Theorem gsumvsca1 29782

Description: Scalar product of a finite group sum for a left module over a semiring. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Mar-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumvsca.b	|- B = ( Base ` W )
gsumvsca.g	|- G = (Scalar ` W )
gsumvsca.z	|- .0. = ( 0g ` W )
gsumvsca.t	|- .x. = ( .s ` W )
gsumvsca.p	|- .+ = ( +g ` W )
gsumvsca.k	|- ( ph -> K C_ ( Base ` G ) )
gsumvsca.a	|- ( ph -> A e. Fin )
gsumvsca.w	|- ( ph -> W e. SLMod )
gsumvsca1.n	|- ( ph -> P e. K )
gsumvsca1.c	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> Q e. B )

Assertion

Ref	Expression
gsumvsca1	|- ( ph -> ( W gsumg ( k e. A |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( P .x. ( W gsumg ( k e. A |-> Q ) ) ) )

Distinct variable groups:   .x. , k   A, k   k, W   ph, k   B, k   P, k

Allowed substitution hints:   .+ ( k)   Q( k)   G( k)   K( k)   .0. ( k)

Proof of Theorem gsumvsca1

Dummy variables e a z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumvsca.a	. 2 |- ( ph -> A e. Fin )
2		ssid 3624	. . 3 |- A C_ A
3		sseq1 3626	. . . . . . 7 |- ( a = (/) -> ( a C_ A <-> (/) C_ A ) )
4	3	anbi2d 740	. . . . . 6 |- ( a = (/) -> ( ( ph /\ a C_ A ) <-> ( ph /\ (/) C_ A ) ) )
5		mpteq1 4737	. . . . . . . 8 |- ( a = (/) -> ( k e. a |-> ( P .x. Q ) ) = ( k e. (/) |-> ( P .x. Q ) ) )
6	5	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( a = (/) -> ( W gsumg ( k e. a |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( W gsumg ( k e. (/) |-> ( P .x. Q ) ) ) )
7		mpteq1 4737	. . . . . . . . 9 |- ( a = (/) -> ( k e. a |-> Q ) = ( k e. (/) |-> Q ) )
8	7	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( a = (/) -> ( W gsumg ( k e. a |-> Q ) ) = ( W gsumg ( k e. (/) |-> Q ) ) )
9	8	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( a = (/) -> ( P .x. ( W gsumg ( k e. a |-> Q ) ) ) = ( P .x. ( W gsumg ( k e. (/) |-> Q ) ) ) )
10	6, 9	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( a = (/) -> ( ( W gsumg ( k e. a |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( P .x. ( W gsumg ( k e. a |-> Q ) ) ) <-> ( W gsumg ( k e. (/) |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( P .x. ( W gsumg ( k e. (/) |-> Q ) ) ) ) )
11	4, 10	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( a = (/) -> ( ( ( ph /\ a C_ A ) -> ( W gsumg ( k e. a |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( P .x. ( W gsumg ( k e. a |-> Q ) ) ) ) <-> ( ( ph /\ (/) C_ A ) -> ( W gsumg ( k e. (/) |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( P .x. ( W gsumg ( k e. (/) |-> Q ) ) ) ) ) )
12		sseq1 3626	. . . . . . 7 |- ( a = e -> ( a C_ A <-> e C_ A ) )
13	12	anbi2d 740	. . . . . 6 |- ( a = e -> ( ( ph /\ a C_ A ) <-> ( ph /\ e C_ A ) ) )
14		mpteq1 4737	. . . . . . . 8 |- ( a = e -> ( k e. a |-> ( P .x. Q ) ) = ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) )
15	14	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( a = e -> ( W gsumg ( k e. a |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( W gsumg ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) )
16		mpteq1 4737	. . . . . . . . 9 |- ( a = e -> ( k e. a |-> Q ) = ( k e. e |-> Q ) )
17	16	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( a = e -> ( W gsumg ( k e. a |-> Q ) ) = ( W gsumg ( k e. e |-> Q ) ) )
18	17	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( a = e -> ( P .x. ( W gsumg ( k e. a |-> Q ) ) ) = ( P .x. ( W gsumg ( k e. e |-> Q ) ) ) )
19	15, 18	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( a = e -> ( ( W gsumg ( k e. a |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( P .x. ( W gsumg ( k e. a |-> Q ) ) ) <-> ( W gsumg ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( P .x. ( W gsumg ( k e. e |-> Q ) ) ) ) )
20	13, 19	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( a = e -> ( ( ( ph /\ a C_ A ) -> ( W gsumg ( k e. a |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( P .x. ( W gsumg ( k e. a |-> Q ) ) ) ) <-> ( ( ph /\ e C_ A ) -> ( W gsumg ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( P .x. ( W gsumg ( k e. e |-> Q ) ) ) ) ) )
