Theorem funcres2b 16557

Description: Condition for a functor to also be a functor into the restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
funcres2b.a	|- A = ( Base ` C )
funcres2b.h	|- H = ( Hom ` C )
funcres2b.r	|- ( ph -> R e. (Subcat ` D ) )
funcres2b.s	|- ( ph -> R Fn ( S X. S ) )
funcres2b.1	|- ( ph -> F : A --> S )
funcres2b.2	|- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( x G y ) : Y --> ( ( F ` x ) R ( F ` y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
funcres2b	|- ( ph -> ( F ( C Func D ) G <-> F ( C Func ( D |`cat R ) ) G ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, C, y   x, D, y   ph, x, y   x, F, y   x, G, y   x, H, y   x, R, y

Allowed substitution hints:   S( x, y)   Y( x, y)

Proof of Theorem funcres2b

Dummy variables f g z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-br 4654	. . . . 5 |- ( F ( C Func D ) G <-> <. F , G >. e. ( C Func D ) )
2		funcrcl 16523	. . . . 5 |- ( <. F , G >. e. ( C Func D ) -> ( C e. Cat /\ D e. Cat ) )
3	1, 2	sylbi 207	. . . 4 |- ( F ( C Func D ) G -> ( C e. Cat /\ D e. Cat ) )
4	3	simpld 475	. . 3 |- ( F ( C Func D ) G -> C e. Cat )
5	4	a1i 11	. 2 |- ( ph -> ( F ( C Func D ) G -> C e. Cat ) )
6		df-br 4654	. . . . 5 |- ( F ( C Func ( D |`cat R ) ) G <-> <. F , G >. e. ( C Func ( D |`cat R ) ) )
7		funcrcl 16523	. . . . 5 |- ( <. F , G >. e. ( C Func ( D |`cat R ) ) -> ( C e. Cat /\ ( D |`cat R ) e. Cat ) )
8	6, 7	sylbi 207	. . . 4 |- ( F ( C Func ( D |`cat R ) ) G -> ( C e. Cat /\ ( D |`cat R ) e. Cat ) )
9	8	simpld 475	. . 3 |- ( F ( C Func ( D |`cat R ) ) G -> C e. Cat )
10	9	a1i 11	. 2 |- ( ph -> ( F ( C Func ( D |`cat R ) ) G -> C e. Cat ) )
11		funcres2b.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : A --> S )
12		funcres2b.r	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> R e. (Subcat ` D ) )
13		funcres2b.s	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> R Fn ( S X. S ) )
14		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` D ) = ( Base ` D )
15	12, 13, 14	subcss1 16502	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S C_ ( Base ` D ) )
16	11, 15	fssd 6057	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : A --> ( Base ` D ) )
17		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( D |`cat R ) = ( D |`cat R )
18		subcrcl 16476	. . . . . . . . . . 11 |- ( R e. (Subcat ` D ) -> D e. Cat )
19	12, 18	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> D e. Cat )
20	17, 14, 19, 13, 15	rescbas 16489	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S = ( Base ` ( D |`cat R ) ) )
21	20	feq3d 6032	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F : A --> S <-> F : A --> ( Base ` ( D |`cat R ) ) ) )
22	11, 21	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : A --> ( Base ` ( D |`cat R ) ) )
23	16, 22	2thd 255	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F : A --> ( Base ` D ) <-> F : A --> ( Base ` ( D |`cat R ) ) ) )
24	23	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C e. Cat ) -> ( F : A --> ( Base ` D ) <-> F : A --> ( Base ` ( D |`cat R ) ) ) )
25		funcres2b.2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( x G y ) : Y --> ( ( F ` x ) R ( F ` y ) ) )
26	25	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ C e. Cat ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( x G y ) : Y --> ( ( F ` x ) R ( F ` y ) ) )
27		frn 6053	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x G y ) : Y --> ( ( F ` x ) R ( F ` y ) ) -> ran ( x G y ) C_ ( ( F ` x ) R ( F ` y ) ) )
