faclimlem1 - Mathbox for Scott Fenton

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Theorem faclimlem1 31629

Description: Lemma for faclim 31632. Closed form for a particular sequence. (Contributed by Scott Fenton, 15-Dec-2017.)

**Assertion**
Ref	Expression
faclimlem1

Distinct variable groups:

Proof of Theorem faclimlem1 Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6191	. . . . . . . . 9
2		1z 11407	. . . . . . . . . 10
3		seq1 12814	. . . . . . . . . 10
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . . . 9
5	1, 4	syl6eq 2672	. . . . . . . 8
6		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10
7		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10
8	6, 7	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9
9	8	oveq2d 6666	. . . . . . . 8
10	5, 9	eqeq12d 2637	. . . . . . 7
11	10	imbi2d 330	. . . . . 6
12		fveq2 6191	. . . . . . . 8
13		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10
14		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10
15	13, 14	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9
16	15	oveq2d 6666	. . . . . . . 8
17	12, 16	eqeq12d 2637	. . . . . . 7
18	17	imbi2d 330	. . . . . 6
19		fveq2 6191	. . . . . . . 8
20		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10
21		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10
22	20, 21	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9
23	22	oveq2d 6666	. . . . . . . 8
24	19, 23	eqeq12d 2637	. . . . . . 7
25	24	imbi2d 330	. . . . . 6
26		fveq2 6191	. . . . . . . 8
27		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10
28		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10
29	27, 28	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9
30	29	oveq2d 6666	. . . . . . . 8
31	26, 30	eqeq12d 2637	. . . . . . 7
32	31	imbi2d 330	. . . . . 6
33		1nn 11031	. . . . . . . 8
34		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12
35	34	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11
36		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12
37	36	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11
38	35, 37	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10
39		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11
40	39	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10
41	38, 40	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9
42		eqid 2622	. . . . . . . . 9
43		ovex 6678	. . . . . . . . 9
44	41, 42, 43	fvmpt 6282	. . . . . . . 8
45	33, 44	ax-mp 5	. . . . . . 7
46		nn0cn 11302	. . . . . . . . . . . 12
47	46	div1d 10793	. . . . . . . . . . 11
48	47	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10
49		1div1e1 10717	. . . . . . . . . . . 12
50	49	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . 11
51	50	a1i 11	. . . . . . . . . 10
52	48, 51	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9
53		nn0p1nn 11332	. . . . . . . . . . . 12
54	53	nncnd 11036	. . . . . . . . . . 11
55	54	div1d 10793	. . . . . . . . . 10
56	55	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9
57	52, 56	oveq12d 6668	. . . . . . . 8
58		1cnd 10056	. . . . . . . . . . 11
59	58, 46	addcomd 10238	. . . . . . . . . 10
60	59	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9
61	60	oveq1d 6665	. . . . . . . 8
62		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . 11
63	62, 62	addcli 10044	. . . . . . . . . 10
64	63	a1i 11	. . . . . . . . 9
65	33	a1i 11	. . . . . . . . . . 11
66	65, 53	nnaddcld 11067	. . . . . . . . . 10
67	66	nncnd 11036	. . . . . . . . 9
68	66	nnne0d 11065	. . . . . . . . 9
69	54, 64, 67, 68	divassd 10836	. . . . . . . 8
70	57, 61, 69	3eqtrd 2660	. . . . . . 7
71	45, 70	syl5eq 2668	. . . . . 6
72		seqp1 12816	. . . . . . . . . . . 12
73		nnuz 11723	. . . . . . . . . . . 12
74	72, 73	eleq2s 2719	. . . . . . . . . . 11
75	74	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$
76	75	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
77		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10
78	77	adantl 482	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
79		peano2nn 11032	. . . . . . . . . . . . . 14
80		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
81	80	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
82		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
83	82	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
84	81, 83	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . 16
85		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
86	85	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16
87	84, 86	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . 15
88		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . 15
89	87, 42, 88	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . 14
90	79, 89	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13
91	90	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12
92	91	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$
93	53	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
94	93	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
95	79	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
96	95	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
97		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
98	97	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
99	93	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
100	98, 99	rpaddcld 11887	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
101	96, 100	rpdivcld 11889	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
102	101	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
103		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
104		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
105	104	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
106	105, 95	nndivred 11069	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
107	106	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
108	103, 107	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
