Theorem funcsetcestrclem8 16802

Description: Lemma 8 for funcsetcestrc 16804. (Contributed by AV, 28-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
funcsetcestrc.s	|- S = ( SetCat ` U )
funcsetcestrc.c	|- C = ( Base ` S )
funcsetcestrc.f	|- ( ph -> F = ( x e. C |-> { <. ( Base ` ndx ) , x >. } ) )
funcsetcestrc.u	|- ( ph -> U e. WUni )
funcsetcestrc.o	|- ( ph -> om e. U )
funcsetcestrc.g	|- ( ph -> G = ( x e. C , y e. C |-> ( _I |` ( y ^m x ) ) ) )
funcsetcestrc.e	|- E = (ExtStrCat ` U )

Assertion

Ref	Expression
funcsetcestrclem8	|- ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C ) ) -> ( X G Y ) : ( X ( Hom ` S ) Y ) --> ( ( F ` X ) ( Hom ` E ) ( F ` Y ) ) )

Distinct variable groups:   x, C   x, X   ph, x   y, C, x   y, X   x, Y, y   ph, y

Allowed substitution hints:   S( x, y)   U( x, y)   E( x, y)   F( x, y)   G( x, y)

Proof of Theorem funcsetcestrclem8

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oi 6174	. . . 4 |- ( _I |` ( Y ^m X ) ) : ( Y ^m X ) -1-1-onto-> ( Y ^m X )
2		f1of 6137	. . . 4 |- ( ( _I |` ( Y ^m X ) ) : ( Y ^m X ) -1-1-onto-> ( Y ^m X ) -> ( _I |` ( Y ^m X ) ) : ( Y ^m X ) --> ( Y ^m X ) )
3	1, 2	mp1i 13	. . 3 |- ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C ) ) -> ( _I |` ( Y ^m X ) ) : ( Y ^m X ) --> ( Y ^m X ) )
4		elmapi 7879	. . . . 5 |- ( f e. ( Y ^m X ) -> f : X --> Y )
5		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C ) ) -> ( X e. C /\ Y e. C ) )
6	5	ancomd 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C ) ) -> ( Y e. C /\ X e. C ) )
7		elmapg 7870	. . . . . . . . 9 |- ( ( Y e. C /\ X e. C ) -> ( f e. ( Y ^m X ) <-> f : X --> Y ) )
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C ) ) -> ( f e. ( Y ^m X ) <-> f : X --> Y ) )
9	8	biimpar 502	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C ) ) /\ f : X --> Y ) -> f e. ( Y ^m X ) )
10		funcsetcestrc.s	. . . . . . . . . . . . 13 |- S = ( SetCat ` U )
11		funcsetcestrc.c	. . . . . . . . . . . . 13 |- C = ( Base ` S )
12		funcsetcestrc.f	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> F = ( x e. C |-> { <. ( Base ` ndx ) , x >. } ) )
13	10, 11, 12	funcsetcestrclem1 16794	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ Y e. C ) -> ( F ` Y ) = { <. ( Base ` ndx ) , Y >. } )
14	13	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ Y e. C ) -> ( Base ` ( F ` Y ) ) = ( Base ` { <. ( Base ` ndx ) , Y >. } ) )
15		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { <. ( Base ` ndx ) , Y >. } = { <. ( Base ` ndx ) , Y >. }
16	15	1strbas 15980	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Y e. C -> Y = ( Base ` { <. ( Base ` ndx ) , Y >. } ) )
17	16	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Y e. C -> ( Base ` { <. ( Base ` ndx ) , Y >. } ) = Y )
18	17	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ Y e. C ) -> ( Base ` { <. ( Base ` ndx ) , Y >. } ) = Y )
19	14, 18	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ Y e. C ) -> ( Base ` ( F ` Y ) ) = Y )
20	19	adantrl 752	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C ) ) -> ( Base ` ( F ` Y ) ) = Y )
21	10, 11, 12	funcsetcestrclem1 16794	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( F ` X ) = { <. ( Base ` ndx ) , X >. } )
22	21	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( Base ` ( F ` X ) ) = ( Base ` { <. ( Base ` ndx ) , X >. } ) )
23		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- { <. ( Base ` ndx ) , X >. } = { <. ( Base ` ndx ) , X >. }
24	23	1strbas 15980	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. C -> X = ( Base ` { <. ( Base ` ndx ) , X >. } ) )
25	24	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> X = ( Base ` { <. ( Base ` ndx ) , X >. } ) )
26	22, 25	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( Base ` ( F ` X ) ) = X )
27	26	adantrr 753	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C ) ) -> ( Base ` ( F ` X ) ) = X )
28	20, 27	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C ) ) -> ( ( Base ` ( F ` Y ) ) ^m ( Base ` ( F ` X ) ) ) = ( Y ^m X ) )
29	28	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C ) ) /\ f : X --> Y ) -> ( ( Base ` ( F ` Y ) ) ^m ( Base ` ( F ` X ) ) ) = ( Y ^m X ) )
30	9, 29	eleqtrrd 2704	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C ) ) /\ f : X --> Y ) -> f e. ( ( Base ` ( F ` Y ) ) ^m ( Base ` ( F ` X ) ) ) )