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ C e. Cat ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ran ( x G y ) C_ ( ( F ` x ) R ( F ` y ) ) )
29	12	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ C e. Cat ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> R e. (Subcat ` D ) )
30	13	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ C e. Cat ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> R Fn ( S X. S ) )
31		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Hom ` D ) = ( Hom ` D )
32	11	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ C e. Cat ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> F : A --> S )
33		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ C e. Cat ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> x e. A )
34	32, 33	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ C e. Cat ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( F ` x ) e. S )
35		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ C e. Cat ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> y e. A )
36	32, 35	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ C e. Cat ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( F ` y ) e. S )
37	29, 30, 31, 34, 36	subcss2 16503	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ C e. Cat ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( F ` x ) R ( F ` y ) ) C_ ( ( F ` x ) ( Hom ` D ) ( F ` y ) ) )
38	28, 37	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ C e. Cat ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ran ( x G y ) C_ ( ( F ` x ) ( Hom ` D ) ( F ` y ) ) )
39	38, 28	2thd 255	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ C e. Cat ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ran ( x G y ) C_ ( ( F ` x ) ( Hom ` D ) ( F ` y ) ) <-> ran ( x G y ) C_ ( ( F ` x ) R ( F ` y ) ) ) )
40	39	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ C e. Cat ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( ( x G y ) Fn ( x H y ) /\ ran ( x G y ) C_ ( ( F ` x ) ( Hom ` D ) ( F ` y ) ) ) <-> ( ( x G y ) Fn ( x H y ) /\ ran ( x G y ) C_ ( ( F ` x ) R ( F ` y ) ) ) ) )
41		df-f 5892	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F ` x ) ( Hom ` D ) ( F ` y ) ) <-> ( ( x G y ) Fn ( x H y ) /\ ran ( x G y ) C_ ( ( F ` x ) ( Hom ` D ) ( F ` y ) ) ) )
42		df-f 5892	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F ` x ) R ( F ` y ) ) <-> ( ( x G y ) Fn ( x H y ) /\ ran ( x G y ) C_ ( ( F ` x ) R ( F ` y ) ) ) )
43	40, 41, 42	3bitr4g 303	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ C e. Cat ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F ` x ) ( Hom ` D ) ( F ` y ) ) <-> ( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F ` x ) R ( F ` y ) ) ) )
44	17, 14, 19, 13, 15	reschom 16490	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> R = ( Hom ` ( D |`cat R ) ) )
45	44	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ C e. Cat ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> R = ( Hom ` ( D |`cat R ) ) )
46	45	oveqd 6667	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ C e. Cat ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( F ` x ) R ( F ` y ) ) = ( ( F ` x ) ( Hom ` ( D |`cat R ) ) ( F ` y ) ) )
