Theorem faclimlem2 31630

Description: Lemma for faclim 31632. Show a limit for the inductive step. (Contributed by Scott Fenton, 15-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
faclimlem2	|- ( M e. NN0 -> seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> ( ( ( 1 + ( M / n ) ) x. ( 1 + ( 1 / n ) ) ) / ( 1 + ( ( M + 1 ) / n ) ) ) ) ) ~~> ( M + 1 ) )

Distinct variable group:   n, M

Proof of Theorem faclimlem2

Dummy variables k m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		faclimlem1 31629	. 2 |- ( M e. NN0 -> seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> ( ( ( 1 + ( M / n ) ) x. ( 1 + ( 1 / n ) ) ) / ( 1 + ( ( M + 1 ) / n ) ) ) ) ) = ( m e. NN |-> ( ( M + 1 ) x. ( ( m + 1 ) / ( m + ( M + 1 ) ) ) ) ) )
2		nnuz 11723	. . . 4 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
3		1zzd 11408	. . . 4 |- ( M e. NN0 -> 1 e. ZZ )
4		1cnd 10056	. . . . 5 |- ( M e. NN0 -> 1 e. CC )
5		nn0p1nn 11332	. . . . . 6 |- ( M e. NN0 -> ( M + 1 ) e. NN )
6	5	nnzd 11481	. . . . 5 |- ( M e. NN0 -> ( M + 1 ) e. ZZ )
7		nnex 11026	. . . . . . 7 |- NN e. _V
8	7	mptex 6486	. . . . . 6 |- ( m e. NN |-> ( ( m + 1 ) / ( m + ( M + 1 ) ) ) ) e. _V
9	8	a1i 11	. . . . 5 |- ( M e. NN0 -> ( m e. NN |-> ( ( m + 1 ) / ( m + ( M + 1 ) ) ) ) e. _V )
10		oveq1 6657	. . . . . . . 8 |- ( m = k -> ( m + 1 ) = ( k + 1 ) )
11		oveq1 6657	. . . . . . . 8 |- ( m = k -> ( m + ( M + 1 ) ) = ( k + ( M + 1 ) ) )
12	10, 11	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( m = k -> ( ( m + 1 ) / ( m + ( M + 1 ) ) ) = ( ( k + 1 ) / ( k + ( M + 1 ) ) ) )
13		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( m e. NN |-> ( ( m + 1 ) / ( m + ( M + 1 ) ) ) ) = ( m e. NN |-> ( ( m + 1 ) / ( m + ( M + 1 ) ) ) )
14		ovex 6678	. . . . . . 7 |- ( ( k + 1 ) / ( k + ( M + 1 ) ) ) e. _V
15	12, 13, 14	fvmpt 6282	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> ( ( m e. NN |-> ( ( m + 1 ) / ( m + ( M + 1 ) ) ) ) ` k ) = ( ( k + 1 ) / ( k + ( M + 1 ) ) ) )
16	15	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. NN ) -> ( ( m e. NN |-> ( ( m + 1 ) / ( m + ( M + 1 ) ) ) ) ` k ) = ( ( k + 1 ) / ( k + ( M + 1 ) ) ) )
17	2, 3, 4, 6, 9, 16	divcnvlin 31618	. . . 4 |- ( M e. NN0 -> ( m e. NN |-> ( ( m + 1 ) / ( m + ( M + 1 ) ) ) ) ~~> 1 )
18	5	nncnd 11036	. . . 4 |- ( M e. NN0 -> ( M + 1 ) e. CC )
19	7	mptex 6486	. . . . 5 |- ( m e. NN |-> ( ( M + 1 ) x. ( ( m + 1 ) / ( m + ( M + 1 ) ) ) ) ) e. _V
20	19	a1i 11	. . . 4 |- ( M e. NN0 -> ( m e. NN |-> ( ( M + 1 ) x. ( ( m + 1 ) / ( m + ( M + 1 ) ) ) ) ) e. _V )
21		peano2nn 11032	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. NN -> ( m + 1 ) e. NN )
22	21	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN0 /\ m e. NN ) -> ( m + 1 ) e. NN )
23	22	nnred 11035	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN0 /\ m e. NN ) -> ( m + 1 ) e. RR )
