Theorem gsumzunsnd 18355

Description: Append an element to a finite group sum, more general version of gsumunsnd 18357. (Contributed by AV, 7-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumzunsnd.b	|- B = ( Base ` G )
gsumzunsnd.p	|- .+ = ( +g ` G )
gsumzunsnd.z	|- Z = (Cntz ` G )
gsumzunsnd.f	|- F = ( k e. ( A u. { M } ) |-> X )
gsumzunsnd.g	|- ( ph -> G e. Mnd )
gsumzunsnd.a	|- ( ph -> A e. Fin )
gsumzunsnd.c	|- ( ph -> ran F C_ ( Z ` ran F ) )
gsumzunsnd.x	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> X e. B )
gsumzunsnd.m	|- ( ph -> M e. V )
gsumzunsnd.d	|- ( ph -> -. M e. A )
gsumzunsnd.y	|- ( ph -> Y e. B )
gsumzunsnd.s	|- ( ( ph /\ k = M ) -> X = Y )

Assertion

Ref	Expression
gsumzunsnd	|- ( ph -> ( G gsumg F ) = ( ( G gsumg ( k e. A |-> X ) ) .+ Y ) )

Distinct variable groups:   A, k   B, k   k, G   k, M   ph, k   k, Y

Allowed substitution hints:   .+ ( k)   F( k)   V( k)   X( k)   Z( k)

