Theorem fprodexp 39826

Description: Positive integer exponentiation of a finite product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodexp.kph	|- F/ k ph
fprodexp.n	|- ( ph -> N e. NN0 )
fprodexp.a	|- ( ph -> A e. Fin )
fprodexp.b	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fprodexp	|- ( ph -> prod_ k e. A ( B ^ N ) = ( prod_ k e. A B ^ N ) )

Distinct variable groups:   A, k   k, N

Allowed substitution hints:   ph( k)   B( k)

Proof of Theorem fprodexp

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodeq1 14639	. . 3 |- ( x = (/) -> prod_ k e. x ( B ^ N ) = prod_ k e. (/) ( B ^ N ) )
2		prodeq1 14639	. . . 4 |- ( x = (/) -> prod_ k e. x B = prod_ k e. (/) B )
3	2	oveq1d 6665	. . 3 |- ( x = (/) -> ( prod_ k e. x B ^ N ) = ( prod_ k e. (/) B ^ N ) )
4	1, 3	eqeq12d 2637	. 2 |- ( x = (/) -> ( prod_ k e. x ( B ^ N ) = ( prod_ k e. x B ^ N ) <-> prod_ k e. (/) ( B ^ N ) = ( prod_ k e. (/) B ^ N ) ) )
5		prodeq1 14639	. . 3 |- ( x = y -> prod_ k e. x ( B ^ N ) = prod_ k e. y ( B ^ N ) )
6		prodeq1 14639	. . . 4 |- ( x = y -> prod_ k e. x B = prod_ k e. y B )
7	6	oveq1d 6665	. . 3 |- ( x = y -> ( prod_ k e. x B ^ N ) = ( prod_ k e. y B ^ N ) )
8	5, 7	eqeq12d 2637	. 2 |- ( x = y -> ( prod_ k e. x ( B ^ N ) = ( prod_ k e. x B ^ N ) <-> prod_ k e. y ( B ^ N ) = ( prod_ k e. y B ^ N ) ) )
9		prodeq1 14639	. . 3 |- ( x = ( y u. { z } ) -> prod_ k e. x ( B ^ N ) = prod_ k e. ( y u. { z } ) ( B ^ N ) )
10		prodeq1 14639	. . . 4 |- ( x = ( y u. { z } ) -> prod_ k e. x B = prod_ k e. ( y u. { z } ) B )
11	10	oveq1d 6665	. . 3 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( prod_ k e. x B ^ N ) = ( prod_ k e. ( y u. { z } ) B ^ N ) )
12	9, 11	eqeq12d 2637	. 2 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( prod_ k e. x ( B ^ N ) = ( prod_ k e. x B ^ N ) <-> prod_ k e. ( y u. { z } ) ( B ^ N ) = ( prod_ k e. ( y u. { z } ) B ^ N ) ) )
13		prodeq1 14639	. . 3 |- ( x = A -> prod_ k e. x ( B ^ N ) = prod_ k e. A ( B ^ N ) )
14		prodeq1 14639	. . . 4 |- ( x = A -> prod_ k e. x B = prod_ k e. A B )
15	14	oveq1d 6665	. . 3 |- ( x = A -> ( prod_ k e. x B ^ N ) = ( prod_ k e. A B ^ N ) )
16	13, 15	eqeq12d 2637	. 2 |- ( x = A -> ( prod_ k e. x ( B ^ N ) = ( prod_ k e. x B ^ N ) <-> prod_ k e. A ( B ^ N ) = ( prod_ k e. A B ^ N ) ) )
17		fprodexp.n	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. NN0 )
18	17	nn0zd 11480	. . . . 5 |- ( ph -> N e. ZZ )
19		1exp 12889	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( 1 ^ N ) = 1 )
20	18, 19	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 ^ N ) = 1 )
21	20	eqcomd 2628	. . 3 |- ( ph -> 1 = ( 1 ^ N ) )
22		prod0 14673	. . . 4 |- prod_ k e. (/) ( B ^ N ) = 1
23	22	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> prod_ k e. (/) ( B ^ N ) = 1 )
24		prod0 14673	. . . . 5 |- prod_ k e. (/) B = 1
25	24	oveq1i 6660	. . . 4 |- ( prod_ k e. (/) B ^ N ) = ( 1 ^ N )
26	25	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( prod_ k e. (/) B ^ N ) = ( 1 ^ N ) )
27	21, 23, 26	3eqtr4d 2666	. 2 |- ( ph -> prod_ k e. (/) ( B ^ N ) = ( prod_ k e. (/) B ^ N ) )
28		fprodexp.kph	. . . . . . . . 9 |- F/ k ph
29		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ k ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) )
30	28, 29	nfan 1828	. . . . . . . 8 |- F/ k ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) )
31		fprodexp.a	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. Fin )
32	31	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y C_ A ) -> A e. Fin )
33		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y C_ A ) -> y C_ A )
34		ssfi 8180	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> y e. Fin )
35	32, 33, 34	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y C_ A ) -> y e. Fin )
36	35	adantrr 753	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> y e. Fin )
37		simpll 790	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y C_ A ) /\ k e. y ) -> ph )
38	33	sselda 3603	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y C_ A ) /\ k e. y ) -> k e. A )
39		fprodexp.b	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
40	37, 38, 39	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y C_ A ) /\ k e. y ) -> B e. CC )
41	40	adantlrr 757	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> B e. CC )
42	30, 36, 41	fprodclf 14723	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> prod_ k e. y B e. CC )
43		simpl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ph )
44		simprr 796	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. ( A \ y ) )
45	44	eldifad 3586	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. A )
46		nfv 1843	. . . . . . . . . . 11 |- F/ k z e. A
47	28, 46	nfan 1828	. . . . . . . . . 10 |- F/ k ( ph /\ z e. A )
48		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k [_ z / k ]_ B
49	48	nfel1 2779	. . . . . . . . . 10 |- F/ k [_ z / k ]_ B e. CC
