Theorem fsum0diag2 14515

Description: Two ways to express "the sum of A ( j , k ) over the triangular region 0 <_ j, 0 <_ k, j + k <_ N." (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsum0diag2.1	|- ( x = k -> B = A )
fsum0diag2.2	|- ( x = ( k - j ) -> B = C )
fsum0diag2.3	|- ( ( ph /\ ( j e. ( 0 ... N ) /\ k e. ( 0 ... ( N - j ) ) ) ) -> A e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fsum0diag2	|- ( ph -> sum_ j e. ( 0 ... N ) sum_ k e. ( 0 ... ( N - j ) ) A = sum_ k e. ( 0 ... N ) sum_ j e. ( 0 ... k ) C )

Distinct variable groups:   j, k, x, N   ph, j, k   B, k   x, A   x, C

Allowed substitution hints:   ph( x)   A( j, k)   B( x, j)   C( j, k)

Proof of Theorem fsum0diag2

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fznn0sub2 12446	. . . . . . 7 |- ( n e. ( 0 ... ( N - j ) ) -> ( ( N - j ) - n ) e. ( 0 ... ( N - j ) ) )
2	1	ad2antll 765	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( j e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... ( N - j ) ) ) ) -> ( ( N - j ) - n ) e. ( 0 ... ( N - j ) ) )
3		fsum0diag2.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( j e. ( 0 ... N ) /\ k e. ( 0 ... ( N - j ) ) ) ) -> A e. CC )
4	3	expr 643	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( k e. ( 0 ... ( N - j ) ) -> A e. CC ) )
5	4	ralrimiv 2965	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> A. k e. ( 0 ... ( N - j ) ) A e. CC )
6		fsum0diag2.1	. . . . . . . . . 10 |- ( x = k -> B = A )
7	6	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 |- ( x = k -> ( B e. CC <-> A e. CC ) )
8	7	cbvralv 3171	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. ( 0 ... ( N - j ) ) B e. CC <-> A. k e. ( 0 ... ( N - j ) ) A e. CC )
9	5, 8	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> A. x e. ( 0 ... ( N - j ) ) B e. CC )
10	9	adantrr 753	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( j e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... ( N - j ) ) ) ) -> A. x e. ( 0 ... ( N - j ) ) B e. CC )
11		nfcsb1v 3549	. . . . . . . 8 |- F/_ x [_ ( ( N - j ) - n ) / x ]_ B
12	11	nfel1 2779	. . . . . . 7 |- F/ x [_ ( ( N - j ) - n ) / x ]_ B e. CC
13		csbeq1a 3542	. . . . . . . 8 |- ( x = ( ( N - j ) - n ) -> B = [_ ( ( N - j ) - n ) / x ]_ B )
14	13	eleq1d 2686	. . . . . . 7 |- ( x = ( ( N - j ) - n ) -> ( B e. CC <-> [_ ( ( N - j ) - n ) / x ]_ B e. CC ) )
15	12, 14	rspc 3303	. . . . . 6 |- ( ( ( N - j ) - n ) e. ( 0 ... ( N - j ) ) -> ( A. x e. ( 0 ... ( N - j ) ) B e. CC -> [_ ( ( N - j ) - n ) / x ]_ B e. CC ) )
16	2, 10, 15	sylc 65	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( j e. ( 0 ... N ) /\ n e. ( 0 ... ( N - j ) ) ) ) -> [_ ( ( N - j ) - n ) / x ]_ B e. CC )
17	16	fsum0diag 14509	. . . 4 |- ( ph -> sum_ j e. ( 0 ... N ) sum_ n e. ( 0 ... ( N - j ) ) [_ ( ( N - j ) - n ) / x ]_ B = sum_ n e. ( 0 ... N ) sum_ j e. ( 0 ... ( N - n ) ) [_ ( ( N - j ) - n ) / x ]_ B )
18		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x [_ k / x ]_ B
19	18	nfel1 2779	. . . . . . . . 9 |- F/ x [_ k / x ]_ B e. CC
20		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . 10 |- ( x = k -> B = [_ k / x ]_ B )
21	20	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 |- ( x = k -> ( B e. CC <-> [_ k / x ]_ B e. CC ) )
22	19, 21	rspc 3303	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( 0 ... ( N - j ) ) -> ( A. x e. ( 0 ... ( N - j ) ) B e. CC -> [_ k / x ]_ B e. CC ) )
23	9, 22	mpan9 486	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ k e. ( 0 ... ( N - j ) ) ) -> [_ k / x ]_ B e. CC )
24		csbeq1 3536	. . . . . . 7 |- ( k = ( ( 0 + ( N - j ) ) - n ) -> [_ k / x ]_ B = [_ ( ( 0 + ( N - j ) ) - n ) / x ]_ B )