47	46	feq3d 6032	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ C e. Cat ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F ` x ) R ( F ` y ) ) <-> ( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F ` x ) ( Hom ` ( D |`cat R ) ) ( F ` y ) ) ) )
48	43, 47	bitrd 268	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ C e. Cat ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F ` x ) ( Hom ` D ) ( F ` y ) ) <-> ( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F ` x ) ( Hom ` ( D |`cat R ) ) ( F ` y ) ) ) )
49	48	ralrimivva 2971	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ C e. Cat ) -> A. x e. A A. y e. A ( ( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F ` x ) ( Hom ` D ) ( F ` y ) ) <-> ( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F ` x ) ( Hom ` ( D |`cat R ) ) ( F ` y ) ) ) )
50		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = <. x , y >. -> ( G ` z ) = ( G ` <. x , y >. ) )
51		df-ov 6653	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x G y ) = ( G ` <. x , y >. )
52	50, 51	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = <. x , y >. -> ( G ` z ) = ( x G y ) )
53		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- x e. _V
54		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- y e. _V
55	53, 54	op1std 7178	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = <. x , y >. -> ( 1st ` z ) = x )
56	55	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = <. x , y >. -> ( F ` ( 1st ` z ) ) = ( F ` x ) )
57	53, 54	op2ndd 7179	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = <. x , y >. -> ( 2nd ` z ) = y )
58	57	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = <. x , y >. -> ( F ` ( 2nd ` z ) ) = ( F ` y ) )
59	56, 58	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = <. x , y >. -> ( ( F ` ( 1st ` z ) ) ( Hom ` D ) ( F ` ( 2nd ` z ) ) ) = ( ( F ` x ) ( Hom ` D ) ( F ` y ) ) )
60		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = <. x , y >. -> ( H ` z ) = ( H ` <. x , y >. ) )
61		df-ov 6653	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x H y ) = ( H ` <. x , y >. )
62	60, 61	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = <. x , y >. -> ( H ` z ) = ( x H y ) )
63	59, 62	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = <. x , y >. -> ( ( ( F ` ( 1st ` z ) ) ( Hom ` D ) ( F ` ( 2nd ` z ) ) ) ^m ( H ` z ) ) = ( ( ( F ` x ) ( Hom ` D ) ( F ` y ) ) ^m ( x H y ) ) )
64	52, 63	eleq12d 2695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = <. x , y >. -> ( ( G ` z ) e. ( ( ( F ` ( 1st ` z ) ) ( Hom ` D ) ( F ` ( 2nd ` z ) ) ) ^m ( H ` z ) ) <-> ( x G y ) e. ( ( ( F ` x ) ( Hom ` D ) ( F ` y ) ) ^m ( x H y ) ) ) )
65		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` x ) ( Hom ` D ) ( F ` y ) ) e. _V
66		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x H y ) e. _V
67	65, 66	elmap 7886	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x G y ) e. ( ( ( F ` x ) ( Hom ` D ) ( F ` y ) ) ^m ( x H y ) ) <-> ( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F ` x ) ( Hom ` D ) ( F ` y ) ) )
68	64, 67	syl6bb 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = <. x , y >. -> ( ( G ` z ) e. ( ( ( F ` ( 1st ` z ) ) ( Hom ` D ) ( F ` ( 2nd ` z ) ) ) ^m ( H ` z ) ) <-> ( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F ` x ) ( Hom ` D ) ( F ` y ) ) ) )
69	56, 58	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = <. x , y >. -> ( ( F ` ( 1st ` z ) ) ( Hom ` ( D |`cat R ) ) ( F ` ( 2nd ` z ) ) ) = ( ( F ` x ) ( Hom ` ( D |`cat R ) ) ( F ` y ) ) )