21		sseq1 3626	. . . . . . 7 |- ( a = ( e u. { z } ) -> ( a C_ A <-> ( e u. { z } ) C_ A ) )
22	21	anbi2d 740	. . . . . 6 |- ( a = ( e u. { z } ) -> ( ( ph /\ a C_ A ) <-> ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) )
23		mpteq1 4737	. . . . . . . 8 |- ( a = ( e u. { z } ) -> ( k e. a |-> ( P .x. Q ) ) = ( k e. ( e u. { z } ) |-> ( P .x. Q ) ) )
24	23	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( a = ( e u. { z } ) -> ( W gsumg ( k e. a |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( W gsumg ( k e. ( e u. { z } ) |-> ( P .x. Q ) ) ) )
25		mpteq1 4737	. . . . . . . . 9 |- ( a = ( e u. { z } ) -> ( k e. a |-> Q ) = ( k e. ( e u. { z } ) |-> Q ) )
26	25	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( a = ( e u. { z } ) -> ( W gsumg ( k e. a |-> Q ) ) = ( W gsumg ( k e. ( e u. { z } ) |-> Q ) ) )
27	26	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( a = ( e u. { z } ) -> ( P .x. ( W gsumg ( k e. a |-> Q ) ) ) = ( P .x. ( W gsumg ( k e. ( e u. { z } ) |-> Q ) ) ) )
28	24, 27	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( a = ( e u. { z } ) -> ( ( W gsumg ( k e. a |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( P .x. ( W gsumg ( k e. a |-> Q ) ) ) <-> ( W gsumg ( k e. ( e u. { z } ) |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( P .x. ( W gsumg ( k e. ( e u. { z } ) |-> Q ) ) ) ) )
29	22, 28	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( a = ( e u. { z } ) -> ( ( ( ph /\ a C_ A ) -> ( W gsumg ( k e. a |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( P .x. ( W gsumg ( k e. a |-> Q ) ) ) ) <-> ( ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) -> ( W gsumg ( k e. ( e u. { z } ) |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( P .x. ( W gsumg ( k e. ( e u. { z } ) |-> Q ) ) ) ) ) )
30		sseq1 3626	. . . . . . 7 |- ( a = A -> ( a C_ A <-> A C_ A ) )
31	30	anbi2d 740	. . . . . 6 |- ( a = A -> ( ( ph /\ a C_ A ) <-> ( ph /\ A C_ A ) ) )
32		mpteq1 4737	. . . . . . . 8 |- ( a = A -> ( k e. a |-> ( P .x. Q ) ) = ( k e. A |-> ( P .x. Q ) ) )
33	32	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( a = A -> ( W gsumg ( k e. a |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( W gsumg ( k e. A |-> ( P .x. Q ) ) ) )
34		mpteq1 4737	. . . . . . . . 9 |- ( a = A -> ( k e. a |-> Q ) = ( k e. A |-> Q ) )
35	34	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( a = A -> ( W gsumg ( k e. a |-> Q ) ) = ( W gsumg ( k e. A |-> Q ) ) )
36	35	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( a = A -> ( P .x. ( W gsumg ( k e. a |-> Q ) ) ) = ( P .x. ( W gsumg ( k e. A |-> Q ) ) ) )
37	33, 36	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( a = A -> ( ( W gsumg ( k e. a |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( P .x. ( W gsumg ( k e. a |-> Q ) ) ) <-> ( W gsumg ( k e. A |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( P .x. ( W gsumg ( k e. A |-> Q ) ) ) ) )
38	31, 37	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( a = A -> ( ( ( ph /\ a C_ A ) -> ( W gsumg ( k e. a |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( P .x. ( W gsumg ( k e. a |-> Q ) ) ) ) <-> ( ( ph /\ A C_ A ) -> ( W gsumg ( k e. A |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( P .x. ( W gsumg ( k e. A |-> Q ) ) ) ) ) )
39		gsumvsca.w	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> W e. SLMod )
40		gsumvsca.k	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> K C_ ( Base ` G ) )
41		gsumvsca1.n	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> P e. K )
42	40, 41	sseldd 3604	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> P e. ( Base ` G ) )
43		gsumvsca.g	. . . . . . . . . 10 |- G = (Scalar ` W )
44		gsumvsca.t	. . . . . . . . . 10 |- .x. = ( .s ` W )
45		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
46		gsumvsca.z	. . . . . . . . . 10 |- .0. = ( 0g ` W )
