Theorem fmtnorec2lem 41454

Description: Lemma for fmtnorec2 41455 (induction step). (Contributed by AV, 29-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtnorec2lem	|- ( y e. NN0 -> ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) = ( prod_ n e. ( 0 ... y ) (FermatNo ` n ) + 2 ) -> (FermatNo ` ( ( y + 1 ) + 1 ) ) = ( prod_ n e. ( 0 ... ( y + 1 ) ) (FermatNo ` n ) + 2 ) ) )

Distinct variable group:   y, n

Proof of Theorem fmtnorec2lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2nn0 11333	. . . . . 6 |- ( y e. NN0 -> ( y + 1 ) e. NN0 )
2		peano2nn0 11333	. . . . . 6 |- ( ( y + 1 ) e. NN0 -> ( ( y + 1 ) + 1 ) e. NN0 )
3		fmtno 41441	. . . . . 6 |- ( ( ( y + 1 ) + 1 ) e. NN0 -> (FermatNo ` ( ( y + 1 ) + 1 ) ) = ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( ( y + 1 ) + 1 ) ) ) + 1 ) )
4	1, 2, 3	3syl 18	. . . . 5 |- ( y e. NN0 -> (FermatNo ` ( ( y + 1 ) + 1 ) ) = ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( ( y + 1 ) + 1 ) ) ) + 1 ) )
5		2cnd 11093	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN0 -> 2 e. CC )
6	5, 1	expp1d 13009	. . . . . . . 8 |- ( y e. NN0 -> ( 2 ^ ( ( y + 1 ) + 1 ) ) = ( ( 2 ^ ( y + 1 ) ) x. 2 ) )
7	6	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( y e. NN0 -> ( 2 ^ ( 2 ^ ( ( y + 1 ) + 1 ) ) ) = ( 2 ^ ( ( 2 ^ ( y + 1 ) ) x. 2 ) ) )
8		2nn0 11309	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. NN0
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. NN0 -> 2 e. NN0 )
10	9, 1	nn0expcld 13031	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. NN0 -> ( 2 ^ ( y + 1 ) ) e. NN0 )
11	9, 10	nn0expcld 13031	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. NN0 -> ( 2 ^ ( 2 ^ ( y + 1 ) ) ) e. NN0 )
12	11	nn0cnd 11353	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN0 -> ( 2 ^ ( 2 ^ ( y + 1 ) ) ) e. CC )
13	12	sqvald 13005	. . . . . . . 8 |- ( y e. NN0 -> ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( y + 1 ) ) ) ^ 2 ) = ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( y + 1 ) ) ) x. ( 2 ^ ( 2 ^ ( y + 1 ) ) ) ) )
14	5, 9, 10	expmuld 13011	. . . . . . . 8 |- ( y e. NN0 -> ( 2 ^ ( ( 2 ^ ( y + 1 ) ) x. 2 ) ) = ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( y + 1 ) ) ) ^ 2 ) )
15		fmtnom1nn 41444	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y + 1 ) e. NN0 -> ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - 1 ) = ( 2 ^ ( 2 ^ ( y + 1 ) ) ) )
16	1, 15	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN0 -> ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - 1 ) = ( 2 ^ ( 2 ^ ( y + 1 ) ) ) )
17	16, 16	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( y e. NN0 -> ( ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - 1 ) x. ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - 1 ) ) = ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( y + 1 ) ) ) x. ( 2 ^ ( 2 ^ ( y + 1 ) ) ) ) )
18	13, 14, 17	3eqtr4d 2666	. . . . . . 7 |- ( y e. NN0 -> ( 2 ^ ( ( 2 ^ ( y + 1 ) ) x. 2 ) ) = ( ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - 1 ) x. ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - 1 ) ) )
19	7, 18	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( y e. NN0 -> ( 2 ^ ( 2 ^ ( ( y + 1 ) + 1 ) ) ) = ( ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - 1 ) x. ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - 1 ) ) )
