Theorem fprodabs2 39827

Description: The absolute value of a finite product . (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodabs2.a	|- ( ph -> A e. Fin )
fprodabs2.b	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fprodabs2	|- ( ph -> ( abs ` prod_ k e. A B ) = prod_ k e. A ( abs ` B ) )

Distinct variable groups:   A, k   ph, k

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem fprodabs2

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodeq1 14639	. . . 4 |- ( x = (/) -> prod_ k e. x B = prod_ k e. (/) B )
2	1	fveq2d 6195	. . 3 |- ( x = (/) -> ( abs ` prod_ k e. x B ) = ( abs ` prod_ k e. (/) B ) )
3		prodeq1 14639	. . 3 |- ( x = (/) -> prod_ k e. x ( abs ` B ) = prod_ k e. (/) ( abs ` B ) )
4	2, 3	eqeq12d 2637	. 2 |- ( x = (/) -> ( ( abs ` prod_ k e. x B ) = prod_ k e. x ( abs ` B ) <-> ( abs ` prod_ k e. (/) B ) = prod_ k e. (/) ( abs ` B ) ) )
5		prodeq1 14639	. . . 4 |- ( x = y -> prod_ k e. x B = prod_ k e. y B )
6	5	fveq2d 6195	. . 3 |- ( x = y -> ( abs ` prod_ k e. x B ) = ( abs ` prod_ k e. y B ) )
7		prodeq1 14639	. . 3 |- ( x = y -> prod_ k e. x ( abs ` B ) = prod_ k e. y ( abs ` B ) )
8	6, 7	eqeq12d 2637	. 2 |- ( x = y -> ( ( abs ` prod_ k e. x B ) = prod_ k e. x ( abs ` B ) <-> ( abs ` prod_ k e. y B ) = prod_ k e. y ( abs ` B ) ) )
9		prodeq1 14639	. . . 4 |- ( x = ( y u. { z } ) -> prod_ k e. x B = prod_ k e. ( y u. { z } ) B )
10	9	fveq2d 6195	. . 3 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( abs ` prod_ k e. x B ) = ( abs ` prod_ k e. ( y u. { z } ) B ) )
11		prodeq1 14639	. . 3 |- ( x = ( y u. { z } ) -> prod_ k e. x ( abs ` B ) = prod_ k e. ( y u. { z } ) ( abs ` B ) )
12	10, 11	eqeq12d 2637	. 2 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( ( abs ` prod_ k e. x B ) = prod_ k e. x ( abs ` B ) <-> ( abs ` prod_ k e. ( y u. { z } ) B ) = prod_ k e. ( y u. { z } ) ( abs ` B ) ) )
13		prodeq1 14639	. . . 4 |- ( x = A -> prod_ k e. x B = prod_ k e. A B )
14	13	fveq2d 6195	. . 3 |- ( x = A -> ( abs ` prod_ k e. x B ) = ( abs ` prod_ k e. A B ) )
15		prodeq1 14639	. . 3 |- ( x = A -> prod_ k e. x ( abs ` B ) = prod_ k e. A ( abs ` B ) )
16	14, 15	eqeq12d 2637	. 2 |- ( x = A -> ( ( abs ` prod_ k e. x B ) = prod_ k e. x ( abs ` B ) <-> ( abs ` prod_ k e. A B ) = prod_ k e. A ( abs ` B ) ) )
17		abs1 14037	. . . 4 |- ( abs ` 1 ) = 1
18		prod0 14673	. . . . 5 |- prod_ k e. (/) B = 1
19	18	fveq2i 6194	. . . 4 |- ( abs ` prod_ k e. (/) B ) = ( abs ` 1 )
20		prod0 14673	. . . 4 |- prod_ k e. (/) ( abs ` B ) = 1
21	17, 19, 20	3eqtr4i 2654	. . 3 |- ( abs ` prod_ k e. (/) B ) = prod_ k e. (/) ( abs ` B )
22	21	a1i 11	. 2 |- ( ph -> ( abs ` prod_ k e. (/) B ) = prod_ k e. (/) ( abs ` B ) )
23		eqidd 2623	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( abs ` prod_ k e. y B ) = prod_ k e. y ( abs ` B ) ) -> ( prod_ k e. y ( abs ` B ) x. ( abs ` [_ z / k ]_ B ) ) = ( prod_ k e. y ( abs ` B ) x. ( abs ` [_ z / k ]_ B ) ) )
24		nfv 1843	. . . . . . . 8 |- F/ k ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) )
25		nfcsb1v 3549	. . . . . . . 8 |- F/_ k [_ z / k ]_ B
26		fprodabs2.a	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. Fin )
27	26	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y C_ A ) -> A e. Fin )
28		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y C_ A ) -> y C_ A )
29		ssfi 8180	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> y e. Fin )
30	27, 28, 29	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y C_ A ) -> y e. Fin )
31	30	adantrr 753	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> y e. Fin )
32		simprr 796	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. ( A \ y ) )
33	32	eldifbd 3587	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> -. z e. y )
34		simpll 790	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> ph )
35	28	sselda 3603	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y C_ A ) /\ k e. y ) -> k e. A )
36	35	adantlrr 757	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> k e. A )
37		fprodabs2.b	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
38	34, 36, 37	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> B e. CC )
39		csbeq1a 3542	. . . . . . . 8 |- ( k = z -> B = [_ z / k ]_ B )
40		simpl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ph )
41	32	eldifad 3586	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. A )
42		nfv 1843	. . . . . . . . . . 11 |- F/ k ( ph /\ z e. A )
43	25	nfel1 2779	. . . . . . . . . . 11 |- F/ k [_ z / k ]_ B e. CC