47	43, 44, 45, 46	slmdvs0 29778	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. SLMod /\ P e. ( Base ` G ) ) -> ( P .x. .0. ) = .0. )
48	39, 42, 47	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( P .x. .0. ) = .0. )
49	48	eqcomd 2628	. . . . . . 7 |- ( ph -> .0. = ( P .x. .0. ) )
50		mpt0 6021	. . . . . . . . 9 |- ( k e. (/) |-> ( P .x. Q ) ) = (/)
51	50	oveq2i 6661	. . . . . . . 8 |- ( W gsumg ( k e. (/) |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( W gsumg (/) )
52	46	gsum0 17278	. . . . . . . 8 |- ( W gsumg (/) ) = .0.
53	51, 52	eqtri 2644	. . . . . . 7 |- ( W gsumg ( k e. (/) |-> ( P .x. Q ) ) ) = .0.
54		mpt0 6021	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. (/) |-> Q ) = (/)
55	54	oveq2i 6661	. . . . . . . . 9 |- ( W gsumg ( k e. (/) |-> Q ) ) = ( W gsumg (/) )
56	55, 52	eqtri 2644	. . . . . . . 8 |- ( W gsumg ( k e. (/) |-> Q ) ) = .0.
57	56	oveq2i 6661	. . . . . . 7 |- ( P .x. ( W gsumg ( k e. (/) |-> Q ) ) ) = ( P .x. .0. )
58	49, 53, 57	3eqtr4g 2681	. . . . . 6 |- ( ph -> ( W gsumg ( k e. (/) |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( P .x. ( W gsumg ( k e. (/) |-> Q ) ) ) )
59	58	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ (/) C_ A ) -> ( W gsumg ( k e. (/) |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( P .x. ( W gsumg ( k e. (/) |-> Q ) ) ) )
60		ssun1 3776	. . . . . . . . 9 |- e C_ ( e u. { z } )
61		sstr2 3610	. . . . . . . . 9 |- ( e C_ ( e u. { z } ) -> ( ( e u. { z } ) C_ A -> e C_ A ) )
62	60, 61	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( ( e u. { z } ) C_ A -> e C_ A )
63	62	anim2i 593	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) -> ( ph /\ e C_ A ) )
64	63	imim1i 63	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ e C_ A ) -> ( W gsumg ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( P .x. ( W gsumg ( k e. e |-> Q ) ) ) ) -> ( ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) -> ( W gsumg ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( P .x. ( W gsumg ( k e. e |-> Q ) ) ) ) )
65	39	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> W e. SLMod )
66	42	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> P e. ( Base ` G ) )
67		gsumvsca.b	. . . . . . . . . . . 12 |- B = ( Base ` W )
68		slmdcmn 29758	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( W e. SLMod -> W e. CMnd )
69	65, 68	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> W e. CMnd )
70		vex 3203	. . . . . . . . . . . . 13 |- e e. _V
71	70	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> e e. _V )
72		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) /\ k e. e ) -> ph )
73		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> ( e u. { z } ) C_ A )
74	73	unssad 3790	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> e C_ A )
75	74	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) /\ k e. e ) -> k e. A )
76		gsumvsca1.c	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> Q e. B )
77	72, 75, 76	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) /\ k e. e ) -> Q e. B )
78		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. e |-> Q ) = ( k e. e |-> Q )
79	77, 78	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> ( k e. e |-> Q ) : e --> B )
80		simpll 790	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> e e. Fin )
81		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0g ` W ) e. _V
82	46, 81	eqeltri 2697	. . . . . . . . . . . . . 14 |- .0. e. _V
83	82	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> .0. e. _V )
84	78, 80, 77, 83	fsuppmptdm 8286	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> ( k e. e |-> Q ) finSupp .0. )
85	67, 46, 69, 71, 79, 84	gsumcl 18316	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> ( W gsumg ( k e. e |-> Q ) ) e. B )
86	73	unssbd 3791	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> { z } C_ A )
87		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . 14 |- z e. _V