20	19	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( y e. NN0 -> ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( ( y + 1 ) + 1 ) ) ) + 1 ) = ( ( ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - 1 ) x. ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - 1 ) ) + 1 ) )
21	4, 20	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( y e. NN0 -> (FermatNo ` ( ( y + 1 ) + 1 ) ) = ( ( ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - 1 ) x. ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - 1 ) ) + 1 ) )
22	21	adantr 481	. . 3 |- ( ( y e. NN0 /\ (FermatNo ` ( y + 1 ) ) = ( prod_ n e. ( 0 ... y ) (FermatNo ` n ) + 2 ) ) -> (FermatNo ` ( ( y + 1 ) + 1 ) ) = ( ( ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - 1 ) x. ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - 1 ) ) + 1 ) )
23		oveq1 6657	. . . . . 6 |- ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) = ( prod_ n e. ( 0 ... y ) (FermatNo ` n ) + 2 ) -> ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - 1 ) = ( ( prod_ n e. ( 0 ... y ) (FermatNo ` n ) + 2 ) - 1 ) )
24	23	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) = ( prod_ n e. ( 0 ... y ) (FermatNo ` n ) + 2 ) -> ( ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - 1 ) x. ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - 1 ) ) = ( ( ( prod_ n e. ( 0 ... y ) (FermatNo ` n ) + 2 ) - 1 ) x. ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - 1 ) ) )
25	24	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) = ( prod_ n e. ( 0 ... y ) (FermatNo ` n ) + 2 ) -> ( ( ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - 1 ) x. ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - 1 ) ) + 1 ) = ( ( ( ( prod_ n e. ( 0 ... y ) (FermatNo ` n ) + 2 ) - 1 ) x. ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - 1 ) ) + 1 ) )
26	25	adantl 482	. . 3 |- ( ( y e. NN0 /\ (FermatNo ` ( y + 1 ) ) = ( prod_ n e. ( 0 ... y ) (FermatNo ` n ) + 2 ) ) -> ( ( ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - 1 ) x. ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - 1 ) ) + 1 ) = ( ( ( ( prod_ n e. ( 0 ... y ) (FermatNo ` n ) + 2 ) - 1 ) x. ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - 1 ) ) + 1 ) )
27		fzfid 12772	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. NN0 -> ( 0 ... y ) e. Fin )
28		elfznn0 12433	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( 0 ... y ) -> n e. NN0 )
29		fmtnonn 41443	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. NN0 -> (FermatNo ` n ) e. NN )
30	29	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN0 -> (FermatNo ` n ) e. CC )
31	28, 30	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( 0 ... y ) -> (FermatNo ` n ) e. CC )
32	31	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN0 /\ n e. ( 0 ... y ) ) -> (FermatNo ` n ) e. CC )
33	27, 32	fprodcl 14682	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. NN0 -> prod_ n e. ( 0 ... y ) (FermatNo ` n ) e. CC )
34		1cnd 10056	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. NN0 -> 1 e. CC )
35	33, 5, 34	addsubassd 10412	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN0 -> ( ( prod_ n e. ( 0 ... y ) (FermatNo ` n ) + 2 ) - 1 ) = ( prod_ n e. ( 0 ... y ) (FermatNo ` n ) + ( 2 - 1 ) ) )
36		2m1e1 11135	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 - 1 ) = 1
37	36	oveq2i 6661	. . . . . . . . 9 |- ( prod_ n e. ( 0 ... y ) (FermatNo ` n ) + ( 2 - 1 ) ) = ( prod_ n e. ( 0 ... y ) (FermatNo ` n ) + 1 )
38	35, 37	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 |- ( y e. NN0 -> ( ( prod_ n e. ( 0 ... y ) (FermatNo ` n ) + 2 ) - 1 ) = ( prod_ n e. ( 0 ... y ) (FermatNo ` n ) + 1 ) )
