faclim - Mathbox for Scott Fenton

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Theorem faclim 31632

Description: An infinite product expression relating to factorials. Originally due to Euler. (Contributed by Scott Fenton, 22-Nov-2017.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
faclim.1

**Assertion**
Ref	Expression
faclim

Distinct variable group:

Allowed substitution hint:

(

)

Proof of Theorem faclim Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		faclim.1	. . 3
2		seqeq3 12806	. . 3
3	1, 2	ax-mp 5	. 2
4		oveq2 6658	. . . . . . 7
5		oveq1 6657	. . . . . . . 8
6	5	oveq2d 6666	. . . . . . 7
7	4, 6	oveq12d 6668	. . . . . 6
8	7	mpteq2dv 4745	. . . . 5
9	8	seqeq3d 12809	. . . 4
10		fveq2 6191	. . . . 5
11		fac0 13063	. . . . 5
12	10, 11	syl6eq 2672	. . . 4
13	9, 12	breq12d 4666	. . 3
14		oveq2 6658	. . . . . . 7
15		oveq1 6657	. . . . . . . 8
16	15	oveq2d 6666	. . . . . . 7
17	14, 16	oveq12d 6668	. . . . . 6
18	17	mpteq2dv 4745	. . . . 5
19	18	seqeq3d 12809	. . . 4
20		fveq2 6191	. . . 4
21	19, 20	breq12d 4666	. . 3
22		oveq2 6658	. . . . . . 7
23		oveq1 6657	. . . . . . . 8
24	23	oveq2d 6666	. . . . . . 7
25	22, 24	oveq12d 6668	. . . . . 6
26	25	mpteq2dv 4745	. . . . 5
27	26	seqeq3d 12809	. . . 4
28		fveq2 6191	. . . 4
29	27, 28	breq12d 4666	. . 3
30		oveq2 6658	. . . . . . 7
31		oveq1 6657	. . . . . . . 8
32	31	oveq2d 6666	. . . . . . 7
33	30, 32	oveq12d 6668	. . . . . 6
34	33	mpteq2dv 4745	. . . . 5
35	34	seqeq3d 12809	. . . 4
36		fveq2 6191	. . . 4
37	35, 36	breq12d 4666	. . 3
38		1red 10055	. . . . . . . . . . . 12
39		nnrecre 11057	. . . . . . . . . . . 12
40	38, 39	readdcld 10069	. . . . . . . . . . 11
41	40	recnd 10068	. . . . . . . . . 10
42	41	exp0d 13002	. . . . . . . . 9
43		nncn 11028	. . . . . . . . . . . 12
44		nnne0 11053	. . . . . . . . . . . 12
45	43, 44	div0d 10800	. . . . . . . . . . 11
46	45	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10
47		1p0e1 11133	. . . . . . . . . 10
48	46, 47	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9
49	42, 48	oveq12d 6668	. . . . . . . 8
50		1div1e1 10717	. . . . . . . 8
51	49, 50	syl6eq 2672	. . . . . . 7
52	51	mpteq2ia 4740	. . . . . 6
53		fconstmpt 5163	. . . . . 6
54	52, 53	eqtr4i 2647	. . . . 5
55		seqeq3 12806	. . . . 5
56	54, 55	ax-mp 5	. . . 4
57		nnuz 11723	. . . . . 6
58		1zzd 11408	. . . . . 6
59	57, 58	climprod1 14695	. . . . 5
60	59	trud 1493	. . . 4
61	56, 60	eqbrtri 4674	. . 3
62		1zzd 11408	. . . . . 6 $/\$
63		simpr 477	. . . . . 6 $/\$
64		seqex 12803	. . . . . . 7
65	64	a1i 11	. . . . . 6 $/\$
66		faclimlem2 31630	. . . . . . 7
67	66	adantr 481	. . . . . 6 $/\$
68		elnnuz 11724	. . . . . . . . . 10
69	68	biimpi 206	. . . . . . . . 9
70	69	adantl 482	. . . . . . . 8 $/\$
71		1rp 11836	. . . . . . . . . . . . . . . 16
72	71	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
73		nnrp 11842	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
74	73	rpreccld 11882	. . . . . . . . . . . . . . . 16
75	74	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
76	72, 75	rpaddcld 11887	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
77		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . . . 15
78	77	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
79	76, 78	rpexpcld 13032	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
80		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
81		nn0nndivcl 11362	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
82	81	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
83	80, 82	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
84		nn0ge0div 11446	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
85	81, 84	ge0p1rpd 11902	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
86	83, 85	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
87	79, 86	rpdivcld 11889	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
88	87	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . 11 $/\$
89		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11
90	88, 89	fmptd 6385	. . . . . . . . . 10
91		elfznn 12370	. . . . . . . . . 10
92		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . 10 $/\$