50	47, 49	nfim 1825	. . . . . . . . 9 |- F/ k ( ( ph /\ z e. A ) -> [_ z / k ]_ B e. CC )
51		eleq1 2689	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = z -> ( k e. A <-> z e. A ) )
52	51	anbi2d 740	. . . . . . . . . 10 |- ( k = z -> ( ( ph /\ k e. A ) <-> ( ph /\ z e. A ) ) )
53		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = z -> B = [_ z / k ]_ B )
54	53	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10 |- ( k = z -> ( B e. CC <-> [_ z / k ]_ B e. CC ) )
55	52, 54	imbi12d 334	. . . . . . . . 9 |- ( k = z -> ( ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC ) <-> ( ( ph /\ z e. A ) -> [_ z / k ]_ B e. CC ) ) )
56	50, 55, 39	chvar 2262	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> [_ z / k ]_ B e. CC )
57	43, 45, 56	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> [_ z / k ]_ B e. CC )
58	17	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> N e. NN0 )
59		mulexp 12899	. . . . . . 7 |- ( ( prod_ k e. y B e. CC /\ [_ z / k ]_ B e. CC /\ N e. NN0 ) -> ( ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) ^ N ) = ( ( prod_ k e. y B ^ N ) x. ( [_ z / k ]_ B ^ N ) ) )
60	42, 57, 58, 59	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) ^ N ) = ( ( prod_ k e. y B ^ N ) x. ( [_ z / k ]_ B ^ N ) ) )
61	60	eqcomd 2628	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( ( prod_ k e. y B ^ N ) x. ( [_ z / k ]_ B ^ N ) ) = ( ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) ^ N ) )
62	61	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y ( B ^ N ) = ( prod_ k e. y B ^ N ) ) -> ( ( prod_ k e. y B ^ N ) x. ( [_ z / k ]_ B ^ N ) ) = ( ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) ^ N ) )
63		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ k ^
64		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ k N
65	48, 63, 64	nfov 6676	. . . . . . 7 |- F/_ k ( [_ z / k ]_ B ^ N )
66	44	eldifbd 3587	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> -. z e. y )
67	17	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y C_ A ) /\ k e. y ) -> N e. NN0 )
68	40, 67	expcld 13008	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y C_ A ) /\ k e. y ) -> ( B ^ N ) e. CC )
69	68	adantlrr 757	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> ( B ^ N ) e. CC )
70	53	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( k = z -> ( B ^ N ) = ( [_ z / k ]_ B ^ N ) )
71	57, 58	expcld 13008	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( [_ z / k ]_ B ^ N ) e. CC )
72	30, 65, 36, 44, 66, 69, 70, 71	fprodsplitsn 14720	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> prod_ k e. ( y u. { z } ) ( B ^ N ) = ( prod_ k e. y ( B ^ N ) x. ( [_ z / k ]_ B ^ N ) ) )
73	72	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y ( B ^ N ) = ( prod_ k e. y B ^ N ) ) -> prod_ k e. ( y u. { z } ) ( B ^ N ) = ( prod_ k e. y ( B ^ N ) x. ( [_ z / k ]_ B ^ N ) ) )
74		oveq1 6657	. . . . . 6 |- ( prod_ k e. y ( B ^ N ) = ( prod_ k e. y B ^ N ) -> ( prod_ k e. y ( B ^ N ) x. ( [_ z / k ]_ B ^ N ) ) = ( ( prod_ k e. y B ^ N ) x. ( [_ z / k ]_ B ^ N ) ) )
75	74	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y ( B ^ N ) = ( prod_ k e. y B ^ N ) ) -> ( prod_ k e. y ( B ^ N ) x. ( [_ z / k ]_ B ^ N ) ) = ( ( prod_ k e. y B ^ N ) x. ( [_ z / k ]_ B ^ N ) ) )
76	73, 75	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y ( B ^ N ) = ( prod_ k e. y B ^ N ) ) -> prod_ k e. ( y u. { z } ) ( B ^ N ) = ( ( prod_ k e. y B ^ N ) x. ( [_ z / k ]_ B ^ N ) ) )
77	30, 48, 36, 44, 66, 41, 53, 57	fprodsplitsn 14720	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> prod_ k e. ( y u. { z } ) B = ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) )
78	77	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y ( B ^ N ) = ( prod_ k e. y B ^ N ) ) -> prod_ k e. ( y u. { z } ) B = ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) )
79	78	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y ( B ^ N ) = ( prod_ k e. y B ^ N ) ) -> ( prod_ k e. ( y u. { z } ) B ^ N ) = ( ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) ^ N ) )
80	62, 76, 79	3eqtr4d 2666	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y ( B ^ N ) = ( prod_ k e. y B ^ N ) ) -> prod_ k e. ( y u. { z } ) ( B ^ N ) = ( prod_ k e. ( y u. { z } ) B ^ N ) )
81	80	ex 450	. 2 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( prod_ k e. y ( B ^ N ) = ( prod_ k e. y B ^ N ) -> prod_ k e. ( y u. { z } ) ( B ^ N ) = ( prod_ k e. ( y u. { z } ) B ^ N ) ) )
82	4, 8, 12, 16, 27, 81, 31	findcard2d 8202	1 |- ( ph -> prod_ k e. A ( B ^ N ) = ( prod_ k e. A B ^ N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   [_csb 3533   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   CCcc 9934   1c1 9937   x. cmul 9941   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ^cexp 12860   prod_cprod 14635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-prod 14636

This theorem is referenced by:  etransclem35  40486