Theorem faclimlem3 31631

Description: Lemma for faclim 31632. Algebraic manipulation for the final induction. (Contributed by Scott Fenton, 15-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
faclimlem3	|- ( ( M e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( ( ( 1 + ( 1 / B ) ) ^ ( M + 1 ) ) / ( 1 + ( ( M + 1 ) / B ) ) ) = ( ( ( ( 1 + ( 1 / B ) ) ^ M ) / ( 1 + ( M / B ) ) ) x. ( ( ( 1 + ( M / B ) ) x. ( 1 + ( 1 / B ) ) ) / ( 1 + ( ( M + 1 ) / B ) ) ) ) )

Proof of Theorem faclimlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1rp 11836	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR+
2	1	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN0 /\ B e. NN ) -> 1 e. RR+ )
3		nnrp 11842	. . . . . . . . 9 |- ( B e. NN -> B e. RR+ )
4	3	rpreccld 11882	. . . . . . . 8 |- ( B e. NN -> ( 1 / B ) e. RR+ )
5	4	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( 1 / B ) e. RR+ )
6	2, 5	rpaddcld 11887	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( 1 + ( 1 / B ) ) e. RR+ )
7	6	rpcnd 11874	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( 1 + ( 1 / B ) ) e. CC )
8		simpl 473	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ B e. NN ) -> M e. NN0 )
9	7, 8	expp1d 13009	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( ( 1 + ( 1 / B ) ) ^ ( M + 1 ) ) = ( ( ( 1 + ( 1 / B ) ) ^ M ) x. ( 1 + ( 1 / B ) ) ) )
10	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( B e. NN -> 1 e. RR+ )
11	10, 4	rpaddcld 11887	. . . . . . . 8 |- ( B e. NN -> ( 1 + ( 1 / B ) ) e. RR+ )
12		nn0z 11400	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN0 -> M e. ZZ )
13		rpexpcl 12879	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 1 + ( 1 / B ) ) e. RR+ /\ M e. ZZ ) -> ( ( 1 + ( 1 / B ) ) ^ M ) e. RR+ )
14	11, 12, 13	syl2anr 495	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( ( 1 + ( 1 / B ) ) ^ M ) e. RR+ )
15	14	rpcnd 11874	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( ( 1 + ( 1 / B ) ) ^ M ) e. CC )
16		1cnd 10056	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN0 /\ B e. NN ) -> 1 e. CC )
17		nn0nndivcl 11362	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( M / B ) e. RR )
18	17	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( M / B ) e. CC )
19	16, 18	addcomd 10238	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( 1 + ( M / B ) ) = ( ( M / B ) + 1 ) )
20		nn0ge0div 11446	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN0 /\ B e. NN ) -> 0 <_ ( M / B ) )
21	17, 20	ge0p1rpd 11902	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( ( M / B ) + 1 ) e. RR+ )
22	19, 21	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( 1 + ( M / B ) ) e. RR+ )
23	22	rpcnd 11874	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( 1 + ( M / B ) ) e. CC )
24	22	rpne0d 11877	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( 1 + ( M / B ) ) =/= 0 )
25	15, 23, 24	divcan1d 10802	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( ( ( ( 1 + ( 1 / B ) ) ^ M ) / ( 1 + ( M / B ) ) ) x. ( 1 + ( M / B ) ) ) = ( ( 1 + ( 1 / B ) ) ^ M ) )
26	25	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( ( ( ( ( 1 + ( 1 / B ) ) ^ M ) / ( 1 + ( M / B ) ) ) x. ( 1 + ( M / B ) ) ) x. ( 1 + ( 1 / B ) ) ) = ( ( ( 1 + ( 1 / B ) ) ^ M ) x. ( 1 + ( 1 / B ) ) ) )