109		nn0ge0 11318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
110	109	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
111	105, 96, 110	divge0d 11912	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
112	106, 111	ge0p1rpd 11902	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
113	108, 112	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
114		1rp 11836	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
115	114	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
116	96	rpreccld 11882	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
117	115, 116	rpaddcld 11887	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
118	113, 117	rpmulcld 11888	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
119	99, 96	rpdivcld 11889	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
120	115, 119	rpaddcld 11887	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
121	118, 120	rpdivcld 11889	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
122	121	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
123	94, 102, 122	mulassd 10063	. . . . . . . . . . 11 $/\$
124	101, 118	rpmulcld 11888	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
125	124	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
126	120	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
127	95	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
128	120	rpne0d 11877	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
129	95	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
130	125, 126, 127, 128, 129	divcan5d 10827	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
131	118	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
132	127, 102, 131	mul12d 10245	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
133	113	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
134	117	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
135	127, 133, 134	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
136	127, 103, 107	adddid 10064	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
137	127	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
138		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
139	138	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
140	139, 127, 129	divcan2d 10803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
141	137, 140	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
142	97	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
143	142, 103, 139	addassd 10062	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
144	103, 139	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
145	144	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
146	143, 145	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
147	136, 141, 146	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
148	147	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
149	135, 148	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
150	149	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
151	100	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
152	102, 151, 134	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
153	100	rpne0d 11877	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
154	127, 151, 153	divcan1d 10802	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
155	154	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
156	116	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
157	127, 103, 156	adddid 10064	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
158	103, 127, 129	divcan2d 10803	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
159	137, 158	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
160	155, 157, 159	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
161	152, 160	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
162	132, 150, 161	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
163	119	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
164	127, 103, 163	adddid 10064	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
165	94, 127, 129	divcan2d 10803	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
166	137, 165	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
167	164, 166	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
168	162, 167	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
169	102, 131, 126, 128	divassd 10836	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
170	130, 168, 169	3eqtr3rd 2665	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
171	170	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 $/\$
172	92, 123, 171	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . 10 $/\$
173	172	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
174	76, 78, 173	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
175	174	exp31 630	. . . . . . 7
176	175	a2d 29	. . . . . 6
177	11, 18, 25, 32, 71, 176	nnind 11038	. . . . 5
178	177	impcom 446	. . . 4 $/\$
179		oveq1 6657	. . . . . . . 8
180		oveq1 6657	. . . . . . . 8
181	179, 180	oveq12d 6668	. . . . . . 7
182	181	oveq2d 6666	. . . . . 6
183		eqid 2622	. . . . . 6
184		ovex 6678	. . . . . 6
185	182, 183, 184	fvmpt 6282	. . . . 5
186	185	adantl 482	. . . 4 $/\$
187	178, 186	eqtr4d 2659	. . 3 $/\$
188	187	ralrimiva 2966	. 2
189		seqfn 12813	. . . . 5
190	2, 189	ax-mp 5	. . . 4
191	73	fneq2i 5986	. . . 4
192	190, 191	mpbir 221	. . 3
193		ovex 6678	. . . 4
194	193, 183	fnmpti 6022	. . 3
195		eqfnfv 6311	. . 3 $/\$
196	192, 194, 195	mp2an 708	. 2
197	188, 196	sylibr 224	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384

wceq 1483

wcel 1990

wral 2912 class class class wbr 4653

cmpt 4729

wfn 5883

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

cle 10075

cdiv 10684

cn 11020

cn0 11292

cz 11377

cuz 11687

crp 11832

cseq 12801

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-seq 12802

This theorem is referenced by: faclimlem2 31630

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