88	87	snss 4316	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. A <-> { z } C_ A )
89	86, 88	sylibr 224	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> z e. A )
90	76	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. k e. A Q e. B )
91	90	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> A. k e. A Q e. B )
92		rspcsbela 4006	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. A /\ A. k e. A Q e. B ) -> [_ z / k ]_ Q e. B )
93	89, 91, 92	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> [_ z / k ]_ Q e. B )
94		gsumvsca.p	. . . . . . . . . . . 12 |- .+ = ( +g ` W )
95	67, 94, 43, 44, 45	slmdvsdi 29768	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( W e. SLMod /\ ( P e. ( Base ` G ) /\ ( W gsumg ( k e. e |-> Q ) ) e. B /\ [_ z / k ]_ Q e. B ) ) -> ( P .x. ( ( W gsumg ( k e. e |-> Q ) ) .+ [_ z / k ]_ Q ) ) = ( ( P .x. ( W gsumg ( k e. e |-> Q ) ) ) .+ ( P .x. [_ z / k ]_ Q ) ) )
96	65, 66, 85, 93, 95	syl13anc 1328	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> ( P .x. ( ( W gsumg ( k e. e |-> Q ) ) .+ [_ z / k ]_ Q ) ) = ( ( P .x. ( W gsumg ( k e. e |-> Q ) ) ) .+ ( P .x. [_ z / k ]_ Q ) ) )
97	96	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) /\ ( W gsumg ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( P .x. ( W gsumg ( k e. e |-> Q ) ) ) ) -> ( P .x. ( ( W gsumg ( k e. e |-> Q ) ) .+ [_ z / k ]_ Q ) ) = ( ( P .x. ( W gsumg ( k e. e |-> Q ) ) ) .+ ( P .x. [_ z / k ]_ Q ) ) )
98		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ k [_ z / k ]_ Q
99	87	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> z e. _V )
100		simplr 792	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> -. z e. e )
101		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = z -> Q = [_ z / k ]_ Q )
102	98, 67, 94, 69, 80, 77, 99, 100, 93, 101	gsumunsnf 18358	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> ( W gsumg ( k e. ( e u. { z } ) |-> Q ) ) = ( ( W gsumg ( k e. e |-> Q ) ) .+ [_ z / k ]_ Q ) )
103	102	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> ( P .x. ( W gsumg ( k e. ( e u. { z } ) |-> Q ) ) ) = ( P .x. ( ( W gsumg ( k e. e |-> Q ) ) .+ [_ z / k ]_ Q ) ) )
104	103	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) /\ ( W gsumg ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( P .x. ( W gsumg ( k e. e |-> Q ) ) ) ) -> ( P .x. ( W gsumg ( k e. ( e u. { z } ) |-> Q ) ) ) = ( P .x. ( ( W gsumg ( k e. e |-> Q ) ) .+ [_ z / k ]_ Q ) ) )
105		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ k P
106		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ k .x.
107	105, 106, 98	nfov 6676	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ k ( P .x. [_ z / k ]_ Q )
108	72, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) /\ k e. e ) -> W e. SLMod )
109	72, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) /\ k e. e ) -> P e. ( Base ` G ) )
110	67, 43, 44, 45	slmdvscl 29767	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( W e. SLMod /\ P e. ( Base ` G ) /\ Q e. B ) -> ( P .x. Q ) e. B )
111	108, 109, 77, 110	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) /\ k e. e ) -> ( P .x. Q ) e. B )
112	67, 43, 44, 45	slmdvscl 29767	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( W e. SLMod /\ P e. ( Base ` G ) /\ [_ z / k ]_ Q e. B ) -> ( P .x. [_ z / k ]_ Q ) e. B )
113	65, 66, 93, 112	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> ( P .x. [_ z / k ]_ Q ) e. B )
114	101	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = z -> ( P .x. Q ) = ( P .x. [_ z / k ]_ Q ) )
115	107, 67, 94, 69, 80, 111, 99, 100, 113, 114	gsumunsnf 18358	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> ( W gsumg ( k e. ( e u. { z } ) |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( W gsumg ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) .+ ( P .x. [_ z / k ]_ Q ) ) )
