bgoldbtbndlem3 - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem bgoldbtbndlem3 41695

Description: Lemma 3 for bgoldbtbnd 41697. (Contributed by AV, 1-Aug-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
bgoldbtbnd.m	;
bgoldbtbnd.n	;
bgoldbtbnd.b	Even $/\$ GoldbachEven
bgoldbtbnd.d
bgoldbtbnd.f	RePart
bgoldbtbnd.i	..^ $\$ $/\$ $/\$
bgoldbtbnd.0
bgoldbtbnd.1	;
bgoldbtbnd.l
bgoldbtbnd.r
bgoldbtbndlem3.s

**Assertion**
Ref	Expression
bgoldbtbndlem3	$/\$ Odd $/\$ ..^ $/\$ Even $/\$ $/\$

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

**Proof of Theorem bgoldbtbndlem3**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzo0ss1 12498	. . . . . 6 ..^ ..^
2	1	sseli 3599	. . . . 5 ..^ ..^
3		bgoldbtbnd.i	. . . . 5 ..^ $\$ $/\$ $/\$
4		fveq2 6191	. . . . . . . 8
5	4	eleq1d 2686	. . . . . . 7 $\$ $\$
6		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10
7	6	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9
8	7, 4	oveq12d 6668	. . . . . . . 8
9	8	breq1d 4663	. . . . . . 7
10	8	breq2d 4665	. . . . . . 7
11	5, 9, 10	3anbi123d 1399	. . . . . 6 $\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$
12	11	rspcv 3305	. . . . 5 ..^ ..^ $\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$
13	2, 3, 12	syl2imc 41	. . . 4 ..^ $\$ $/\$ $/\$
14	13	a1d 25	. . 3 Odd ..^ $\$ $/\$ $/\$
15	14	3imp 1256	. 2 $/\$ Odd $/\$ ..^ $\$ $/\$ $/\$
16		bgoldbtbndlem3.s	. . . . 5
17		simp2 1062	. . . . . . . 8 $/\$ Odd $/\$ ..^ Odd
18		oddprmALTV 41598	. . . . . . . . 9 $\$ Odd
19	18	3ad2ant1 1082	. . . . . . . 8 $\$ $/\$ $/\$ Odd
20	17, 19	anim12i 590	. . . . . . 7 $/\$ Odd $/\$ ..^ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ Odd $/\$ Odd
21	20	adantr 481	. . . . . 6 $/\$ Odd $/\$ ..^ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Odd $/\$ Odd
22		omoeALTV 41596	. . . . . 6 Odd $/\$ Odd Even
23	21, 22	syl 17	. . . . 5 $/\$ Odd $/\$ ..^ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Even
24	16, 23	syl5eqel 2705	. . . 4 $/\$ Odd $/\$ ..^ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Even
25		eldifi 3732	. . . . . . . . . . 11 $\$
26		prmz 15389	. . . . . . . . . . . 12
27	26	zred 11482	. . . . . . . . . . 11
28		fzofzp1 12565	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
29		elfzo2 12473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ..^ $/\$ $/\$
30		1zzd 11408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
31		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
32		eluz2 11693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
33		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
34		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
35		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
36		leltletr 41308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$
37	33, 34, 35, 36	syl3an 1368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$
38	37	exp5o 1286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
39	38	com34 91	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
40	39	3imp 1256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
41	32, 40	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
42	41	3imp 1256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
43		eluz2 11693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
44	30, 31, 42, 43	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
45	29, 44	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^
46		fzisfzounsn 12580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^
47	45, 46	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^ ..^
48	47	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^ ..^
49		elun 3753	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^ ..^ $\/$
50	48, 49	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^ ..^ $\/$
51		bgoldbtbnd.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
52		eluzge3nn 11730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
53	51, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
54	53	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^ $/\$ ..^ $/\$ $/\$ Odd
55		bgoldbtbnd.f	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 RePart
56	55	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^ $/\$ ..^ $/\$ $/\$ Odd RePart
57		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^ $/\$ ..^ $/\$ $/\$ Odd ..^
58	54, 56, 57	iccpartipre 41357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^ $/\$ ..^ $/\$ $/\$ Odd
59	58	exp31 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^ ..^ $/\$ Odd
60		elsni 4194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
61		bgoldbtbnd.r	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
62	61	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ Odd
63		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
64	63	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
65	64	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ Odd
66	62, 65	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ Odd
67	66	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ Odd
68	60, 67	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ Odd
69	68	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^ $/\$ Odd
70	59, 69	jaod 395	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^ ..^ $\/$ $/\$ Odd
71	50, 70	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^ $/\$ Odd
72	28, 71	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . 15 ..^ $/\$ Odd
73	72	com12 32	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ Odd ..^
74	73	3impia 1261	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ Odd $/\$ ..^
