ y e. (bits ` ( A ` x ) ) ) /\ ( ( 2 ^ y ) x. x ) = B ) -> y e. ( (bits o. ( A |` J ) ) ` x ) )
145	50	eleq2d 2687	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( T i^i R ) -> ( <. x , y >. e. ( M ` (bits o. ( A |` J ) ) ) <-> <. x , y >. e. { <. x , y >. | ( x e. J /\ y e. ( (bits o. ( A |` J ) ) ` x ) ) } ) )
146		opabid 4982	. . . . . . . . . 10 |- ( <. x , y >. e. { <. x , y >. | ( x e. J /\ y e. ( (bits o. ( A |` J ) ) ` x ) ) } <-> ( x e. J /\ y e. ( (bits o. ( A |` J ) ) ` x ) ) )
147	145, 146	syl6bb 276	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( T i^i R ) -> ( <. x , y >. e. ( M ` (bits o. ( A |` J ) ) ) <-> ( x e. J /\ y e. ( (bits o. ( A |` J ) ) ` x ) ) ) )
148	147	biimpar 502	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( T i^i R ) /\ ( x e. J /\ y e. ( (bits o. ( A |` J ) ) ` x ) ) ) -> <. x , y >. e. ( M ` (bits o. ( A |` J ) ) ) )
149	131, 132, 144, 148	syl12anc 1324	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( A e. ( T i^i R ) /\ B e. NN ) /\ E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = B ) /\ x e. J ) /\ y e. (bits ` ( A ` x ) ) ) /\ ( ( 2 ^ y ) x. x ) = B ) -> <. x , y >. e. ( M ` (bits o. ( A |` J ) ) ) )
150		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. ( T i^i R ) /\ B e. NN ) /\ E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = B ) /\ x e. J ) /\ y e. (bits ` ( A ` x ) ) ) /\ ( ( 2 ^ y ) x. x ) = B ) -> ( ( 2 ^ y ) x. x ) = B )
151	34	ad4antr 768	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. ( T i^i R ) /\ B e. NN ) /\ E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = B ) /\ x e. J ) /\ y e. (bits ` ( A ` x ) ) ) /\ ( ( 2 ^ y ) x. x ) = B ) -> ( M ` (bits o. ( A |` J ) ) ) C_ ( J X. NN0 ) )
152	151, 149	sseldd 3604	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. ( T i^i R ) /\ B e. NN ) /\ E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = B ) /\ x e. J ) /\ y e. (bits ` ( A ` x ) ) ) /\ ( ( 2 ^ y ) x. x ) = B ) -> <. x , y >. e. ( J X. NN0 ) )
153		opeq1 4402	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t = x -> <. t , y >. = <. x , y >. )
154	153	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . 11 |- ( t = x -> ( <. t , y >. e. ( J X. NN0 ) <-> <. x , y >. e. ( J X. NN0 ) ) )
155	153	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t = x -> ( F ` <. t , y >. ) = ( F ` <. x , y >. ) )
156		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t = x -> ( ( 2 ^ y ) x. t ) = ( ( 2 ^ y ) x. x ) )
157	155, 156	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . 11 |- ( t = x -> ( ( F ` <. t , y >. ) = ( ( 2 ^ y ) x. t ) <-> ( F ` <. x , y >. ) = ( ( 2 ^ y ) x. x ) ) )
158	154, 157	imbi12d 334	. . . . . . . . . 10 |- ( t = x -> ( ( <. t , y >. e. ( J X. NN0 ) -> ( F ` <. t , y >. ) = ( ( 2 ^ y ) x. t ) ) <-> ( <. x , y >. e. ( J X. NN0 ) -> ( F ` <. x , y >. ) = ( ( 2 ^ y ) x. x ) ) ) )
159		opeq2 4403	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = y -> <. t , n >. = <. t , y >. )
160	159	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = y -> ( <. t , n >. e. ( J X. NN0 ) <-> <. t , y >. e. ( J X. NN0 ) ) )
161	159	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = y -> ( F ` <. t , n >. ) = ( F ` <. t , y >. ) )
162		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = y -> ( 2 ^ n ) = ( 2 ^ y ) )
163	162	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = y -> ( ( 2 ^ n ) x. t ) = ( ( 2 ^ y ) x. t ) )