27	14, 22	rpdivcld 11889	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( ( ( 1 + ( 1 / B ) ) ^ M ) / ( 1 + ( M / B ) ) ) e. RR+ )
28	27	rpcnd 11874	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( ( ( 1 + ( 1 / B ) ) ^ M ) / ( 1 + ( M / B ) ) ) e. CC )
29	28, 23, 7	mulassd 10063	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( ( ( ( ( 1 + ( 1 / B ) ) ^ M ) / ( 1 + ( M / B ) ) ) x. ( 1 + ( M / B ) ) ) x. ( 1 + ( 1 / B ) ) ) = ( ( ( ( 1 + ( 1 / B ) ) ^ M ) / ( 1 + ( M / B ) ) ) x. ( ( 1 + ( M / B ) ) x. ( 1 + ( 1 / B ) ) ) ) )
30	9, 26, 29	3eqtr2d 2662	. . 3 |- ( ( M e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( ( 1 + ( 1 / B ) ) ^ ( M + 1 ) ) = ( ( ( ( 1 + ( 1 / B ) ) ^ M ) / ( 1 + ( M / B ) ) ) x. ( ( 1 + ( M / B ) ) x. ( 1 + ( 1 / B ) ) ) ) )
31	30	oveq1d 6665	. 2 |- ( ( M e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( ( ( 1 + ( 1 / B ) ) ^ ( M + 1 ) ) / ( 1 + ( ( M + 1 ) / B ) ) ) = ( ( ( ( ( 1 + ( 1 / B ) ) ^ M ) / ( 1 + ( M / B ) ) ) x. ( ( 1 + ( M / B ) ) x. ( 1 + ( 1 / B ) ) ) ) / ( 1 + ( ( M + 1 ) / B ) ) ) )
32	22, 6	rpmulcld 11888	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( ( 1 + ( M / B ) ) x. ( 1 + ( 1 / B ) ) ) e. RR+ )
33	32	rpcnd 11874	. . 3 |- ( ( M e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( ( 1 + ( M / B ) ) x. ( 1 + ( 1 / B ) ) ) e. CC )
34		nn0p1nn 11332	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN0 -> ( M + 1 ) e. NN )
35	34	nnrpd 11870	. . . . . . 7 |- ( M e. NN0 -> ( M + 1 ) e. RR+ )
36	35	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( M + 1 ) e. RR+ )
37	3	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ B e. NN ) -> B e. RR+ )
38	36, 37	rpdivcld 11889	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( ( M + 1 ) / B ) e. RR+ )
39	2, 38	rpaddcld 11887	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( 1 + ( ( M + 1 ) / B ) ) e. RR+ )
40	39	rpcnd 11874	. . 3 |- ( ( M e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( 1 + ( ( M + 1 ) / B ) ) e. CC )
41	39	rpne0d 11877	. . 3 |- ( ( M e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( 1 + ( ( M + 1 ) / B ) ) =/= 0 )
42	28, 33, 40, 41	divassd 10836	. 2 |- ( ( M e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( ( ( ( ( 1 + ( 1 / B ) ) ^ M ) / ( 1 + ( M / B ) ) ) x. ( ( 1 + ( M / B ) ) x. ( 1 + ( 1 / B ) ) ) ) / ( 1 + ( ( M + 1 ) / B ) ) ) = ( ( ( ( 1 + ( 1 / B ) ) ^ M ) / ( 1 + ( M / B ) ) ) x. ( ( ( 1 + ( M / B ) ) x. ( 1 + ( 1 / B ) ) ) / ( 1 + ( ( M + 1 ) / B ) ) ) ) )
43	31, 42	eqtrd 2656	1 |- ( ( M e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( ( ( 1 + ( 1 / B ) ) ^ ( M + 1 ) ) / ( 1 + ( ( M + 1 ) / B ) ) ) = ( ( ( ( 1 + ( 1 / B ) ) ^ M ) / ( 1 + ( M / B ) ) ) x. ( ( ( 1 + ( M / B ) ) x. ( 1 + ( 1 / B ) ) ) / ( 1 + ( ( M + 1 ) / B ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990  (class class class)co 6650   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   / cdiv 10684   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   RR+crp 11832   ^cexp 12860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861

This theorem is referenced by:  faclim  31632