116	115	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) /\ ( W gsumg ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( P .x. ( W gsumg ( k e. e |-> Q ) ) ) ) -> ( W gsumg ( k e. ( e u. { z } ) |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( W gsumg ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) .+ ( P .x. [_ z / k ]_ Q ) ) )
117		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) /\ ( W gsumg ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( P .x. ( W gsumg ( k e. e |-> Q ) ) ) ) -> ( W gsumg ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( P .x. ( W gsumg ( k e. e |-> Q ) ) ) )
118	117	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) /\ ( W gsumg ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( P .x. ( W gsumg ( k e. e |-> Q ) ) ) ) -> ( ( W gsumg ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) .+ ( P .x. [_ z / k ]_ Q ) ) = ( ( P .x. ( W gsumg ( k e. e |-> Q ) ) ) .+ ( P .x. [_ z / k ]_ Q ) ) )
119	116, 118	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) /\ ( W gsumg ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( P .x. ( W gsumg ( k e. e |-> Q ) ) ) ) -> ( W gsumg ( k e. ( e u. { z } ) |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( P .x. ( W gsumg ( k e. e |-> Q ) ) ) .+ ( P .x. [_ z / k ]_ Q ) ) )
120	97, 104, 119	3eqtr4rd 2667	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) /\ ( W gsumg ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( P .x. ( W gsumg ( k e. e |-> Q ) ) ) ) -> ( W gsumg ( k e. ( e u. { z } ) |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( P .x. ( W gsumg ( k e. ( e u. { z } ) |-> Q ) ) ) )
121	120	exp31 630	. . . . . . 7 |- ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) -> ( ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) -> ( ( W gsumg ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( P .x. ( W gsumg ( k e. e |-> Q ) ) ) -> ( W gsumg ( k e. ( e u. { z } ) |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( P .x. ( W gsumg ( k e. ( e u. { z } ) |-> Q ) ) ) ) ) )
122	121	a2d 29	. . . . . 6 |- ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) -> ( ( ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) -> ( W gsumg ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( P .x. ( W gsumg ( k e. e |-> Q ) ) ) ) -> ( ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) -> ( W gsumg ( k e. ( e u. { z } ) |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( P .x. ( W gsumg ( k e. ( e u. { z } ) |-> Q ) ) ) ) ) )
123	64, 122	syl5 34	. . . . 5 |- ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) -> ( ( ( ph /\ e C_ A ) -> ( W gsumg ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( P .x. ( W gsumg ( k e. e |-> Q ) ) ) ) -> ( ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) -> ( W gsumg ( k e. ( e u. { z } ) |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( P .x. ( W gsumg ( k e. ( e u. { z } ) |-> Q ) ) ) ) ) )
124	11, 20, 29, 38, 59, 123	findcard2s 8201	. . . 4 |- ( A e. Fin -> ( ( ph /\ A C_ A ) -> ( W gsumg ( k e. A |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( P .x. ( W gsumg ( k e. A |-> Q ) ) ) ) )
125	124	imp 445	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ ( ph /\ A C_ A ) ) -> ( W gsumg ( k e. A |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( P .x. ( W gsumg ( k e. A |-> Q ) ) ) )
126	2, 125	mpanr2 720	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ ph ) -> ( W gsumg ( k e. A |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( P .x. ( W gsumg ( k e. A |-> Q ) ) ) )
127	1, 126	mpancom 703	1 |- ( ph -> ( W gsumg ( k e. A |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( P .x. ( W gsumg ( k e. A |-> Q ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   [_csb 3533   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   Basecbs 15857   +g cplusg 15941  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   0gc0g 16100   gsum_g cgsu 16101  CMndccmn 18193  SLModcslmd 29753

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-srg 18506  df-slmd 29754

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