Theorem frgpupf 18186

Description: Any assignment of the generators to target elements can be extended (uniquely) to a homomorphism from a free monoid to an arbitrary other monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgpup.b	|- B = ( Base ` H )
frgpup.n	|- N = ( invg ` H )
frgpup.t	|- T = ( y e. I , z e. 2o |-> if ( z = (/) , ( F ` y ) , ( N ` ( F ` y ) ) ) )
frgpup.h	|- ( ph -> H e. Grp )
frgpup.i	|- ( ph -> I e. V )
frgpup.a	|- ( ph -> F : I --> B )
frgpup.w	|- W = ( _I ` Word ( I X. 2o ) )
frgpup.r	|- .~ = ( ~FG ` I )
frgpup.g	|- G = (freeGrp ` I )
frgpup.x	|- X = ( Base ` G )
frgpup.e	|- E = ran ( g e. W |-> <. [ g ] .~ , ( H gsumg ( T o. g ) ) >. )

Assertion

Ref	Expression
frgpupf	|- ( ph -> E : X --> B )

Distinct variable groups:   y, g, z   g, H   y, F, z   y, N, z   B, g, y, z   T, g   .~ , g   ph, g, y, z   y, I, z   g, W

Allowed substitution hints:   .~ ( y, z)   T( y, z)   E( y, z, g)   F( g)   G( y, z, g)   H( y, z)   I( g)   N( g)   V( y, z, g)   W( y, z)   X( y, z, g)