70	69, 62	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = <. x , y >. -> ( ( ( F ` ( 1st ` z ) ) ( Hom ` ( D |`cat R ) ) ( F ` ( 2nd ` z ) ) ) ^m ( H ` z ) ) = ( ( ( F ` x ) ( Hom ` ( D |`cat R ) ) ( F ` y ) ) ^m ( x H y ) ) )
71	52, 70	eleq12d 2695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = <. x , y >. -> ( ( G ` z ) e. ( ( ( F ` ( 1st ` z ) ) ( Hom ` ( D |`cat R ) ) ( F ` ( 2nd ` z ) ) ) ^m ( H ` z ) ) <-> ( x G y ) e. ( ( ( F ` x ) ( Hom ` ( D |`cat R ) ) ( F ` y ) ) ^m ( x H y ) ) ) )
72		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` x ) ( Hom ` ( D |`cat R ) ) ( F ` y ) ) e. _V
73	72, 66	elmap 7886	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x G y ) e. ( ( ( F ` x ) ( Hom ` ( D |`cat R ) ) ( F ` y ) ) ^m ( x H y ) ) <-> ( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F ` x ) ( Hom ` ( D |`cat R ) ) ( F ` y ) ) )
74	71, 73	syl6bb 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = <. x , y >. -> ( ( G ` z ) e. ( ( ( F ` ( 1st ` z ) ) ( Hom ` ( D |`cat R ) ) ( F ` ( 2nd ` z ) ) ) ^m ( H ` z ) ) <-> ( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F ` x ) ( Hom ` ( D |`cat R ) ) ( F ` y ) ) ) )
75	68, 74	bibi12d 335	. . . . . . . . . 10 |- ( z = <. x , y >. -> ( ( ( G ` z ) e. ( ( ( F ` ( 1st ` z ) ) ( Hom ` D ) ( F ` ( 2nd ` z ) ) ) ^m ( H ` z ) ) <-> ( G ` z ) e. ( ( ( F ` ( 1st ` z ) ) ( Hom ` ( D |`cat R ) ) ( F ` ( 2nd ` z ) ) ) ^m ( H ` z ) ) ) <-> ( ( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F ` x ) ( Hom ` D ) ( F ` y ) ) <-> ( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F ` x ) ( Hom ` ( D |`cat R ) ) ( F ` y ) ) ) ) )
76	75	ralxp 5263	. . . . . . . . 9 |- ( A. z e. ( A X. A ) ( ( G ` z ) e. ( ( ( F ` ( 1st ` z ) ) ( Hom ` D ) ( F ` ( 2nd ` z ) ) ) ^m ( H ` z ) ) <-> ( G ` z ) e. ( ( ( F ` ( 1st ` z ) ) ( Hom ` ( D |`cat R ) ) ( F ` ( 2nd ` z ) ) ) ^m ( H ` z ) ) ) <-> A. x e. A A. y e. A ( ( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F ` x ) ( Hom ` D ) ( F ` y ) ) <-> ( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F ` x ) ( Hom ` ( D |`cat R ) ) ( F ` y ) ) ) )
77	49, 76	sylibr 224	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ C e. Cat ) -> A. z e. ( A X. A ) ( ( G ` z ) e. ( ( ( F ` ( 1st ` z ) ) ( Hom ` D ) ( F ` ( 2nd ` z ) ) ) ^m ( H ` z ) ) <-> ( G ` z ) e. ( ( ( F ` ( 1st ` z ) ) ( Hom ` ( D |`cat R ) ) ( F ` ( 2nd ` z ) ) ) ^m ( H ` z ) ) ) )
78		ralbi 3068	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. ( A X. A ) ( ( G ` z ) e. ( ( ( F ` ( 1st ` z ) ) ( Hom ` D ) ( F ` ( 2nd ` z ) ) ) ^m ( H ` z ) ) <-> ( G ` z ) e. ( ( ( F ` ( 1st ` z ) ) ( Hom ` ( D |`cat R ) ) ( F ` ( 2nd ` z ) ) ) ^m ( H ` z ) ) ) -> ( A. z e. ( A X. A ) ( G ` z ) e. ( ( ( F ` ( 1st ` z ) ) ( Hom ` D ) ( F ` ( 2nd ` z ) ) ) ^m ( H ` z ) ) <-> A. z e. ( A X. A ) ( G ` z ) e. ( ( ( F ` ( 1st ` z ) ) ( Hom ` ( D |`cat R ) ) ( F ` ( 2nd ` z ) ) ) ^m ( H ` z ) ) ) )
79	77, 78	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ C e. Cat ) -> ( A. z e. ( A X. A ) ( G ` z ) e. ( ( ( F ` ( 1st ` z ) ) ( Hom ` D ) ( F ` ( 2nd ` z ) ) ) ^m ( H ` z ) ) <-> A. z e. ( A X. A ) ( G ` z ) e. ( ( ( F ` ( 1st ` z ) ) ( Hom ` ( D |`cat R ) ) ( F ` ( 2nd ` z ) ) ) ^m ( H ` z ) ) ) )
80	79	3anbi3d 1405	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ C e. Cat ) -> ( ( G e. _V /\ G Fn ( A X. A ) /\ A. z e. ( A X. A ) ( G ` z ) e. ( ( ( F ` ( 1st ` z ) ) ( Hom ` D ) ( F ` ( 2nd ` z ) ) ) ^m ( H ` z ) ) ) <-> ( G e. _V /\ G Fn ( A X. A ) /\ A. z e. ( A X. A ) ( G ` z ) e. ( ( ( F ` ( 1st ` z ) ) ( Hom ` ( D |`cat R ) ) ( F ` ( 2nd ` z ) ) ) ^m ( H ` z ) ) ) ) )