39	38	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( y e. NN0 -> ( ( ( prod_ n e. ( 0 ... y ) (FermatNo ` n ) + 2 ) - 1 ) x. ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - 1 ) ) = ( ( prod_ n e. ( 0 ... y ) (FermatNo ` n ) + 1 ) x. ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - 1 ) ) )
40		fmtnonn 41443	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y + 1 ) e. NN0 -> (FermatNo ` ( y + 1 ) ) e. NN )
41	1, 40	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. NN0 -> (FermatNo ` ( y + 1 ) ) e. NN )
42	41	nncnd 11036	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN0 -> (FermatNo ` ( y + 1 ) ) e. CC )
43	42, 34	subcld 10392	. . . . . . . 8 |- ( y e. NN0 -> ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - 1 ) e. CC )
44	33, 42	muls1d 10491	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN0 -> ( prod_ n e. ( 0 ... y ) (FermatNo ` n ) x. ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - 1 ) ) = ( ( prod_ n e. ( 0 ... y ) (FermatNo ` n ) x. (FermatNo ` ( y + 1 ) ) ) - prod_ n e. ( 0 ... y ) (FermatNo ` n ) ) )
45	43	mulid2d 10058	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN0 -> ( 1 x. ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - 1 ) ) = ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - 1 ) )
46	44, 45	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( y e. NN0 -> ( ( prod_ n e. ( 0 ... y ) (FermatNo ` n ) x. ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - 1 ) ) + ( 1 x. ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - 1 ) ) ) = ( ( ( prod_ n e. ( 0 ... y ) (FermatNo ` n ) x. (FermatNo ` ( y + 1 ) ) ) - prod_ n e. ( 0 ... y ) (FermatNo ` n ) ) + ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - 1 ) ) )
47	33, 43, 34, 46	joinlmuladdmuld 10067	. . . . . . 7 |- ( y e. NN0 -> ( ( prod_ n e. ( 0 ... y ) (FermatNo ` n ) + 1 ) x. ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - 1 ) ) = ( ( ( prod_ n e. ( 0 ... y ) (FermatNo ` n ) x. (FermatNo ` ( y + 1 ) ) ) - prod_ n e. ( 0 ... y ) (FermatNo ` n ) ) + ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - 1 ) ) )
48	39, 47	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( y e. NN0 -> ( ( ( prod_ n e. ( 0 ... y ) (FermatNo ` n ) + 2 ) - 1 ) x. ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - 1 ) ) = ( ( ( prod_ n e. ( 0 ... y ) (FermatNo ` n ) x. (FermatNo ` ( y + 1 ) ) ) - prod_ n e. ( 0 ... y ) (FermatNo ` n ) ) + ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - 1 ) ) )
49	48	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( y e. NN0 /\ (FermatNo ` ( y + 1 ) ) = ( prod_ n e. ( 0 ... y ) (FermatNo ` n ) + 2 ) ) -> ( ( ( prod_ n e. ( 0 ... y ) (FermatNo ` n ) + 2 ) - 1 ) x. ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - 1 ) ) = ( ( ( prod_ n e. ( 0 ... y ) (FermatNo ` n ) x. (FermatNo ` ( y + 1 ) ) ) - prod_ n e. ( 0 ... y ) (FermatNo ` n ) ) + ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - 1 ) ) )
50	49	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ( y e. NN0 /\ (FermatNo ` ( y + 1 ) ) = ( prod_ n e. ( 0 ... y ) (FermatNo ` n ) + 2 ) ) -> ( ( ( ( prod_ n e. ( 0 ... y ) (FermatNo ` n ) + 2 ) - 1 ) x. ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - 1 ) ) + 1 ) = ( ( ( ( prod_ n e. ( 0 ... y ) (FermatNo ` n ) x. (FermatNo ` ( y + 1 ) ) ) - prod_ n e. ( 0 ... y ) (FermatNo ` n ) ) + ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - 1 ) ) + 1 ) )