164	161, 163	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = y -> ( ( F ` <. t , n >. ) = ( ( 2 ^ n ) x. t ) <-> ( F ` <. t , y >. ) = ( ( 2 ^ y ) x. t ) ) )
165	160, 164	imbi12d 334	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = y -> ( ( <. t , n >. e. ( J X. NN0 ) -> ( F ` <. t , n >. ) = ( ( 2 ^ n ) x. t ) ) <-> ( <. t , y >. e. ( J X. NN0 ) -> ( F ` <. t , y >. ) = ( ( 2 ^ y ) x. t ) ) ) )
166	165, 115	chvarv 2263	. . . . . . . . . 10 |- ( <. t , y >. e. ( J X. NN0 ) -> ( F ` <. t , y >. ) = ( ( 2 ^ y ) x. t ) )
167	158, 166	chvarv 2263	. . . . . . . . 9 |- ( <. x , y >. e. ( J X. NN0 ) -> ( F ` <. x , y >. ) = ( ( 2 ^ y ) x. x ) )
168		eqeq2 2633	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 2 ^ y ) x. x ) = B -> ( ( F ` <. x , y >. ) = ( ( 2 ^ y ) x. x ) <-> ( F ` <. x , y >. ) = B ) )
169	168	biimpa 501	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( 2 ^ y ) x. x ) = B /\ ( F ` <. x , y >. ) = ( ( 2 ^ y ) x. x ) ) -> ( F ` <. x , y >. ) = B )
170	167, 169	sylan2 491	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( 2 ^ y ) x. x ) = B /\ <. x , y >. e. ( J X. NN0 ) ) -> ( F ` <. x , y >. ) = B )
171	150, 152, 170	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( A e. ( T i^i R ) /\ B e. NN ) /\ E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = B ) /\ x e. J ) /\ y e. (bits ` ( A ` x ) ) ) /\ ( ( 2 ^ y ) x. x ) = B ) -> ( F ` <. x , y >. ) = B )
172		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( w = <. x , y >. -> ( F ` w ) = ( F ` <. x , y >. ) )
173	172	eqeq1d 2624	. . . . . . . 8 |- ( w = <. x , y >. -> ( ( F ` w ) = B <-> ( F ` <. x , y >. ) = B ) )
174	173	rspcev 3309	. . . . . . 7 |- ( ( <. x , y >. e. ( M ` (bits o. ( A |` J ) ) ) /\ ( F ` <. x , y >. ) = B ) -> E. w e. ( M ` (bits o. ( A |` J ) ) ) ( F ` w ) = B )
175	149, 171, 174	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( A e. ( T i^i R ) /\ B e. NN ) /\ E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = B ) /\ x e. J ) /\ y e. (bits ` ( A ` x ) ) ) /\ ( ( 2 ^ y ) x. x ) = B ) -> E. w e. ( M ` (bits o. ( A |` J ) ) ) ( F ` w ) = B )
176		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 |- ( t = x -> ( ( 2 ^ n ) x. t ) = ( ( 2 ^ n ) x. x ) )
177	176	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . 10 |- ( t = x -> ( ( ( 2 ^ n ) x. t ) = B <-> ( ( 2 ^ n ) x. x ) = B ) )
178	162	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = y -> ( ( 2 ^ n ) x. x ) = ( ( 2 ^ y ) x. x ) )
179	178	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . 10 |- ( n = y -> ( ( ( 2 ^ n ) x. x ) = B <-> ( ( 2 ^ y ) x. x ) = B ) )
180	177, 179	sylan9bb 736	. . . . . . . . 9 |- ( ( t = x /\ n = y ) -> ( ( ( 2 ^ n ) x. t ) = B <-> ( ( 2 ^ y ) x. x ) = B ) )
181		simpl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( t = x /\ n = y ) -> t = x )
182	181	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( t = x /\ n = y ) -> ( A ` t ) = ( A ` x ) )
183	182	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ( t = x /\ n = y ) -> (bits ` ( A ` t ) ) = (bits ` ( A ` x ) ) )
184	180, 183	cbvrexdva2 3176	. . . . . . . 8 |- ( t = x -> ( E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = B <-> E. y e. (bits ` ( A ` x ) ) ( ( 2 ^ y ) x. x ) = B ) )
185	184	cbvrexv 3172	. . . . . . 7 |- ( E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = B <-> E. x e. NN E. y e. (bits ` ( A ` x ) ) ( ( 2 ^ y ) x. x ) = B )