81		elixp2 7912	. . . . . 6 |- ( G e. X_ z e. ( A X. A ) ( ( ( F ` ( 1st ` z ) ) ( Hom ` D ) ( F ` ( 2nd ` z ) ) ) ^m ( H ` z ) ) <-> ( G e. _V /\ G Fn ( A X. A ) /\ A. z e. ( A X. A ) ( G ` z ) e. ( ( ( F ` ( 1st ` z ) ) ( Hom ` D ) ( F ` ( 2nd ` z ) ) ) ^m ( H ` z ) ) ) )
82		elixp2 7912	. . . . . 6 |- ( G e. X_ z e. ( A X. A ) ( ( ( F ` ( 1st ` z ) ) ( Hom ` ( D |`cat R ) ) ( F ` ( 2nd ` z ) ) ) ^m ( H ` z ) ) <-> ( G e. _V /\ G Fn ( A X. A ) /\ A. z e. ( A X. A ) ( G ` z ) e. ( ( ( F ` ( 1st ` z ) ) ( Hom ` ( D |`cat R ) ) ( F ` ( 2nd ` z ) ) ) ^m ( H ` z ) ) ) )
83	80, 81, 82	3bitr4g 303	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C e. Cat ) -> ( G e. X_ z e. ( A X. A ) ( ( ( F ` ( 1st ` z ) ) ( Hom ` D ) ( F ` ( 2nd ` z ) ) ) ^m ( H ` z ) ) <-> G e. X_ z e. ( A X. A ) ( ( ( F ` ( 1st ` z ) ) ( Hom ` ( D |`cat R ) ) ( F ` ( 2nd ` z ) ) ) ^m ( H ` z ) ) ) )
84	12	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ C e. Cat ) /\ x e. A ) -> R e. (Subcat ` D ) )
85	13	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ C e. Cat ) /\ x e. A ) -> R Fn ( S X. S ) )
86		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( Id ` D ) = ( Id ` D )
87	11	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ C e. Cat ) -> F : A --> S )
88	87	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ C e. Cat ) /\ x e. A ) -> ( F ` x ) e. S )
89	17, 84, 85, 86, 88	subcid 16507	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ C e. Cat ) /\ x e. A ) -> ( ( Id ` D ) ` ( F ` x ) ) = ( ( Id ` ( D |`cat R ) ) ` ( F ` x ) ) )
90	89	eqeq2d 2632	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ C e. Cat ) /\ x e. A ) -> ( ( ( x G x ) ` ( ( Id ` C ) ` x ) ) = ( ( Id ` D ) ` ( F ` x ) ) <-> ( ( x G x ) ` ( ( Id ` C ) ` x ) ) = ( ( Id ` ( D |`cat R ) ) ` ( F ` x ) ) ) )
91		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (comp ` D ) = (comp ` D )
92	17, 14, 19, 13, 15, 91	rescco 16492	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> (comp ` D ) = (comp ` ( D |`cat R ) ) )
93	92	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ C e. Cat ) /\ x e. A ) -> (comp ` D ) = (comp ` ( D |`cat R ) ) )
94	93	oveqd 6667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ C e. Cat ) /\ x e. A ) -> ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. (comp ` D ) ( F ` z ) ) = ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. (comp ` ( D |`cat R ) ) ( F ` z ) ) )
95	94	oveqd 6667	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ C e. Cat ) /\ x e. A ) -> ( ( ( y G z ) ` g ) ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. (comp ` D ) ( F ` z ) ) ( ( x G y ) ` f ) ) = ( ( ( y G z ) ` g ) ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. (comp ` ( D |`cat R ) ) ( F ` z ) ) ( ( x G y ) ` f ) ) )
96	95	eqeq2d 2632	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ C e. Cat ) /\ x e. A ) -> ( ( ( x G z ) ` ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) ) = ( ( ( y G z ) ` g ) ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. (comp ` D ) ( F ` z ) ) ( ( x G y ) ` f ) ) <-> ( ( x G z ) ` ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) ) = ( ( ( y G z ) ` g ) ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. (comp ` ( D |`cat R ) ) ( F ` z ) ) ( ( x G y ) ` f ) ) ) )