51	42, 5, 33	subadd2d 10411	. . . . . . 7 |- ( y e. NN0 -> ( ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - 2 ) = prod_ n e. ( 0 ... y ) (FermatNo ` n ) <-> ( prod_ n e. ( 0 ... y ) (FermatNo ` n ) + 2 ) = (FermatNo ` ( y + 1 ) ) ) )
52		eqcom 2629	. . . . . . 7 |- ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) = ( prod_ n e. ( 0 ... y ) (FermatNo ` n ) + 2 ) <-> ( prod_ n e. ( 0 ... y ) (FermatNo ` n ) + 2 ) = (FermatNo ` ( y + 1 ) ) )
53	51, 52	syl6rbbr 279	. . . . . 6 |- ( y e. NN0 -> ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) = ( prod_ n e. ( 0 ... y ) (FermatNo ` n ) + 2 ) <-> ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - 2 ) = prod_ n e. ( 0 ... y ) (FermatNo ` n ) ) )
54		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 |- ( prod_ n e. ( 0 ... y ) (FermatNo ` n ) = ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - 2 ) -> ( ( prod_ n e. ( 0 ... y ) (FermatNo ` n ) x. (FermatNo ` ( y + 1 ) ) ) - prod_ n e. ( 0 ... y ) (FermatNo ` n ) ) = ( ( prod_ n e. ( 0 ... y ) (FermatNo ` n ) x. (FermatNo ` ( y + 1 ) ) ) - ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - 2 ) ) )
55	54	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( prod_ n e. ( 0 ... y ) (FermatNo ` n ) = ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - 2 ) -> ( ( ( prod_ n e. ( 0 ... y ) (FermatNo ` n ) x. (FermatNo ` ( y + 1 ) ) ) - prod_ n e. ( 0 ... y ) (FermatNo ` n ) ) + ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - 1 ) ) = ( ( ( prod_ n e. ( 0 ... y ) (FermatNo ` n ) x. (FermatNo ` ( y + 1 ) ) ) - ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - 2 ) ) + ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - 1 ) ) )
56	55	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( prod_ n e. ( 0 ... y ) (FermatNo ` n ) = ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - 2 ) -> ( ( ( ( prod_ n e. ( 0 ... y ) (FermatNo ` n ) x. (FermatNo ` ( y + 1 ) ) ) - prod_ n e. ( 0 ... y ) (FermatNo ` n ) ) + ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - 1 ) ) + 1 ) = ( ( ( ( prod_ n e. ( 0 ... y ) (FermatNo ` n ) x. (FermatNo ` ( y + 1 ) ) ) - ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - 2 ) ) + ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - 1 ) ) + 1 ) )
57	56	eqcoms 2630	. . . . . . . 8 |- ( ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - 2 ) = prod_ n e. ( 0 ... y ) (FermatNo ` n ) -> ( ( ( ( prod_ n e. ( 0 ... y ) (FermatNo ` n ) x. (FermatNo ` ( y + 1 ) ) ) - prod_ n e. ( 0 ... y ) (FermatNo ` n ) ) + ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - 1 ) ) + 1 ) = ( ( ( ( prod_ n e. ( 0 ... y ) (FermatNo ` n ) x. (FermatNo ` ( y + 1 ) ) ) - ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - 2 ) ) + ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - 1 ) ) + 1 ) )
58	33, 42	mulcld 10060	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. NN0 -> ( prod_ n e. ( 0 ... y ) (FermatNo ` n ) x. (FermatNo ` ( y + 1 ) ) ) e. CC )
59	42, 5	subcld 10392	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. NN0 -> ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - 2 ) e. CC )
60	58, 59	subcld 10392	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. NN0 -> ( ( prod_ n e. ( 0 ... y ) (FermatNo ` n ) x. (FermatNo ` ( y + 1 ) ) ) - ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - 2 ) ) e. CC )