93	90, 91, 92	syl2an 494	. . . . . . . . 9 $/\$
94	93	adantlr 751	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
95		mulcl 10020	. . . . . . . . 9 $/\$
96	95	adantl 482	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
97	70, 94, 96	seqcl 12821	. . . . . . 7 $/\$
98	97	adantlr 751	. . . . . 6 $/\$ $/\$
99	86, 76	rpmulcld 11888	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
100		nn0p1nn 11332	. . . . . . . . . . . . . . . 16
101	100	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . . . 15
102		rpdivcl 11856	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
103	101, 73, 102	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
104	72, 103	rpaddcld 11887	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
105	99, 104	rpdivcld 11889	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
106	105	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . 11 $/\$
107		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11
108	106, 107	fmptd 6385	. . . . . . . . . 10
109		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . 10 $/\$
110	108, 91, 109	syl2an 494	. . . . . . . . 9 $/\$
111	110	adantlr 751	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
112	70, 111, 96	seqcl 12821	. . . . . . 7 $/\$
113	112	adantlr 751	. . . . . 6 $/\$ $/\$
114		faclimlem3 31631	. . . . . . . . . . 11 $/\$
115		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . 16
116	115	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15
117	116	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14
118		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . 15
119	118	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14
120	117, 119	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13
121		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13
122		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . 13
123	120, 121, 122	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . 12
124	123	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 $/\$
125	116	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15
126		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . 16
127	126	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15
128	125, 127	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14
129		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . 14
130	128, 89, 129	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . 13
131	127, 116	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . 15
132	131, 119	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14
133		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . 14
134	132, 107, 133	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . 13
135	130, 134	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12
136	135	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 $/\$
137	114, 124, 136	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . 10 $/\$
138	91, 137	sylan2 491	. . . . . . . . 9 $/\$
139	138	adantlr 751	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
140	70, 94, 111, 139	prodfmul 14622	. . . . . . 7 $/\$
141	140	adantlr 751	. . . . . 6 $/\$ $/\$
142	57, 62, 63, 65, 67, 98, 113, 141	climmul 14363	. . . . 5 $/\$
143		facp1 13065	. . . . . 6
144	143	adantr 481	. . . . 5 $/\$
145	142, 144	breqtrrd 4681	. . . 4 $/\$
146	145	ex 450	. . 3
147	13, 21, 29, 37, 61, 146	nn0ind 11472	. 2
148	3, 147	syl5eqbr 4688	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 384

wceq 1483

wtru 1484

wcel 1990

cvv 3200

csn 4177 class class class wbr 4653

cmpt 4729

cxp 5112

wf 5884

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

cdiv 10684

cn 11020

cn0 11292

cz 11377

cuz 11687

crp 11832

cfz 12326

cseq 12801

cexp 12860

cfa 13060

cli 14215

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-er 7742 df-pm 7860 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-sup 8348 df-inf 8349 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-seq 12802 df-exp 12861 df-fac 13061 df-shft 13807 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-clim 14219 df-rlim 14220

This theorem is referenced by: iprodfac 31633

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