186		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ y A e. ( T i^i R )
187		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ y x e. NN
188		nfre1 3005	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ y E. y e. (bits ` ( A ` x ) ) ( ( 2 ^ y ) x. x ) = B
189	187, 188	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ y ( x e. NN /\ E. y e. (bits ` ( A ` x ) ) ( ( 2 ^ y ) x. x ) = B )
190	186, 189	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ y ( A e. ( T i^i R ) /\ ( x e. NN /\ E. y e. (bits ` ( A ` x ) ) ( ( 2 ^ y ) x. x ) = B ) )
191		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ( T i^i R ) /\ x e. NN ) /\ y e. (bits ` ( A ` x ) ) ) -> x e. NN )
192		n0i 3920	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y e. (bits ` ( A ` x ) ) -> -. (bits ` ( A ` x ) ) = (/) )
193	192	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. ( T i^i R ) /\ x e. NN ) /\ y e. (bits ` ( A ` x ) ) ) -> -. (bits ` ( A ` x ) ) = (/) )
194		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A ` x ) = 0 -> (bits ` ( A ` x ) ) = (bits ` 0 ) )
195		0bits 15161	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (bits ` 0 ) = (/)
196	194, 195	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A ` x ) = 0 -> (bits ` ( A ` x ) ) = (/) )
197	193, 196	nsyl 135	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. ( T i^i R ) /\ x e. NN ) /\ y e. (bits ` ( A ` x ) ) ) -> -. ( A ` x ) = 0 )
198	64	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( A e. ( T i^i R ) /\ x e. NN ) -> ( A ` x ) e. NN0 )
199	198	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( A e. ( T i^i R ) /\ x e. NN ) /\ y e. (bits ` ( A ` x ) ) ) -> ( A ` x ) e. NN0 )
200		elnn0 11294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( A ` x ) e. NN0 <-> ( ( A ` x ) e. NN \/ ( A ` x ) = 0 ) )
201	199, 200	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( A e. ( T i^i R ) /\ x e. NN ) /\ y e. (bits ` ( A ` x ) ) ) -> ( ( A ` x ) e. NN \/ ( A ` x ) = 0 ) )
202	201	orcomd 403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. ( T i^i R ) /\ x e. NN ) /\ y e. (bits ` ( A ` x ) ) ) -> ( ( A ` x ) = 0 \/ ( A ` x ) e. NN ) )
203	202	orcanai 952	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A e. ( T i^i R ) /\ x e. NN ) /\ y e. (bits ` ( A ` x ) ) ) /\ -. ( A ` x ) = 0 ) -> ( A ` x ) e. NN )
204	197, 203	mpdan 702	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. ( T i^i R ) /\ x e. NN ) /\ y e. (bits ` ( A ` x ) ) ) -> ( A ` x ) e. NN )
205	60	simp3bi 1078	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( A e. ( T i^i R ) -> ( `' A " NN ) C_ J )
206	205	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( A e. ( T i^i R ) /\ n e. ( `' A " NN ) ) -> n e. J )
207		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( z = n -> ( 2 || z <-> 2 || n ) )
208	207	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( z = n -> ( -. 2 || z <-> -. 2 || n ) )
209	208, 4	elrab2 3366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( n e. J <-> ( n e. NN /\ -. 2 || n ) )
210	209	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( n e. J -> -. 2 || n )
211	206, 210	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( A e. ( T i^i R ) /\ n e. ( `' A " NN ) ) -> -. 2 || n )
212	211	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A e. ( T i^i R ) -> A. n e. ( `' A " NN ) -. 2 || n )