75		bgoldbtbnd.n	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ;
76		eluzelre 11698	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ;
77	75, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15
78		oddz 41544	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Odd
79	78	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . 15 Odd
80		rexr 10085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
81		rexr 10085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
82	80, 81	anim12ci 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
83	82	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
84		elico1 12218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
85	83, 84	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
86		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
87		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
88		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
89		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
90	86, 87, 88, 89	ltsub1dd 10639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
91		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$
92		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$
93	91, 92	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$
94	93	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
95	87, 88	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
96		simplll 798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
97		4re 11097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
98	97	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
99	96, 98	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
100		lttr 10114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$
101	94, 95, 99, 100	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102	90, 101	mpand 711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103	102	impr 649	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
104		4pos 11116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
105	97	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$
106		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$
107	105, 106	ltsubposd 10613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$
108	104, 107	mpbii 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
109	108	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
110	109	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
111		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$
112	97	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$
113	111, 112	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$
114		lttr 10114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$
115	93, 113, 111, 114	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
116	115	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
117	103, 110, 116	mp2and 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
118	117	exp32 631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
119	118	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
120	119	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
121	120	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
122	85, 121	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
123	122	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
124	123	exp32 631	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
125	124	com34 91	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
126	77, 79, 125	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ Odd
127	126	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ Odd $/\$ ..^
128	74, 127	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ Odd $/\$ ..^
129	128	com13 88	. . . . . . . . . . 11 $/\$ Odd $/\$ ..^
130	25, 27, 129	3syl 18	. . . . . . . . . 10 $\$ $/\$ Odd $/\$ ..^
131	130	imp 445	. . . . . . . . 9 $\$ $/\$ $/\$ Odd $/\$ ..^
132	131	3adant3 1081	. . . . . . . 8 $\$ $/\$ $/\$ $/\$ Odd $/\$ ..^
133	132	impcom 446	. . . . . . 7 $/\$ Odd $/\$ ..^ $/\$ $\$ $/\$ $/\$
134	133	imp 445	. . . . . 6 $/\$ Odd $/\$ ..^ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$
135	134	adantrr 753	. . . . 5 $/\$ Odd $/\$ ..^ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
136	16, 135	syl5eqbr 4688	. . . 4 $/\$ Odd $/\$ ..^ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
137		simprr 796	. . . 4 $/\$ Odd $/\$ ..^ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
138	24, 136, 137	3jca 1242	. . 3 $/\$ Odd $/\$ ..^ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Even $/\$ $/\$
139	138	ex 450	. 2 $/\$ Odd $/\$ ..^ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$ Even $/\$ $/\$
140	15, 139	mpdan 702	1 $/\$ Odd $/\$ ..^ $/\$ Even $/\$ $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wral 2912 $\$ cdif 3571

cun 3572

csn 4177 class class class wbr 4653

cfv 5888 (class class class)co 6650

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cxr 10073

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cn 11020

c2 11070

c3 11071

c4 11072

c7 11075

cz 11377 ;cdc 11493

cuz 11687

cico 12177

cfz 12326 ..^cfzo 12465

cprime 15385 RePartciccp 41349 Even ceven 41537 Odd codd 41538 GoldbachEven cgbe 41633

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-er 7742 df-map 7859 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-sup 8348 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-ico 12181 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-seq 12802 df-exp 12861 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-dvds 14984 df-prm 15386 df-iccp 41350 df-even 41539 df-odd 41540

This theorem is referenced by: bgoldbtbnd 41697

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