Theorem flcidc 37744

Description: Finite linear combinations with an indicator function. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
flcidc.f	|- ( ph -> F = ( j e. S |-> if ( j = K , 1 , 0 ) ) )
flcidc.s	|- ( ph -> S e. Fin )
flcidc.k	|- ( ph -> K e. S )
flcidc.b	|- ( ( ph /\ i e. S ) -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
flcidc	|- ( ph -> sum_ i e. S ( ( F ` i ) x. B ) = [_ K / i ]_ B )

Distinct variable groups:   ph, i, j   i, F   S, i, j   i, K, j   B, j

Allowed substitution hints:   B( i)   F( j)

Proof of Theorem flcidc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcidc.f	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F = ( j e. S |-> if ( j = K , 1 , 0 ) ) )
2	1	fveq1d 6193	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F ` i ) = ( ( j e. S |-> if ( j = K , 1 , 0 ) ) ` i ) )
3	2	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. { K } ) -> ( F ` i ) = ( ( j e. S |-> if ( j = K , 1 , 0 ) ) ` i ) )
4		flcidc.k	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> K e. S )
5	4	snssd 4340	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { K } C_ S )
6	5	sselda 3603	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. { K } ) -> i e. S )
7		eqeq1 2626	. . . . . . . . . 10 |- ( j = i -> ( j = K <-> i = K ) )
8	7	ifbid 4108	. . . . . . . . 9 |- ( j = i -> if ( j = K , 1 , 0 ) = if ( i = K , 1 , 0 ) )
9		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( j e. S |-> if ( j = K , 1 , 0 ) ) = ( j e. S |-> if ( j = K , 1 , 0 ) )
10		1ex 10035	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. _V
11		c0ex 10034	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. _V
12	10, 11	ifex 4156	. . . . . . . . 9 |- if ( i = K , 1 , 0 ) e. _V
13	8, 9, 12	fvmpt 6282	. . . . . . . 8 |- ( i e. S -> ( ( j e. S |-> if ( j = K , 1 , 0 ) ) ` i ) = if ( i = K , 1 , 0 ) )
14	6, 13	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. { K } ) -> ( ( j e. S |-> if ( j = K , 1 , 0 ) ) ` i ) = if ( i = K , 1 , 0 ) )
15	3, 14	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. { K } ) -> ( F ` i ) = if ( i = K , 1 , 0 ) )
16		elsni 4194	. . . . . . . 8 |- ( i e. { K } -> i = K )
17	16	iftrued 4094	. . . . . . 7 |- ( i e. { K } -> if ( i = K , 1 , 0 ) = 1 )
18	17	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. { K } ) -> if ( i = K , 1 , 0 ) = 1 )
19	15, 18	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. { K } ) -> ( F ` i ) = 1 )
20	19	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. { K } ) -> ( ( F ` i ) x. B ) = ( 1 x. B ) )
21		flcidc.b	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. S ) -> B e. CC )
22	6, 21	syldan 487	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. { K } ) -> B e. CC )
23	22	mulid2d 10058	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. { K } ) -> ( 1 x. B ) = B )
24	20, 23	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( ph /\ i e. { K } ) -> ( ( F ` i ) x. B ) = B )
25	24	sumeq2dv 14433	. 2 |- ( ph -> sum_ i e. { K } ( ( F ` i ) x. B ) = sum_ i e. { K } B )
26		ax-1cn 9994	. . . . . 6 |- 1 e. CC
27		0cn 10032	. . . . . 6 |- 0 e. CC
28	26, 27	keepel 4155	. . . . 5 |- if ( i = K , 1 , 0 ) e. CC
29	15, 28	syl6eqel 2709	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. { K } ) -> ( F ` i ) e. CC )
30	29, 22	mulcld 10060	. . 3 |- ( ( ph /\ i e. { K } ) -> ( ( F ` i ) x. B ) e. CC )
31	2	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( S \ { K } ) ) -> ( F ` i ) = ( ( j e. S |-> if ( j = K , 1 , 0 ) ) ` i ) )
32		eldifi 3732	. . . . . . . . 9 |- ( i e. ( S \ { K } ) -> i e. S )