Proof of Theorem gsumzunsnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumzunsnd.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
2		eqid 2622	. . 3 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
3		gsumzunsnd.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` G )
4		gsumzunsnd.z	. . 3 |- Z = (Cntz ` G )
5		gsumzunsnd.g	. . 3 |- ( ph -> G e. Mnd )
6		gsumzunsnd.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. Fin )
7		snfi 8038	. . . 4 |- { M } e. Fin
8		unfi 8227	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ { M } e. Fin ) -> ( A u. { M } ) e. Fin )
9	6, 7, 8	sylancl 694	. . 3 |- ( ph -> ( A u. { M } ) e. Fin )
10		elun 3753	. . . . 5 |- ( k e. ( A u. { M } ) <-> ( k e. A \/ k e. { M } ) )
11		gsumzunsnd.x	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> X e. B )
12		elsni 4194	. . . . . . . 8 |- ( k e. { M } -> k = M )
13		gsumzunsnd.s	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k = M ) -> X = Y )
14	12, 13	sylan2 491	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. { M } ) -> X = Y )
15		gsumzunsnd.y	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Y e. B )
16	15	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. { M } ) -> Y e. B )
17	14, 16	eqeltrd 2701	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. { M } ) -> X e. B )
18	11, 17	jaodan 826	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( k e. A \/ k e. { M } ) ) -> X e. B )
19	10, 18	sylan2b 492	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( A u. { M } ) ) -> X e. B )
20		gsumzunsnd.f	. . . 4 |- F = ( k e. ( A u. { M } ) |-> X )
21	19, 20	fmptd 6385	. . 3 |- ( ph -> F : ( A u. { M } ) --> B )
22		gsumzunsnd.c	. . 3 |- ( ph -> ran F C_ ( Z ` ran F ) )
23	11	expcom 451	. . . . . . 7 |- ( k e. A -> ( ph -> X e. B ) )
24	15	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k = M ) -> Y e. B )
25	13, 24	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k = M ) -> X e. B )
26	25	expcom 451	. . . . . . . 8 |- ( k = M -> ( ph -> X e. B ) )
27	12, 26	syl 17	. . . . . . 7 |- ( k e. { M } -> ( ph -> X e. B ) )
28	23, 27	jaoi 394	. . . . . 6 |- ( ( k e. A \/ k e. { M } ) -> ( ph -> X e. B ) )
29	10, 28	sylbi 207	. . . . 5 |- ( k e. ( A u. { M } ) -> ( ph -> X e. B ) )
30	29	impcom 446	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( A u. { M } ) ) -> X e. B )
31		fvexd 6203	. . . 4 |- ( ph -> ( 0g ` G ) e. _V )
32	20, 9, 30, 31	fsuppmptdm 8286	. . 3 |- ( ph -> F finSupp ( 0g ` G ) )
33		gsumzunsnd.d	. . . 4 |- ( ph -> -. M e. A )
34		disjsn 4246	. . . 4 |- ( ( A i^i { M } ) = (/) <-> -. M e. A )
35	33, 34	sylibr 224	. . 3 |- ( ph -> ( A i^i { M } ) = (/) )
36		eqidd 2623	. . 3 |- ( ph -> ( A u. { M } ) = ( A u. { M } ) )
37	1, 2, 3, 4, 5, 9, 21, 22, 32, 35, 36	gsumzsplit 18327	. 2 |- ( ph -> ( G gsumg F ) = ( ( G gsumg ( F |` A ) ) .+ ( G gsumg ( F |` { M } ) ) ) )
38	20	reseq1i 5392	. . . . 5 |- ( F |` A ) = ( ( k e. ( A u. { M } ) |-> X ) |` A )
39		ssun1 3776	. . . . . 6 |- A C_ ( A u. { M } )
40		resmpt 5449	. . . . . 6 |- ( A C_ ( A u. { M } ) -> ( ( k e. ( A u. { M } ) |-> X ) |` A ) = ( k e. A |-> X ) )
41	39, 40	mp1i 13	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( k e. ( A u. { M } ) |-> X ) |` A ) = ( k e. A |-> X ) )
42	38, 41	syl5eq 2668	. . . 4 |- ( ph -> ( F |` A ) = ( k e. A |-> X ) )
43	42	oveq2d 6666	. . 3 |- ( ph -> ( G gsumg ( F |` A ) ) = ( G gsumg ( k e. A |-> X ) ) )
44	20	reseq1i 5392	. . . . 5 |- ( F |` { M } ) = ( ( k e. ( A u. { M } ) |-> X ) |` { M } )
45		ssun2 3777	. . . . . 6 |- { M } C_ ( A u. { M } )
46		resmpt 5449	. . . . . 6 |- ( { M } C_ ( A u. { M } ) -> ( ( k e. ( A u. { M } ) |-> X ) |` { M } ) = ( k e. { M } |-> X ) )
47	45, 46	mp1i 13	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( k e. ( A u. { M } ) |-> X ) |` { M } ) = ( k e. { M } |-> X ) )
48	44, 47	syl5eq 2668	. . . 4 |- ( ph -> ( F |` { M } ) = ( k e. { M } |-> X ) )
49	48	oveq2d 6666	. . 3 |- ( ph -> ( G gsumg ( F |` { M } ) ) = ( G gsumg ( k e. { M } |-> X ) ) )
50	43, 49	oveq12d 6668	. 2 |- ( ph -> ( ( G gsumg ( F |` A ) ) .+ ( G gsumg ( F |` { M } ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. A |-> X ) ) .+ ( G gsumg ( k e. { M } |-> X ) ) ) )
51		gsumzunsnd.m	. . . 4 |- ( ph -> M e. V )
52	1, 5, 51, 15, 13	gsumsnd 18352	. . 3 |- ( ph -> ( G gsumg ( k e. { M } |-> X ) ) = Y )
53	52	oveq2d 6666	. 2 |- ( ph -> ( ( G gsumg ( k e. A |-> X ) ) .+ ( G gsumg ( k e. { M } |-> X ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. A |-> X ) ) .+ Y ) )
54	37, 50, 53	3eqtrd 2660	1 |- ( ph -> ( G gsumg F ) = ( ( G gsumg ( k e. A |-> X ) ) .+ Y ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   |` cres 5116   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   0gc0g 16100   gsum_g cgsu 16101   Mndcmnd 17294  Cntzccntz 17748

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195

This theorem is referenced by:  mplcoe5  19468