61	60, 43, 34	addassd 10062	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN0 -> ( ( ( ( prod_ n e. ( 0 ... y ) (FermatNo ` n ) x. (FermatNo ` ( y + 1 ) ) ) - ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - 2 ) ) + ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - 1 ) ) + 1 ) = ( ( ( prod_ n e. ( 0 ... y ) (FermatNo ` n ) x. (FermatNo ` ( y + 1 ) ) ) - ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - 2 ) ) + ( ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - 1 ) + 1 ) ) )
62		elnn0uz 11725	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. NN0 <-> y e. ( ZZ>= ` 0 ) )
63	62	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. NN0 -> y e. ( ZZ>= ` 0 ) )
64		elfznn0 12433	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. ( 0 ... ( y + 1 ) ) -> n e. NN0 )
65	64, 30	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ( 0 ... ( y + 1 ) ) -> (FermatNo ` n ) e. CC )
66	65	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. NN0 /\ n e. ( 0 ... ( y + 1 ) ) ) -> (FermatNo ` n ) e. CC )
67		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = ( y + 1 ) -> (FermatNo ` n ) = (FermatNo ` ( y + 1 ) ) )
68	63, 66, 67	fprodp1 14699	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. NN0 -> prod_ n e. ( 0 ... ( y + 1 ) ) (FermatNo ` n ) = ( prod_ n e. ( 0 ... y ) (FermatNo ` n ) x. (FermatNo ` ( y + 1 ) ) ) )
69	68	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. NN0 -> ( prod_ n e. ( 0 ... y ) (FermatNo ` n ) x. (FermatNo ` ( y + 1 ) ) ) = prod_ n e. ( 0 ... ( y + 1 ) ) (FermatNo ` n ) )
70	69	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. NN0 -> ( ( prod_ n e. ( 0 ... y ) (FermatNo ` n ) x. (FermatNo ` ( y + 1 ) ) ) - ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - 2 ) ) = ( prod_ n e. ( 0 ... ( y + 1 ) ) (FermatNo ` n ) - ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - 2 ) ) )
71		npcan1 10455	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) e. CC -> ( ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - 1 ) + 1 ) = (FermatNo ` ( y + 1 ) ) )
72	42, 71	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. NN0 -> ( ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - 1 ) + 1 ) = (FermatNo ` ( y + 1 ) ) )
73	70, 72	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. NN0 -> ( ( ( prod_ n e. ( 0 ... y ) (FermatNo ` n ) x. (FermatNo ` ( y + 1 ) ) ) - ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - 2 ) ) + ( ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - 1 ) + 1 ) ) = ( ( prod_ n e. ( 0 ... ( y + 1 ) ) (FermatNo ` n ) - ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - 2 ) ) + (FermatNo ` ( y + 1 ) ) ) )
74		fzfid 12772	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. NN0 -> ( 0 ... ( y + 1 ) ) e. Fin )
75	74, 66	fprodcl 14682	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. NN0 -> prod_ n e. ( 0 ... ( y + 1 ) ) (FermatNo ` n ) e. CC )
76	75, 59, 42	subadd23d 10414	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. NN0 -> ( ( prod_ n e. ( 0 ... ( y + 1 ) ) (FermatNo ` n ) - ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - 2 ) ) + (FermatNo ` ( y + 1 ) ) ) = ( prod_ n e. ( 0 ... ( y + 1 ) ) (FermatNo ` n ) + ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - 2 ) ) ) )
77	73, 76	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN0 -> ( ( ( prod_ n e. ( 0 ... y ) (FermatNo ` n ) x. (FermatNo ` ( y + 1 ) ) ) - ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - 2 ) ) + ( ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - 1 ) + 1 ) ) = ( prod_ n e. ( 0 ... ( y + 1 ) ) (FermatNo ` n ) + ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - 2 ) ) ) )