213		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( A : NN --> NN0 -> A Fn NN )
214		elpreima 6337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( A Fn NN -> ( n e. ( `' A " NN ) <-> ( n e. NN /\ ( A ` n ) e. NN ) ) )
215	64, 213, 214	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( A e. ( T i^i R ) -> ( n e. ( `' A " NN ) <-> ( n e. NN /\ ( A ` n ) e. NN ) ) )
216	215	imbi1d 331	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( A e. ( T i^i R ) -> ( ( n e. ( `' A " NN ) -> -. 2 || n ) <-> ( ( n e. NN /\ ( A ` n ) e. NN ) -> -. 2 || n ) ) )
217		impexp 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( n e. NN /\ ( A ` n ) e. NN ) -> -. 2 || n ) <-> ( n e. NN -> ( ( A ` n ) e. NN -> -. 2 || n ) ) )
218	216, 217	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( A e. ( T i^i R ) -> ( ( n e. ( `' A " NN ) -> -. 2 || n ) <-> ( n e. NN -> ( ( A ` n ) e. NN -> -. 2 || n ) ) ) )
219	218	ralbidv2 2984	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A e. ( T i^i R ) -> ( A. n e. ( `' A " NN ) -. 2 || n <-> A. n e. NN ( ( A ` n ) e. NN -> -. 2 || n ) ) )
220	212, 219	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A e. ( T i^i R ) -> A. n e. NN ( ( A ` n ) e. NN -> -. 2 || n ) )
221		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x = n -> ( A ` x ) = ( A ` n ) )
222	221	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = n -> ( ( A ` x ) e. NN <-> ( A ` n ) e. NN ) )
223		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x = n -> ( 2 || x <-> 2 || n ) )
224	223	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = n -> ( -. 2 || x <-> -. 2 || n ) )
225	222, 224	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = n -> ( ( ( A ` x ) e. NN -> -. 2 || x ) <-> ( ( A ` n ) e. NN -> -. 2 || n ) ) )
226	225	cbvralv 3171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A. x e. NN ( ( A ` x ) e. NN -> -. 2 || x ) <-> A. n e. NN ( ( A ` n ) e. NN -> -. 2 || n ) )
227	220, 226	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A e. ( T i^i R ) -> A. x e. NN ( ( A ` x ) e. NN -> -. 2 || x ) )
228	227	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. ( T i^i R ) /\ x e. NN ) -> ( ( A ` x ) e. NN -> -. 2 || x ) )
229	228	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. ( T i^i R ) /\ x e. NN ) /\ ( A ` x ) e. NN ) -> -. 2 || x )
230	204, 229	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ( T i^i R ) /\ x e. NN ) /\ y e. (bits ` ( A ` x ) ) ) -> -. 2 || x )
231		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = x -> ( 2 || z <-> 2 || x ) )
232	231	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = x -> ( -. 2 || z <-> -. 2 || x ) )
233	232, 4	elrab2 3366	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. J <-> ( x e. NN /\ -. 2 || x ) )
234	191, 230, 233	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ( T i^i R ) /\ x e. NN ) /\ y e. (bits ` ( A ` x ) ) ) -> x e. J )
235	234	adantlrr 757	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ( T i^i R ) /\ ( x e. NN /\ E. y e. (bits ` ( A ` x ) ) ( ( 2 ^ y ) x. x ) = B ) ) /\ y e. (bits ` ( A ` x ) ) ) -> x e. J )
236	235	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ( T i^i R ) /\ ( x e. NN /\ E. y e. (bits ` ( A ` x ) ) ( ( 2 ^ y ) x. x ) = B ) ) /\ y e. (bits ` ( A ` x ) ) ) /\ ( ( 2 ^ y ) x. x ) = B ) -> x e. J )