31	30	ex 450	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C ) ) -> ( f : X --> Y -> f e. ( ( Base ` ( F ` Y ) ) ^m ( Base ` ( F ` X ) ) ) ) )
32	4, 31	syl5 34	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C ) ) -> ( f e. ( Y ^m X ) -> f e. ( ( Base ` ( F ` Y ) ) ^m ( Base ` ( F ` X ) ) ) ) )
33	32	ssrdv 3609	. . 3 |- ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C ) ) -> ( Y ^m X ) C_ ( ( Base ` ( F ` Y ) ) ^m ( Base ` ( F ` X ) ) ) )
34	3, 33	fssd 6057	. 2 |- ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C ) ) -> ( _I |` ( Y ^m X ) ) : ( Y ^m X ) --> ( ( Base ` ( F ` Y ) ) ^m ( Base ` ( F ` X ) ) ) )
35		funcsetcestrc.u	. . . 4 |- ( ph -> U e. WUni )
36		funcsetcestrc.o	. . . 4 |- ( ph -> om e. U )
37		funcsetcestrc.g	. . . 4 |- ( ph -> G = ( x e. C , y e. C |-> ( _I |` ( y ^m x ) ) ) )
38	10, 11, 12, 35, 36, 37	funcsetcestrclem5 16799	. . 3 |- ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C ) ) -> ( X G Y ) = ( _I |` ( Y ^m X ) ) )
39	35	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C ) ) -> U e. WUni )
40		eqid 2622	. . . 4 |- ( Hom ` S ) = ( Hom ` S )
41	10, 35	setcbas 16728	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> U = ( Base ` S ) )
42	41, 11	syl6reqr 2675	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C = U )
43	42	eleq2d 2687	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( X e. C <-> X e. U ) )
44	43	biimpd 219	. . . . . 6 |- ( ph -> ( X e. C -> X e. U ) )
45	44	adantrd 484	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( X e. C /\ Y e. C ) -> X e. U ) )
46	45	imp 445	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C ) ) -> X e. U )
47	42	eleq2d 2687	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Y e. C <-> Y e. U ) )
48	47	biimpd 219	. . . . . 6 |- ( ph -> ( Y e. C -> Y e. U ) )
49	48	adantld 483	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( X e. C /\ Y e. C ) -> Y e. U ) )
50	49	imp 445	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C ) ) -> Y e. U )
51	10, 39, 40, 46, 50	setchom 16730	. . 3 |- ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C ) ) -> ( X ( Hom ` S ) Y ) = ( Y ^m X ) )
52		funcsetcestrc.e	. . . 4 |- E = (ExtStrCat ` U )
53		eqid 2622	. . . 4 |- ( Hom ` E ) = ( Hom ` E )
54	10, 11, 12, 35, 36	funcsetcestrclem2 16795	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( F ` X ) e. U )
55	54	adantrr 753	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C ) ) -> ( F ` X ) e. U )
56	10, 11, 12, 35, 36	funcsetcestrclem2 16795	. . . . 5 |- ( ( ph /\ Y e. C ) -> ( F ` Y ) e. U )
57	56	adantrl 752	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C ) ) -> ( F ` Y ) e. U )
58		eqid 2622	. . . 4 |- ( Base ` ( F ` X ) ) = ( Base ` ( F ` X ) )
59		eqid 2622	. . . 4 |- ( Base ` ( F ` Y ) ) = ( Base ` ( F ` Y ) )
60	52, 39, 53, 55, 57, 58, 59	estrchom 16767	. . 3 |- ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C ) ) -> ( ( F ` X ) ( Hom ` E ) ( F ` Y ) ) = ( ( Base ` ( F ` Y ) ) ^m ( Base ` ( F ` X ) ) ) )
61	38, 51, 60	feq123d 6034	. 2 |- ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C ) ) -> ( ( X G Y ) : ( X ( Hom ` S ) Y ) --> ( ( F ` X ) ( Hom ` E ) ( F ` Y ) ) <-> ( _I |` ( Y ^m X ) ) : ( Y ^m X ) --> ( ( Base ` ( F ` Y ) ) ^m ( Base ` ( F ` X ) ) ) ) )
62	34, 61	mpbird 247	1 |- ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C ) ) -> ( X G Y ) : ( X ( Hom ` S ) Y ) --> ( ( F ` X ) ( Hom ` E ) ( F ` Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {csn 4177   <.cop 4183   |-> cmpt 4729   _I cid 5023   |` cres 5116   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   omcom 7065   ^m cmap 7857  WUnicwun 9522   ndxcnx 15854   Basecbs 15857   Hom chom 15952   SetCatcsetc 16725  ExtStrCatcestrc 16762

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-wun 9524  df-ni 9694  df-pli 9695  df-mi 9696  df-lti 9697  df-plpq 9730  df-mpq 9731  df-ltpq 9732  df-enq 9733  df-nq 9734  df-erq 9735  df-plq 9736  df-mq 9737  df-1nq 9738  df-rq 9739  df-ltnq 9740  df-np 9803  df-plp 9805  df-ltp 9807  df-enr 9877  df-nr 9878  df-c 9942  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-hom 15966  df-cco 15967  df-setc 16726  df-estrc 16763

This theorem is referenced by:  funcsetcestrc  16804  fthsetcestrc  16805  fullsetcestrc  16806