25	23, 24	fsumrev2 14514	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( N - j ) ) [_ k / x ]_ B = sum_ n e. ( 0 ... ( N - j ) ) [_ ( ( 0 + ( N - j ) ) - n ) / x ]_ B )
26		elfz3nn0 12434	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( 0 ... N ) -> N e. NN0 )
27	26	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ n e. ( 0 ... ( N - j ) ) ) -> N e. NN0 )
28		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( 0 ... N ) -> j e. ZZ )
29	28	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ n e. ( 0 ... ( N - j ) ) ) -> j e. ZZ )
30		nn0cn 11302	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN0 -> N e. CC )
31		zcn 11382	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ZZ -> j e. CC )
32		subcl 10280	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. CC /\ j e. CC ) -> ( N - j ) e. CC )
33	30, 31, 32	syl2an 494	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ j e. ZZ ) -> ( N - j ) e. CC )
34	27, 29, 33	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ n e. ( 0 ... ( N - j ) ) ) -> ( N - j ) e. CC )
35		addid2 10219	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N - j ) e. CC -> ( 0 + ( N - j ) ) = ( N - j ) )
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ n e. ( 0 ... ( N - j ) ) ) -> ( 0 + ( N - j ) ) = ( N - j ) )
37	36	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ n e. ( 0 ... ( N - j ) ) ) -> ( ( 0 + ( N - j ) ) - n ) = ( ( N - j ) - n ) )
38	37	csbeq1d 3540	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ n e. ( 0 ... ( N - j ) ) ) -> [_ ( ( 0 + ( N - j ) ) - n ) / x ]_ B = [_ ( ( N - j ) - n ) / x ]_ B )
39	38	sumeq2dv 14433	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> sum_ n e. ( 0 ... ( N - j ) ) [_ ( ( 0 + ( N - j ) ) - n ) / x ]_ B = sum_ n e. ( 0 ... ( N - j ) ) [_ ( ( N - j ) - n ) / x ]_ B )
40	25, 39	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( N - j ) ) [_ k / x ]_ B = sum_ n e. ( 0 ... ( N - j ) ) [_ ( ( N - j ) - n ) / x ]_ B )
41	40	sumeq2dv 14433	. . . 4 |- ( ph -> sum_ j e. ( 0 ... N ) sum_ k e. ( 0 ... ( N - j ) ) [_ k / x ]_ B = sum_ j e. ( 0 ... N ) sum_ n e. ( 0 ... ( N - j ) ) [_ ( ( N - j ) - n ) / x ]_ B )
42		elfz3nn0 12434	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( 0 ... N ) -> N e. NN0 )
43	42	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) -> N e. NN0 )
44		addid2 10219	. . . . . . . . 9 |- ( N e. CC -> ( 0 + N ) = N )
45	43, 30, 44	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) -> ( 0 + N ) = N )
46	45	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( 0 + N ) - n ) = ( N - n ) )
47	46	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) -> ( 0 ... ( ( 0 + N ) - n ) ) = ( 0 ... ( N - n ) ) )
48	46	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ( 0 + N ) - n ) - j ) = ( ( N - n ) - j ) )
49	48	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... ( N - n ) ) ) -> ( ( ( 0 + N ) - n ) - j ) = ( ( N - n ) - j ) )
50	42	ad2antlr 763	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... ( N - n ) ) ) -> N e. NN0 )
51		elfzelz 12342	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( 0 ... N ) -> n e. ZZ )
52	51	ad2antlr 763	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... ( N - n ) ) ) -> n e. ZZ )
53		elfzelz 12342	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( 0 ... ( N - n ) ) -> j e. ZZ )
54	53	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... ( N - n ) ) ) -> j e. ZZ )
55		zcn 11382	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ZZ -> n e. CC )
56		sub32 10315	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. CC /\ n e. CC /\ j e. CC ) -> ( ( N - n ) - j ) = ( ( N - j ) - n ) )