237		simprr 796	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ( T i^i R ) /\ ( x e. NN /\ E. y e. (bits ` ( A ` x ) ) ( ( 2 ^ y ) x. x ) = B ) ) -> E. y e. (bits ` ( A ` x ) ) ( ( 2 ^ y ) x. x ) = B )
238	190, 236, 237	r19.29af 3076	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ( T i^i R ) /\ ( x e. NN /\ E. y e. (bits ` ( A ` x ) ) ( ( 2 ^ y ) x. x ) = B ) ) -> x e. J )
239	238, 237	jca 554	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( T i^i R ) /\ ( x e. NN /\ E. y e. (bits ` ( A ` x ) ) ( ( 2 ^ y ) x. x ) = B ) ) -> ( x e. J /\ E. y e. (bits ` ( A ` x ) ) ( ( 2 ^ y ) x. x ) = B ) )
240	239	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( T i^i R ) -> ( ( x e. NN /\ E. y e. (bits ` ( A ` x ) ) ( ( 2 ^ y ) x. x ) = B ) -> ( x e. J /\ E. y e. (bits ` ( A ` x ) ) ( ( 2 ^ y ) x. x ) = B ) ) )
241	240	reximdv2 3014	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( T i^i R ) -> ( E. x e. NN E. y e. (bits ` ( A ` x ) ) ( ( 2 ^ y ) x. x ) = B -> E. x e. J E. y e. (bits ` ( A ` x ) ) ( ( 2 ^ y ) x. x ) = B ) )
242	241	imp 445	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( T i^i R ) /\ E. x e. NN E. y e. (bits ` ( A ` x ) ) ( ( 2 ^ y ) x. x ) = B ) -> E. x e. J E. y e. (bits ` ( A ` x ) ) ( ( 2 ^ y ) x. x ) = B )
243	242	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ( T i^i R ) /\ B e. NN ) /\ E. x e. NN E. y e. (bits ` ( A ` x ) ) ( ( 2 ^ y ) x. x ) = B ) -> E. x e. J E. y e. (bits ` ( A ` x ) ) ( ( 2 ^ y ) x. x ) = B )
244	185, 243	sylan2b 492	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( T i^i R ) /\ B e. NN ) /\ E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = B ) -> E. x e. J E. y e. (bits ` ( A ` x ) ) ( ( 2 ^ y ) x. x ) = B )
245	175, 244	r19.29vva 3081	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( T i^i R ) /\ B e. NN ) /\ E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = B ) -> E. w e. ( M ` (bits o. ( A |` J ) ) ) ( F ` w ) = B )
246	130, 245	impbida 877	. . . 4 |- ( ( A e. ( T i^i R ) /\ B e. NN ) -> ( E. w e. ( M ` (bits o. ( A |` J ) ) ) ( F ` w ) = B <-> E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = B ) )
247	36, 246	bitrd 268	. . 3 |- ( ( A e. ( T i^i R ) /\ B e. NN ) -> ( B e. ( F " ( M ` (bits o. ( A |` J ) ) ) ) <-> E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = B ) )
248	247	ifbid 4108	. 2 |- ( ( A e. ( T i^i R ) /\ B e. NN ) -> if ( B e. ( F " ( M ` (bits o. ( A |` J ) ) ) ) , 1 , 0 ) = if ( E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = B , 1 , 0 ) )
249	13, 23, 248	3eqtrd 2660	1 |- ( ( A e. ( T i^i R ) /\ B e. NN ) -> ( ( G ` A ) ` B ) = if ( E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = B , 1 , 0 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   ~Pcpw 4158   <.cop 4183   class class class wbr 4653   {copab 4712   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   "cima 5117   o. ccom 5118   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   1stc1st 7166   2ndc2nd 7167   supp csupp 7295   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   <_ cle 10075   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ^cexp 12860   sum_csu 14416   || cdvds 14983  bitscbits 15141  𝟭cind 30072

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-ac2 9285  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-dvds 14984  df-bits 15144  df-ind 30073

This theorem is referenced by:  eulerpartlemgs2  30442