44	42, 43	nfim 1825	. . . . . . . . . 10 |- F/ k ( ( ph /\ z e. A ) -> [_ z / k ]_ B e. CC )
45		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = z -> ( k e. A <-> z e. A ) )
46	45	anbi2d 740	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = z -> ( ( ph /\ k e. A ) <-> ( ph /\ z e. A ) ) )
47	39	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = z -> ( B e. CC <-> [_ z / k ]_ B e. CC ) )
48	46, 47	imbi12d 334	. . . . . . . . . 10 |- ( k = z -> ( ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC ) <-> ( ( ph /\ z e. A ) -> [_ z / k ]_ B e. CC ) ) )
49	44, 48, 37	chvar 2262	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> [_ z / k ]_ B e. CC )
50	40, 41, 49	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> [_ z / k ]_ B e. CC )
51	24, 25, 31, 32, 33, 38, 39, 50	fprodsplitsn 14720	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> prod_ k e. ( y u. { z } ) B = ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) )
52	51	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( abs ` prod_ k e. y B ) = prod_ k e. y ( abs ` B ) ) -> prod_ k e. ( y u. { z } ) B = ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) )
53	52	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( abs ` prod_ k e. y B ) = prod_ k e. y ( abs ` B ) ) -> ( abs ` prod_ k e. ( y u. { z } ) B ) = ( abs ` ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) ) )
54	24, 31, 38	fprodclf 14723	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> prod_ k e. y B e. CC )
55	54, 50	absmuld 14193	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( abs ` ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) ) = ( ( abs ` prod_ k e. y B ) x. ( abs ` [_ z / k ]_ B ) ) )
56	55	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( abs ` prod_ k e. y B ) = prod_ k e. y ( abs ` B ) ) -> ( abs ` ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) ) = ( ( abs ` prod_ k e. y B ) x. ( abs ` [_ z / k ]_ B ) ) )
57		oveq1 6657	. . . . . 6 |- ( ( abs ` prod_ k e. y B ) = prod_ k e. y ( abs ` B ) -> ( ( abs ` prod_ k e. y B ) x. ( abs ` [_ z / k ]_ B ) ) = ( prod_ k e. y ( abs ` B ) x. ( abs ` [_ z / k ]_ B ) ) )
58	57	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( abs ` prod_ k e. y B ) = prod_ k e. y ( abs ` B ) ) -> ( ( abs ` prod_ k e. y B ) x. ( abs ` [_ z / k ]_ B ) ) = ( prod_ k e. y ( abs ` B ) x. ( abs ` [_ z / k ]_ B ) ) )
59	53, 56, 58	3eqtrd 2660	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( abs ` prod_ k e. y B ) = prod_ k e. y ( abs ` B ) ) -> ( abs ` prod_ k e. ( y u. { z } ) B ) = ( prod_ k e. y ( abs ` B ) x. ( abs ` [_ z / k ]_ B ) ) )
60		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ k abs
61	60, 25	nffv 6198	. . . . . 6 |- F/_ k ( abs ` [_ z / k ]_ B )
62	38	abscld 14175	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> ( abs ` B ) e. RR )
63	62	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> ( abs ` B ) e. CC )
64	39	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( k = z -> ( abs ` B ) = ( abs ` [_ z / k ]_ B ) )
65	50	abscld 14175	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( abs ` [_ z / k ]_ B ) e. RR )
66	65	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( abs ` [_ z / k ]_ B ) e. CC )
67	24, 61, 31, 32, 33, 63, 64, 66	fprodsplitsn 14720	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> prod_ k e. ( y u. { z } ) ( abs ` B ) = ( prod_ k e. y ( abs ` B ) x. ( abs ` [_ z / k ]_ B ) ) )
68	67	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( abs ` prod_ k e. y B ) = prod_ k e. y ( abs ` B ) ) -> prod_ k e. ( y u. { z } ) ( abs ` B ) = ( prod_ k e. y ( abs ` B ) x. ( abs ` [_ z / k ]_ B ) ) )
69	23, 59, 68	3eqtr4d 2666	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( abs ` prod_ k e. y B ) = prod_ k e. y ( abs ` B ) ) -> ( abs ` prod_ k e. ( y u. { z } ) B ) = prod_ k e. ( y u. { z } ) ( abs ` B ) )
70	69	ex 450	. 2 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( ( abs ` prod_ k e. y B ) = prod_ k e. y ( abs ` B ) -> ( abs ` prod_ k e. ( y u. { z } ) B ) = prod_ k e. ( y u. { z } ) ( abs ` B ) ) )
71	4, 8, 12, 16, 22, 70, 26	findcard2d 8202	1 |- ( ph -> ( abs ` prod_ k e. A B ) = prod_ k e. A ( abs ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   [_csb 3533   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   CCcc 9934   1c1 9937   x. cmul 9941   abscabs 13974   prod_cprod 14635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-prod 14636

This theorem is referenced by:  etransclem41  40492