Proof of Theorem frgpupf

Dummy variable h is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frgpup.e	. . . 4 |- E = ran ( g e. W |-> <. [ g ] .~ , ( H gsumg ( T o. g ) ) >. )
2		frgpup.h	. . . . . . 7 |- ( ph -> H e. Grp )
3		grpmnd 17429	. . . . . . 7 |- ( H e. Grp -> H e. Mnd )
4	2, 3	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> H e. Mnd )
5	4	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ g e. W ) -> H e. Mnd )
6		frgpup.w	. . . . . . . 8 |- W = ( _I ` Word ( I X. 2o ) )
7		fviss 6256	. . . . . . . 8 |- ( _I ` Word ( I X. 2o ) ) C_ Word ( I X. 2o )
8	6, 7	eqsstri 3635	. . . . . . 7 |- W C_ Word ( I X. 2o )
9	8	sseli 3599	. . . . . 6 |- ( g e. W -> g e. Word ( I X. 2o ) )
10		frgpup.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` H )
11		frgpup.n	. . . . . . 7 |- N = ( invg ` H )
12		frgpup.t	. . . . . . 7 |- T = ( y e. I , z e. 2o |-> if ( z = (/) , ( F ` y ) , ( N ` ( F ` y ) ) ) )
13		frgpup.i	. . . . . . 7 |- ( ph -> I e. V )
14		frgpup.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : I --> B )
15	10, 11, 12, 2, 13, 14	frgpuptf 18183	. . . . . 6 |- ( ph -> T : ( I X. 2o ) --> B )
16		wrdco 13577	. . . . . 6 |- ( ( g e. Word ( I X. 2o ) /\ T : ( I X. 2o ) --> B ) -> ( T o. g ) e. Word B )
17	9, 15, 16	syl2anr 495	. . . . 5 |- ( ( ph /\ g e. W ) -> ( T o. g ) e. Word B )
18	10	gsumwcl 17377	. . . . 5 |- ( ( H e. Mnd /\ ( T o. g ) e. Word B ) -> ( H gsumg ( T o. g ) ) e. B )
19	5, 17, 18	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ph /\ g e. W ) -> ( H gsumg ( T o. g ) ) e. B )
20		frgpup.r	. . . . . 6 |- .~ = ( ~FG ` I )
21	6, 20	efger 18131	. . . . 5 |- .~ Er W
22	21	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> .~ Er W )
23		fvex 6201	. . . . . 6 |- ( _I ` Word ( I X. 2o ) ) e. _V
24	6, 23	eqeltri 2697	. . . . 5 |- W e. _V
25	24	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> W e. _V )
26		coeq2 5280	. . . . 5 |- ( g = h -> ( T o. g ) = ( T o. h ) )
27	26	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( g = h -> ( H gsumg ( T o. g ) ) = ( H gsumg ( T o. h ) ) )
28	10, 11, 12, 2, 13, 14, 6, 20	frgpuplem 18185	. . . 4 |- ( ( ph /\ g .~ h ) -> ( H gsumg ( T o. g ) ) = ( H gsumg ( T o. h ) ) )
29	1, 19, 22, 25, 27, 28	qliftfund 7833	. . 3 |- ( ph -> Fun E )
30	1, 19, 22, 25	qliftf 7835	. . 3 |- ( ph -> ( Fun E <-> E : ( W /. .~ ) --> B ) )
31	29, 30	mpbid 222	. 2 |- ( ph -> E : ( W /. .~ ) --> B )
32		frgpup.g	. . . . . . 7 |- G = (freeGrp ` I )
33		eqid 2622	. . . . . . 7 |- (freeMnd ` ( I X. 2o ) ) = (freeMnd ` ( I X. 2o ) )
34	32, 33, 20	frgpval 18171	. . . . . 6 |- ( I e. V -> G = ( (freeMnd ` ( I X. 2o ) ) /.s .~ ) )
35	13, 34	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> G = ( (freeMnd ` ( I X. 2o ) ) /.s .~ ) )
36		2on 7568	. . . . . . . . 9 |- 2o e. On
37		xpexg 6960	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. V /\ 2o e. On ) -> ( I X. 2o ) e. _V )
38	13, 36, 37	sylancl 694	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( I X. 2o ) e. _V )
39		wrdexg 13315	. . . . . . . 8 |- ( ( I X. 2o ) e. _V -> Word ( I X. 2o ) e. _V )
40		fvi 6255	. . . . . . . 8 |- (Word ( I X. 2o ) e. _V -> ( _I ` Word ( I X. 2o ) ) = Word ( I X. 2o ) )
41	38, 39, 40	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( _I ` Word ( I X. 2o ) ) = Word ( I X. 2o ) )
42	6, 41	syl5eq 2668	. . . . . 6 |- ( ph -> W = Word ( I X. 2o ) )
43		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( Base ` (freeMnd ` ( I X. 2o ) ) ) = ( Base ` (freeMnd ` ( I X. 2o ) ) )
44	33, 43	frmdbas 17389	. . . . . . 7 |- ( ( I X. 2o ) e. _V -> ( Base ` (freeMnd ` ( I X. 2o ) ) ) = Word ( I X. 2o ) )
45	38, 44	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( Base ` (freeMnd ` ( I X. 2o ) ) ) = Word ( I X. 2o ) )
46	42, 45	eqtr4d 2659	. . . . 5 |- ( ph -> W = ( Base ` (freeMnd ` ( I X. 2o ) ) ) )
47		fvex 6201	. . . . . . 7 |- ( ~FG ` I ) e. _V
48	20, 47	eqeltri 2697	. . . . . 6 |- .~ e. _V
49	48	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> .~ e. _V )
50		fvexd 6203	. . . . 5 |- ( ph -> (freeMnd ` ( I X. 2o ) ) e. _V )
51	35, 46, 49, 50	qusbas 16205	. . . 4 |- ( ph -> ( W /. .~ ) = ( Base ` G ) )
52		frgpup.x	. . . 4 |- X = ( Base ` G )
53	51, 52	syl6reqr 2675	. . 3 |- ( ph -> X = ( W /. .~ ) )
54	53	feq2d 6031	. 2 |- ( ph -> ( E : X --> B <-> E : ( W /. .~ ) --> B ) )
55	31, 54	mpbird 247	1 |- ( ph -> E : X --> B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   (/)c0 3915   ifcif 4086   <.cop 4183   |-> cmpt 4729   _I cid 5023   X. cxp 5112   ran crn 5115   o. ccom 5118   Oncon0 5723   Fun wfun 5882   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   2oc2o 7554   Er wer 7739   [cec 7740   /.cqs 7741  Word cword 13291   Basecbs 15857   gsum_g cgsu 16101   /._s cqus 16165   Mndcmnd 17294  freeMndcfrmd 17384   Grpcgrp 17422   invgcminusg 17423   ~_FG cefg 18119  freeGrpcfrgp 18120

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-s1 13302  df-substr 13303  df-splice 13304  df-s2 13593  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-imas 16168  df-qus 16169  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-frmd 17386  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-efg 18122  df-frgp 18123

This theorem is referenced by:  frgpupval  18187  frgpup1  18188