33	32	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( S \ { K } ) ) -> i e. S )
34	33, 13	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( S \ { K } ) ) -> ( ( j e. S |-> if ( j = K , 1 , 0 ) ) ` i ) = if ( i = K , 1 , 0 ) )
35	31, 34	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( S \ { K } ) ) -> ( F ` i ) = if ( i = K , 1 , 0 ) )
36		eldifn 3733	. . . . . . . . 9 |- ( i e. ( S \ { K } ) -> -. i e. { K } )
37		velsn 4193	. . . . . . . . 9 |- ( i e. { K } <-> i = K )
38	36, 37	sylnib 318	. . . . . . . 8 |- ( i e. ( S \ { K } ) -> -. i = K )
39	38	iffalsed 4097	. . . . . . 7 |- ( i e. ( S \ { K } ) -> if ( i = K , 1 , 0 ) = 0 )
40	39	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( S \ { K } ) ) -> if ( i = K , 1 , 0 ) = 0 )
41	35, 40	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( S \ { K } ) ) -> ( F ` i ) = 0 )
42	41	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( S \ { K } ) ) -> ( ( F ` i ) x. B ) = ( 0 x. B ) )
43	33, 21	syldan 487	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( S \ { K } ) ) -> B e. CC )
44	43	mul02d 10234	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( S \ { K } ) ) -> ( 0 x. B ) = 0 )
45	42, 44	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( ph /\ i e. ( S \ { K } ) ) -> ( ( F ` i ) x. B ) = 0 )
46		flcidc.s	. . 3 |- ( ph -> S e. Fin )
47	5, 30, 45, 46	fsumss 14456	. 2 |- ( ph -> sum_ i e. { K } ( ( F ` i ) x. B ) = sum_ i e. S ( ( F ` i ) x. B ) )
48		eleq1 2689	. . . . . . . 8 |- ( j = K -> ( j e. S <-> K e. S ) )
49	48	anbi2d 740	. . . . . . 7 |- ( j = K -> ( ( ph /\ j e. S ) <-> ( ph /\ K e. S ) ) )
50		csbeq1 3536	. . . . . . . 8 |- ( j = K -> [_ j / i ]_ B = [_ K / i ]_ B )
51	50	eleq1d 2686	. . . . . . 7 |- ( j = K -> ( [_ j / i ]_ B e. CC <-> [_ K / i ]_ B e. CC ) )
52	49, 51	imbi12d 334	. . . . . 6 |- ( j = K -> ( ( ( ph /\ j e. S ) -> [_ j / i ]_ B e. CC ) <-> ( ( ph /\ K e. S ) -> [_ K / i ]_ B e. CC ) ) )
53		nfv 1843	. . . . . . . 8 |- F/ i ( ph /\ j e. S )
54		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . 9 |- F/_ i [_ j / i ]_ B
55	54	nfel1 2779	. . . . . . . 8 |- F/ i [_ j / i ]_ B e. CC
56	53, 55	nfim 1825	. . . . . . 7 |- F/ i ( ( ph /\ j e. S ) -> [_ j / i ]_ B e. CC )
57		eleq1 2689	. . . . . . . . 9 |- ( i = j -> ( i e. S <-> j e. S ) )
58	57	anbi2d 740	. . . . . . . 8 |- ( i = j -> ( ( ph /\ i e. S ) <-> ( ph /\ j e. S ) ) )
59		csbeq1a 3542	. . . . . . . . 9 |- ( i = j -> B = [_ j / i ]_ B )
60	59	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( i = j -> ( B e. CC <-> [_ j / i ]_ B e. CC ) )
61	58, 60	imbi12d 334	. . . . . . 7 |- ( i = j -> ( ( ( ph /\ i e. S ) -> B e. CC ) <-> ( ( ph /\ j e. S ) -> [_ j / i ]_ B e. CC ) ) )
62	56, 61, 21	chvar 2262	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> [_ j / i ]_ B e. CC )
63	52, 62	vtoclg 3266	. . . . 5 |- ( K e. S -> ( ( ph /\ K e. S ) -> [_ K / i ]_ B e. CC ) )
64	63	anabsi7 860	. . . 4 |- ( ( ph /\ K e. S ) -> [_ K / i ]_ B e. CC )
65	4, 64	mpdan 702	. . 3 |- ( ph -> [_ K / i ]_ B e. CC )
66		sumsns 14479	. . 3 |- ( ( K e. S /\ [_ K / i ]_ B e. CC ) -> sum_ i e. { K } B = [_ K / i ]_ B )
67	4, 65, 66	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> sum_ i e. { K } B = [_ K / i ]_ B )
68	25, 47, 67	3eqtr3d 2664	1 |- ( ph -> sum_ i e. S ( ( F ` i ) x. B ) = [_ K / i ]_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   [_csb 3533   \ cdif 3571   ifcif 4086   {csn 4177   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   sum_csu 14416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417

This theorem is referenced by: (None)