Theorem iccpartipre 41357

Description: If there is a partition, then all intermediate points are real numbers. (Contributed by AV, 11-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccpartgtprec.m	|- ( ph -> M e. NN )
iccpartgtprec.p	|- ( ph -> P e. (RePart ` M ) )
iccpartipre.i	|- ( ph -> I e. ( 1..^ M ) )

Assertion

Ref	Expression
iccpartipre	|- ( ph -> ( P ` I ) e. RR )

Proof of Theorem iccpartipre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccpartgtprec.m	. . 3 |- ( ph -> M e. NN )
2		iccpartgtprec.p	. . 3 |- ( ph -> P e. (RePart ` M ) )
3		nnz 11399	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> M e. ZZ )
4		peano2zm 11420	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ZZ -> ( M - 1 ) e. ZZ )
5		id 22	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ZZ -> M e. ZZ )
6		zre 11381	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
7	6	lem1d 10957	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ZZ -> ( M - 1 ) <_ M )
8	4, 5, 7	3jca 1242	. . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> ( ( M - 1 ) e. ZZ /\ M e. ZZ /\ ( M - 1 ) <_ M ) )
9	3, 8	syl 17	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> ( ( M - 1 ) e. ZZ /\ M e. ZZ /\ ( M - 1 ) <_ M ) )
10		eluz2 11693	. . . . . . 7 |- ( M e. ( ZZ>= ` ( M - 1 ) ) <-> ( ( M - 1 ) e. ZZ /\ M e. ZZ /\ ( M - 1 ) <_ M ) )
11	9, 10	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> M e. ( ZZ>= ` ( M - 1 ) ) )
12	1, 11	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` ( M - 1 ) ) )
13		fzss2 12381	. . . . 5 |- ( M e. ( ZZ>= ` ( M - 1 ) ) -> ( 0 ... ( M - 1 ) ) C_ ( 0 ... M ) )
14	12, 13	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( 0 ... ( M - 1 ) ) C_ ( 0 ... M ) )
15		fzossfz 12488	. . . . . 6 |- ( 1..^ M ) C_ ( 1 ... M )
16		iccpartipre.i	. . . . . 6 |- ( ph -> I e. ( 1..^ M ) )
17	15, 16	sseldi 3601	. . . . 5 |- ( ph -> I e. ( 1 ... M ) )
18		elfzoelz 12470	. . . . . . 7 |- ( I e. ( 1..^ M ) -> I e. ZZ )
19	16, 18	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> I e. ZZ )
20	1	nnzd 11481	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
21		elfzm1b 12418	. . . . . 6 |- ( ( I e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( I e. ( 1 ... M ) <-> ( I - 1 ) e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) ) )
22	19, 20, 21	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> ( I e. ( 1 ... M ) <-> ( I - 1 ) e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) ) )
23	17, 22	mpbid 222	. . . 4 |- ( ph -> ( I - 1 ) e. ( 0 ... ( M - 1 ) ) )
24	14, 23	sseldd 3604	. . 3 |- ( ph -> ( I - 1 ) e. ( 0 ... M ) )
25	1, 2, 24	iccpartxr 41355	. 2 |- ( ph -> ( P ` ( I - 1 ) ) e. RR* )
26		1eluzge0 11732	. . . . . 6 |- 1 e. ( ZZ>= ` 0 )
27		fzoss1 12495	. . . . . 6 |- ( 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( 1..^ M ) C_ ( 0..^ M ) )
28	26, 27	mp1i 13	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1..^ M ) C_ ( 0..^ M ) )
29		fzossfz 12488	. . . . 5 |- ( 0..^ M ) C_ ( 0 ... M )
30	28, 29	syl6ss 3615	. . . 4 |- ( ph -> ( 1..^ M ) C_ ( 0 ... M ) )
31	30, 16	sseldd 3604	. . 3 |- ( ph -> I e. ( 0 ... M ) )
32	1, 2, 31	iccpartxr 41355	. 2 |- ( ph -> ( P ` I ) e. RR* )
33	28, 16	sseldd 3604	. . . 4 |- ( ph -> I e. ( 0..^ M ) )
34		fzofzp1 12565	. . . 4 |- ( I e. ( 0..^ M ) -> ( I + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
35	33, 34	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( I + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
36	1, 2, 35	iccpartxr 41355	. 2 |- ( ph -> ( P ` ( I + 1 ) ) e. RR* )
37	1, 2, 17	iccpartgtprec 41356	. 2 |- ( ph -> ( P ` ( I - 1 ) ) < ( P ` I ) )
38		iccpartimp 41353	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ P e. (RePart ` M ) /\ I e. ( 0..^ M ) ) -> ( P e. ( RR* ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( P ` I ) < ( P ` ( I + 1 ) ) ) )
39	1, 2, 33, 38	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ph -> ( P e. ( RR* ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( P ` I ) < ( P ` ( I + 1 ) ) ) )
40	39	simprd 479	. 2 |- ( ph -> ( P ` I ) < ( P ` ( I + 1 ) ) )
41		xrre2 12001	. 2 |- ( ( ( ( P ` ( I - 1 ) ) e. RR* /\ ( P ` I ) e. RR* /\ ( P ` ( I + 1 ) ) e. RR* ) /\ ( ( P ` ( I - 1 ) ) < ( P ` I ) /\ ( P ` I ) < ( P ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( P ` I ) e. RR )
42	25, 32, 36, 37, 40, 41	syl32anc 1334	1 |- ( ph -> ( P ` I ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   e. wcel 1990   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465  RePartciccp 41349

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-iccp 41350

This theorem is referenced by:  iccpartiltu  41358  iccpartigtl  41359  iccpartgt  41363  bgoldbtbndlem3  41695