57	30, 55, 31, 56	syl3an 1368	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ n e. ZZ /\ j e. ZZ ) -> ( ( N - n ) - j ) = ( ( N - j ) - n ) )
58	50, 52, 54, 57	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... ( N - n ) ) ) -> ( ( N - n ) - j ) = ( ( N - j ) - n ) )
59	49, 58	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... ( N - n ) ) ) -> ( ( ( 0 + N ) - n ) - j ) = ( ( N - j ) - n ) )
60	59	csbeq1d 3540	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... ( N - n ) ) ) -> [_ ( ( ( 0 + N ) - n ) - j ) / x ]_ B = [_ ( ( N - j ) - n ) / x ]_ B )
61	47, 60	sumeq12rdv 14438	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... N ) ) -> sum_ j e. ( 0 ... ( ( 0 + N ) - n ) ) [_ ( ( ( 0 + N ) - n ) - j ) / x ]_ B = sum_ j e. ( 0 ... ( N - n ) ) [_ ( ( N - j ) - n ) / x ]_ B )
62	61	sumeq2dv 14433	. . . 4 |- ( ph -> sum_ n e. ( 0 ... N ) sum_ j e. ( 0 ... ( ( 0 + N ) - n ) ) [_ ( ( ( 0 + N ) - n ) - j ) / x ]_ B = sum_ n e. ( 0 ... N ) sum_ j e. ( 0 ... ( N - n ) ) [_ ( ( N - j ) - n ) / x ]_ B )
63	17, 41, 62	3eqtr4d 2666	. . 3 |- ( ph -> sum_ j e. ( 0 ... N ) sum_ k e. ( 0 ... ( N - j ) ) [_ k / x ]_ B = sum_ n e. ( 0 ... N ) sum_ j e. ( 0 ... ( ( 0 + N ) - n ) ) [_ ( ( ( 0 + N ) - n ) - j ) / x ]_ B )
64		fzfid 12772	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( 0 ... k ) e. Fin )
65		elfzuz3 12339	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( 0 ... k ) -> k e. ( ZZ>= ` j ) )
66	65	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> k e. ( ZZ>= ` j ) )
67		elfzuz3 12339	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 0 ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` k ) )
68	67	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> N e. ( ZZ>= ` k ) )
69	68	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> N e. ( ZZ>= ` k ) )
70		elfzuzb 12336	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( j ... N ) <-> ( k e. ( ZZ>= ` j ) /\ N e. ( ZZ>= ` k ) ) )
71	66, 69, 70	sylanbrc 698	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> k e. ( j ... N ) )
72		elfzelz 12342	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( 0 ... k ) -> j e. ZZ )
73	72	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> j e. ZZ )
74		elfzel2 12340	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 0 ... N ) -> N e. ZZ )
75	74	ad2antlr 763	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> N e. ZZ )
76		elfzelz 12342	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 0 ... N ) -> k e. ZZ )
77	76	ad2antlr 763	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> k e. ZZ )
78		fzsubel 12377	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( j e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( k e. ZZ /\ j e. ZZ ) ) -> ( k e. ( j ... N ) <-> ( k - j ) e. ( ( j - j ) ... ( N - j ) ) ) )
79	73, 75, 77, 73, 78	syl22anc 1327	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( k e. ( j ... N ) <-> ( k - j ) e. ( ( j - j ) ... ( N - j ) ) ) )
80	71, 79	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( k - j ) e. ( ( j - j ) ... ( N - j ) ) )
81		subid 10300	. . . . . . . . 9 |- ( j e. CC -> ( j - j ) = 0 )
82	73, 31, 81	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( j - j ) = 0 )
83	82	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ( j - j ) ... ( N - j ) ) = ( 0 ... ( N - j ) ) )
84	80, 83	eleqtrd 2703	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( k - j ) e. ( 0 ... ( N - j ) ) )
85		simpll 790	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ph )
86		fzss2 12381	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` k ) -> ( 0 ... k ) C_ ( 0 ... N ) )