97	96	2ralbidv 2989	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ C e. Cat ) /\ x e. A ) -> ( A. f e. ( x H y ) A. g e. ( y H z ) ( ( x G z ) ` ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) ) = ( ( ( y G z ) ` g ) ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. (comp ` D ) ( F ` z ) ) ( ( x G y ) ` f ) ) <-> A. f e. ( x H y ) A. g e. ( y H z ) ( ( x G z ) ` ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) ) = ( ( ( y G z ) ` g ) ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. (comp ` ( D |`cat R ) ) ( F ` z ) ) ( ( x G y ) ` f ) ) ) )
98	97	2ralbidv 2989	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ C e. Cat ) /\ x e. A ) -> ( A. y e. A A. z e. A A. f e. ( x H y ) A. g e. ( y H z ) ( ( x G z ) ` ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) ) = ( ( ( y G z ) ` g ) ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. (comp ` D ) ( F ` z ) ) ( ( x G y ) ` f ) ) <-> A. y e. A A. z e. A A. f e. ( x H y ) A. g e. ( y H z ) ( ( x G z ) ` ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) ) = ( ( ( y G z ) ` g ) ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. (comp ` ( D |`cat R ) ) ( F ` z ) ) ( ( x G y ) ` f ) ) ) )
99	90, 98	anbi12d 747	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ C e. Cat ) /\ x e. A ) -> ( ( ( ( x G x ) ` ( ( Id ` C ) ` x ) ) = ( ( Id ` D ) ` ( F ` x ) ) /\ A. y e. A A. z e. A A. f e. ( x H y ) A. g e. ( y H z ) ( ( x G z ) ` ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) ) = ( ( ( y G z ) ` g ) ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. (comp ` D ) ( F ` z ) ) ( ( x G y ) ` f ) ) ) <-> ( ( ( x G x ) ` ( ( Id ` C ) ` x ) ) = ( ( Id ` ( D |`cat R ) ) ` ( F ` x ) ) /\ A. y e. A A. z e. A A. f e. ( x H y ) A. g e. ( y H z ) ( ( x G z ) ` ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) ) = ( ( ( y G z ) ` g ) ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. (comp ` ( D |`cat R ) ) ( F ` z ) ) ( ( x G y ) ` f ) ) ) ) )
100	99	ralbidva 2985	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C e. Cat ) -> ( A. x e. A ( ( ( x G x ) ` ( ( Id ` C ) ` x ) ) = ( ( Id ` D ) ` ( F ` x ) ) /\ A. y e. A A. z e. A A. f e. ( x H y ) A. g e. ( y H z ) ( ( x G z ) ` ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) ) = ( ( ( y G z ) ` g ) ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. (comp ` D ) ( F ` z ) ) ( ( x G y ) ` f ) ) ) <-> A. x e. A ( ( ( x G x ) ` ( ( Id ` C ) ` x ) ) = ( ( Id ` ( D |`cat R ) ) ` ( F ` x ) ) /\ A. y e. A A. z e. A A. f e. ( x H y ) A. g e. ( y H z ) ( ( x G z ) ` ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) ) = ( ( ( y G z ) ` g ) ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. (comp ` ( D |`cat R ) ) ( F ` z ) ) ( ( x G y ) ` f ) ) ) ) )
101	24, 83, 100	3anbi123d 1399	. . . 4 |- ( ( ph /\ C e. Cat ) -> ( ( F : A --> ( Base ` D ) /\ G e. X_ z e. ( A X. A ) ( ( ( F ` ( 1st ` z ) ) ( Hom ` D ) ( F ` ( 2nd ` z ) ) ) ^m ( H ` z ) ) /\ A. x e. A ( ( ( x G x ) ` ( ( Id ` C ) ` x ) ) = ( ( Id ` D ) ` ( F ` x ) ) /\ A. y e. A A. z e. A A. f e. ( x H y ) A. g e. ( y H z ) ( ( x G z ) ` ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) ) = ( ( ( y G z ) ` g ) ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. (comp ` D ) ( F ` z ) ) ( ( x G y ) ` f ) ) ) ) <-> ( F : A --> ( Base ` ( D |`cat R ) ) /\ G e. X_ z e. ( A X. A ) ( ( ( F ` ( 1st ` z ) ) ( Hom ` ( D |`cat R ) ) ( F ` ( 2nd ` z ) ) ) ^m ( H ` z ) ) /\ A. x e. A ( ( ( x G x ) ` ( ( Id ` C ) ` x ) ) = ( ( Id ` ( D |`cat R ) ) ` ( F ` x ) ) /\ A. y e. A A. z e. A A. f e. ( x H y ) A. g e. ( y H z ) ( ( x G z ) ` ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) ) = ( ( ( y G z ) ` g ) ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. (comp ` ( D |`cat R ) ) ( F ` z ) ) ( ( x G y ) ` f ) ) ) ) ) )