24		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN0 /\ m e. NN ) -> m e. NN )
25	5	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN0 /\ m e. NN ) -> ( M + 1 ) e. NN )
26	24, 25	nnaddcld 11067	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN0 /\ m e. NN ) -> ( m + ( M + 1 ) ) e. NN )
27	23, 26	nndivred 11069	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN0 /\ m e. NN ) -> ( ( m + 1 ) / ( m + ( M + 1 ) ) ) e. RR )
28	27	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ m e. NN ) -> ( ( m + 1 ) / ( m + ( M + 1 ) ) ) e. CC )
29	28, 13	fmptd 6385	. . . . 5 |- ( M e. NN0 -> ( m e. NN |-> ( ( m + 1 ) / ( m + ( M + 1 ) ) ) ) : NN --> CC )
30	29	ffvelrnda 6359	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. NN ) -> ( ( m e. NN |-> ( ( m + 1 ) / ( m + ( M + 1 ) ) ) ) ` k ) e. CC )
31	12	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( m = k -> ( ( M + 1 ) x. ( ( m + 1 ) / ( m + ( M + 1 ) ) ) ) = ( ( M + 1 ) x. ( ( k + 1 ) / ( k + ( M + 1 ) ) ) ) )
32		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( m e. NN |-> ( ( M + 1 ) x. ( ( m + 1 ) / ( m + ( M + 1 ) ) ) ) ) = ( m e. NN |-> ( ( M + 1 ) x. ( ( m + 1 ) / ( m + ( M + 1 ) ) ) ) )
33		ovex 6678	. . . . . . 7 |- ( ( M + 1 ) x. ( ( k + 1 ) / ( k + ( M + 1 ) ) ) ) e. _V
34	31, 32, 33	fvmpt 6282	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> ( ( m e. NN |-> ( ( M + 1 ) x. ( ( m + 1 ) / ( m + ( M + 1 ) ) ) ) ) ` k ) = ( ( M + 1 ) x. ( ( k + 1 ) / ( k + ( M + 1 ) ) ) ) )
35	15	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> ( ( M + 1 ) x. ( ( m e. NN |-> ( ( m + 1 ) / ( m + ( M + 1 ) ) ) ) ` k ) ) = ( ( M + 1 ) x. ( ( k + 1 ) / ( k + ( M + 1 ) ) ) ) )
36	34, 35	eqtr4d 2659	. . . . 5 |- ( k e. NN -> ( ( m e. NN |-> ( ( M + 1 ) x. ( ( m + 1 ) / ( m + ( M + 1 ) ) ) ) ) ` k ) = ( ( M + 1 ) x. ( ( m e. NN |-> ( ( m + 1 ) / ( m + ( M + 1 ) ) ) ) ` k ) ) )
37	36	adantl 482	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. NN ) -> ( ( m e. NN |-> ( ( M + 1 ) x. ( ( m + 1 ) / ( m + ( M + 1 ) ) ) ) ) ` k ) = ( ( M + 1 ) x. ( ( m e. NN |-> ( ( m + 1 ) / ( m + ( M + 1 ) ) ) ) ` k ) ) )
38	2, 3, 17, 18, 20, 30, 37	climmulc2 14367	. . 3 |- ( M e. NN0 -> ( m e. NN |-> ( ( M + 1 ) x. ( ( m + 1 ) / ( m + ( M + 1 ) ) ) ) ) ~~> ( ( M + 1 ) x. 1 ) )
39	18	mulid1d 10057	. . 3 |- ( M e. NN0 -> ( ( M + 1 ) x. 1 ) = ( M + 1 ) )
40	38, 39	breqtrd 4679	. 2 |- ( M e. NN0 -> ( m e. NN |-> ( ( M + 1 ) x. ( ( m + 1 ) / ( m + ( M + 1 ) ) ) ) ) ~~> ( M + 1 ) )
41	1, 40	eqbrtrd 4675	1 |- ( M e. NN0 -> seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> ( ( ( 1 + ( M / n ) ) x. ( 1 + ( 1 / n ) ) ) / ( 1 + ( ( M + 1 ) / n ) ) ) ) ) ~~> ( M + 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   / cdiv 10684   NNcn 11020   NN0cn0 11292   seqcseq 12801   ~~> cli 14215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220

This theorem is referenced by:  faclim  31632