87	68, 86	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( 0 ... k ) C_ ( 0 ... N ) )
88	87	sselda 3603	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> j e. ( 0 ... N ) )
89	85, 88, 9	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> A. x e. ( 0 ... ( N - j ) ) B e. CC )
90		nfcsb1v 3549	. . . . . . . 8 |- F/_ x [_ ( k - j ) / x ]_ B
91	90	nfel1 2779	. . . . . . 7 |- F/ x [_ ( k - j ) / x ]_ B e. CC
92		csbeq1a 3542	. . . . . . . 8 |- ( x = ( k - j ) -> B = [_ ( k - j ) / x ]_ B )
93	92	eleq1d 2686	. . . . . . 7 |- ( x = ( k - j ) -> ( B e. CC <-> [_ ( k - j ) / x ]_ B e. CC ) )
94	91, 93	rspc 3303	. . . . . 6 |- ( ( k - j ) e. ( 0 ... ( N - j ) ) -> ( A. x e. ( 0 ... ( N - j ) ) B e. CC -> [_ ( k - j ) / x ]_ B e. CC ) )
95	84, 89, 94	sylc 65	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> [_ ( k - j ) / x ]_ B e. CC )
96	64, 95	fsumcl 14464	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> sum_ j e. ( 0 ... k ) [_ ( k - j ) / x ]_ B e. CC )
97		oveq2 6658	. . . . 5 |- ( k = ( ( 0 + N ) - n ) -> ( 0 ... k ) = ( 0 ... ( ( 0 + N ) - n ) ) )
98		oveq1 6657	. . . . . . 7 |- ( k = ( ( 0 + N ) - n ) -> ( k - j ) = ( ( ( 0 + N ) - n ) - j ) )
99	98	csbeq1d 3540	. . . . . 6 |- ( k = ( ( 0 + N ) - n ) -> [_ ( k - j ) / x ]_ B = [_ ( ( ( 0 + N ) - n ) - j ) / x ]_ B )
100	99	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( k = ( ( 0 + N ) - n ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> [_ ( k - j ) / x ]_ B = [_ ( ( ( 0 + N ) - n ) - j ) / x ]_ B )
101	97, 100	sumeq12dv 14437	. . . 4 |- ( k = ( ( 0 + N ) - n ) -> sum_ j e. ( 0 ... k ) [_ ( k - j ) / x ]_ B = sum_ j e. ( 0 ... ( ( 0 + N ) - n ) ) [_ ( ( ( 0 + N ) - n ) - j ) / x ]_ B )
102	96, 101	fsumrev2 14514	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... N ) sum_ j e. ( 0 ... k ) [_ ( k - j ) / x ]_ B = sum_ n e. ( 0 ... N ) sum_ j e. ( 0 ... ( ( 0 + N ) - n ) ) [_ ( ( ( 0 + N ) - n ) - j ) / x ]_ B )
103	63, 102	eqtr4d 2659	. 2 |- ( ph -> sum_ j e. ( 0 ... N ) sum_ k e. ( 0 ... ( N - j ) ) [_ k / x ]_ B = sum_ k e. ( 0 ... N ) sum_ j e. ( 0 ... k ) [_ ( k - j ) / x ]_ B )
104		vex 3203	. . . . . 6 |- k e. _V
105	104, 6	csbie 3559	. . . . 5 |- [_ k / x ]_ B = A
106	105	a1i 11	. . . 4 |- ( ( j e. ( 0 ... N ) /\ k e. ( 0 ... ( N - j ) ) ) -> [_ k / x ]_ B = A )
107	106	sumeq2dv 14433	. . 3 |- ( j e. ( 0 ... N ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( N - j ) ) [_ k / x ]_ B = sum_ k e. ( 0 ... ( N - j ) ) A )
108	107	sumeq2i 14429	. 2 |- sum_ j e. ( 0 ... N ) sum_ k e. ( 0 ... ( N - j ) ) [_ k / x ]_ B = sum_ j e. ( 0 ... N ) sum_ k e. ( 0 ... ( N - j ) ) A
109		ovex 6678	. . . . . 6 |- ( k - j ) e. _V
110		fsum0diag2.2	. . . . . 6 |- ( x = ( k - j ) -> B = C )
111	109, 110	csbie 3559	. . . . 5 |- [_ ( k - j ) / x ]_ B = C
112	111	a1i 11	. . . 4 |- ( ( k e. ( 0 ... N ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> [_ ( k - j ) / x ]_ B = C )
113	112	sumeq2dv 14433	. . 3 |- ( k e. ( 0 ... N ) -> sum_ j e. ( 0 ... k ) [_ ( k - j ) / x ]_ B = sum_ j e. ( 0 ... k ) C )
114	113	sumeq2i 14429	. 2 |- sum_ k e. ( 0 ... N ) sum_ j e. ( 0 ... k ) [_ ( k - j ) / x ]_ B = sum_ k e. ( 0 ... N ) sum_ j e. ( 0 ... k ) C
115	103, 108, 114	3eqtr3g 2679	1 |- ( ph -> sum_ j e. ( 0 ... N ) sum_ k e. ( 0 ... ( N - j ) ) A = sum_ k e. ( 0 ... N ) sum_ j e. ( 0 ... k ) C )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   [_csb 3533   C_ wss 3574   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   + caddc 9939   - cmin 10266   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   sum_csu 14416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417

This theorem is referenced by:  mertens  14618  plymullem1  23970