102		funcres2b.a	. . . . 5 |- A = ( Base ` C )
103		funcres2b.h	. . . . 5 |- H = ( Hom ` C )
104		eqid 2622	. . . . 5 |- ( Id ` C ) = ( Id ` C )
105		eqid 2622	. . . . 5 |- (comp ` C ) = (comp ` C )
106		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C e. Cat ) -> C e. Cat )
107	19	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C e. Cat ) -> D e. Cat )
108	102, 14, 103, 31, 104, 86, 105, 91, 106, 107	isfunc 16524	. . . 4 |- ( ( ph /\ C e. Cat ) -> ( F ( C Func D ) G <-> ( F : A --> ( Base ` D ) /\ G e. X_ z e. ( A X. A ) ( ( ( F ` ( 1st ` z ) ) ( Hom ` D ) ( F ` ( 2nd ` z ) ) ) ^m ( H ` z ) ) /\ A. x e. A ( ( ( x G x ) ` ( ( Id ` C ) ` x ) ) = ( ( Id ` D ) ` ( F ` x ) ) /\ A. y e. A A. z e. A A. f e. ( x H y ) A. g e. ( y H z ) ( ( x G z ) ` ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) ) = ( ( ( y G z ) ` g ) ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. (comp ` D ) ( F ` z ) ) ( ( x G y ) ` f ) ) ) ) ) )
109		eqid 2622	. . . . 5 |- ( Base ` ( D |`cat R ) ) = ( Base ` ( D |`cat R ) )
110		eqid 2622	. . . . 5 |- ( Hom ` ( D |`cat R ) ) = ( Hom ` ( D |`cat R ) )
111		eqid 2622	. . . . 5 |- ( Id ` ( D |`cat R ) ) = ( Id ` ( D |`cat R ) )
112		eqid 2622	. . . . 5 |- (comp ` ( D |`cat R ) ) = (comp ` ( D |`cat R ) )
113	17, 12	subccat 16508	. . . . . 6 |- ( ph -> ( D |`cat R ) e. Cat )
114	113	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C e. Cat ) -> ( D |`cat R ) e. Cat )
115	102, 109, 103, 110, 104, 111, 105, 112, 106, 114	isfunc 16524	. . . 4 |- ( ( ph /\ C e. Cat ) -> ( F ( C Func ( D |`cat R ) ) G <-> ( F : A --> ( Base ` ( D |`cat R ) ) /\ G e. X_ z e. ( A X. A ) ( ( ( F ` ( 1st ` z ) ) ( Hom ` ( D |`cat R ) ) ( F ` ( 2nd ` z ) ) ) ^m ( H ` z ) ) /\ A. x e. A ( ( ( x G x ) ` ( ( Id ` C ) ` x ) ) = ( ( Id ` ( D |`cat R ) ) ` ( F ` x ) ) /\ A. y e. A A. z e. A A. f e. ( x H y ) A. g e. ( y H z ) ( ( x G z ) ` ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) ) = ( ( ( y G z ) ` g ) ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. (comp ` ( D |`cat R ) ) ( F ` z ) ) ( ( x G y ) ` f ) ) ) ) ) )
116	101, 108, 115	3bitr4d 300	. . 3 |- ( ( ph /\ C e. Cat ) -> ( F ( C Func D ) G <-> F ( C Func ( D |`cat R ) ) G ) )
117	116	ex 450	. 2 |- ( ph -> ( C e. Cat -> ( F ( C Func D ) G <-> F ( C Func ( D |`cat R ) ) G ) ) )
118	5, 10, 117	pm5.21ndd 369	1 |- ( ph -> ( F ( C Func D ) G <-> F ( C Func ( D |`cat R ) ) G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   <.cop 4183   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   ran crn 5115   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1stc1st 7166   2ndc2nd 7167   ^m cmap 7857   X_cixp 7908   Basecbs 15857   Hom chom 15952  compcco 15953   Catccat 16325   Idccid 16326   |`_cat cresc 16468  Subcatcsubc 16469   Func cfunc 16514

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-hom 15966  df-cco 15967  df-cat 16329  df-cid 16330  df-homf 16331  df-ssc 16470  df-resc 16471  df-subc 16472  df-func 16518

This theorem is referenced by:  funcres2  16558  funcres2c  16561  fthres2b  16590