78	42, 5	nncand 10397	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. NN0 -> ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - 2 ) ) = 2 )
79	78	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN0 -> ( prod_ n e. ( 0 ... ( y + 1 ) ) (FermatNo ` n ) + ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - 2 ) ) ) = ( prod_ n e. ( 0 ... ( y + 1 ) ) (FermatNo ` n ) + 2 ) )
80	61, 77, 79	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8 |- ( y e. NN0 -> ( ( ( ( prod_ n e. ( 0 ... y ) (FermatNo ` n ) x. (FermatNo ` ( y + 1 ) ) ) - ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - 2 ) ) + ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - 1 ) ) + 1 ) = ( prod_ n e. ( 0 ... ( y + 1 ) ) (FermatNo ` n ) + 2 ) )
81	57, 80	sylan9eqr 2678	. . . . . . 7 |- ( ( y e. NN0 /\ ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - 2 ) = prod_ n e. ( 0 ... y ) (FermatNo ` n ) ) -> ( ( ( ( prod_ n e. ( 0 ... y ) (FermatNo ` n ) x. (FermatNo ` ( y + 1 ) ) ) - prod_ n e. ( 0 ... y ) (FermatNo ` n ) ) + ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - 1 ) ) + 1 ) = ( prod_ n e. ( 0 ... ( y + 1 ) ) (FermatNo ` n ) + 2 ) )
82	81	ex 450	. . . . . 6 |- ( y e. NN0 -> ( ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - 2 ) = prod_ n e. ( 0 ... y ) (FermatNo ` n ) -> ( ( ( ( prod_ n e. ( 0 ... y ) (FermatNo ` n ) x. (FermatNo ` ( y + 1 ) ) ) - prod_ n e. ( 0 ... y ) (FermatNo ` n ) ) + ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - 1 ) ) + 1 ) = ( prod_ n e. ( 0 ... ( y + 1 ) ) (FermatNo ` n ) + 2 ) ) )
83	53, 82	sylbid 230	. . . . 5 |- ( y e. NN0 -> ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) = ( prod_ n e. ( 0 ... y ) (FermatNo ` n ) + 2 ) -> ( ( ( ( prod_ n e. ( 0 ... y ) (FermatNo ` n ) x. (FermatNo ` ( y + 1 ) ) ) - prod_ n e. ( 0 ... y ) (FermatNo ` n ) ) + ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - 1 ) ) + 1 ) = ( prod_ n e. ( 0 ... ( y + 1 ) ) (FermatNo ` n ) + 2 ) ) )
84	83	imp 445	. . . 4 |- ( ( y e. NN0 /\ (FermatNo ` ( y + 1 ) ) = ( prod_ n e. ( 0 ... y ) (FermatNo ` n ) + 2 ) ) -> ( ( ( ( prod_ n e. ( 0 ... y ) (FermatNo ` n ) x. (FermatNo ` ( y + 1 ) ) ) - prod_ n e. ( 0 ... y ) (FermatNo ` n ) ) + ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - 1 ) ) + 1 ) = ( prod_ n e. ( 0 ... ( y + 1 ) ) (FermatNo ` n ) + 2 ) )
85	50, 84	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( y e. NN0 /\ (FermatNo ` ( y + 1 ) ) = ( prod_ n e. ( 0 ... y ) (FermatNo ` n ) + 2 ) ) -> ( ( ( ( prod_ n e. ( 0 ... y ) (FermatNo ` n ) + 2 ) - 1 ) x. ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) - 1 ) ) + 1 ) = ( prod_ n e. ( 0 ... ( y + 1 ) ) (FermatNo ` n ) + 2 ) )
86	22, 26, 85	3eqtrd 2660	. 2 |- ( ( y e. NN0 /\ (FermatNo ` ( y + 1 ) ) = ( prod_ n e. ( 0 ... y ) (FermatNo ` n ) + 2 ) ) -> (FermatNo ` ( ( y + 1 ) + 1 ) ) = ( prod_ n e. ( 0 ... ( y + 1 ) ) (FermatNo ` n ) + 2 ) )
87	86	ex 450	1 |- ( y e. NN0 -> ( (FermatNo ` ( y + 1 ) ) = ( prod_ n e. ( 0 ... y ) (FermatNo ` n ) + 2 ) -> (FermatNo ` ( ( y + 1 ) + 1 ) ) = ( prod_ n e. ( 0 ... ( y + 1 ) ) (FermatNo ` n ) + 2 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   - cmin 10266   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   ^cexp 12860   prod_cprod 14635  FermatNocfmtno 41439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-prod 14636  df-fmtno 41440

This theorem is referenced by:  fmtnorec2  41455