Theorem iexpcyc 12969

Description: Taking _i to the K-th power is the same as using the K mod 4 -th power instead, by i4 12967. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
iexpcyc	|- ( K e. ZZ -> ( _i ^ ( K mod 4 ) ) = ( _i ^ K ) )

Proof of Theorem iexpcyc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 11381	. . . 4 |- ( K e. ZZ -> K e. RR )
2		4re 11097	. . . . 5 |- 4 e. RR
3		4pos 11116	. . . . 5 |- 0 < 4
4	2, 3	elrpii 11835	. . . 4 |- 4 e. RR+
5		modval 12670	. . . 4 |- ( ( K e. RR /\ 4 e. RR+ ) -> ( K mod 4 ) = ( K - ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) ) )
6	1, 4, 5	sylancl 694	. . 3 |- ( K e. ZZ -> ( K mod 4 ) = ( K - ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) ) )
7	6	oveq2d 6666	. 2 |- ( K e. ZZ -> ( _i ^ ( K mod 4 ) ) = ( _i ^ ( K - ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) ) ) )
8		4z 11411	. . . . 5 |- 4 e. ZZ
9		4nn 11187	. . . . . . 7 |- 4 e. NN
10		nndivre 11056	. . . . . . 7 |- ( ( K e. RR /\ 4 e. NN ) -> ( K / 4 ) e. RR )
11	1, 9, 10	sylancl 694	. . . . . 6 |- ( K e. ZZ -> ( K / 4 ) e. RR )
12	11	flcld 12599	. . . . 5 |- ( K e. ZZ -> ( |_ ` ( K / 4 ) ) e. ZZ )
13		zmulcl 11426	. . . . 5 |- ( ( 4 e. ZZ /\ ( |_ ` ( K / 4 ) ) e. ZZ ) -> ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) e. ZZ )
14	8, 12, 13	sylancr 695	. . . 4 |- ( K e. ZZ -> ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) e. ZZ )
15		ax-icn 9995	. . . . 5 |- _i e. CC
16		ine0 10465	. . . . 5 |- _i =/= 0
17		expsub 12908	. . . . 5 |- ( ( ( _i e. CC /\ _i =/= 0 ) /\ ( K e. ZZ /\ ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) e. ZZ ) ) -> ( _i ^ ( K - ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) ) ) = ( ( _i ^ K ) / ( _i ^ ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) ) ) )
18	15, 16, 17	mpanl12 718	. . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) e. ZZ ) -> ( _i ^ ( K - ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) ) ) = ( ( _i ^ K ) / ( _i ^ ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) ) ) )
19	14, 18	mpdan 702	. . 3 |- ( K e. ZZ -> ( _i ^ ( K - ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) ) ) = ( ( _i ^ K ) / ( _i ^ ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) ) ) )
20		expmulz 12906	. . . . . . . 8 |- ( ( ( _i e. CC /\ _i =/= 0 ) /\ ( 4 e. ZZ /\ ( |_ ` ( K / 4 ) ) e. ZZ ) ) -> ( _i ^ ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) ) = ( ( _i ^ 4 ) ^ ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) )
21	15, 16, 20	mpanl12 718	. . . . . . 7 |- ( ( 4 e. ZZ /\ ( |_ ` ( K / 4 ) ) e. ZZ ) -> ( _i ^ ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) ) = ( ( _i ^ 4 ) ^ ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) )
22	8, 12, 21	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( K e. ZZ -> ( _i ^ ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) ) = ( ( _i ^ 4 ) ^ ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) )
23		i4 12967	. . . . . . . 8 |- ( _i ^ 4 ) = 1
24	23	oveq1i 6660	. . . . . . 7 |- ( ( _i ^ 4 ) ^ ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) = ( 1 ^ ( |_ ` ( K / 4 ) ) )
25		1exp 12889	. . . . . . . 8 |- ( ( |_ ` ( K / 4 ) ) e. ZZ -> ( 1 ^ ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) = 1 )
26	12, 25	syl 17	. . . . . . 7 |- ( K e. ZZ -> ( 1 ^ ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) = 1 )
27	24, 26	syl5eq 2668	. . . . . 6 |- ( K e. ZZ -> ( ( _i ^ 4 ) ^ ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) = 1 )
28	22, 27	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( K e. ZZ -> ( _i ^ ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) ) = 1 )
29	28	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( K e. ZZ -> ( ( _i ^ K ) / ( _i ^ ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) ) ) = ( ( _i ^ K ) / 1 ) )
30		expclz 12885	. . . . . 6 |- ( ( _i e. CC /\ _i =/= 0 /\ K e. ZZ ) -> ( _i ^ K ) e. CC )
31	15, 16, 30	mp3an12 1414	. . . . 5 |- ( K e. ZZ -> ( _i ^ K ) e. CC )
32	31	div1d 10793	. . . 4 |- ( K e. ZZ -> ( ( _i ^ K ) / 1 ) = ( _i ^ K ) )
33	29, 32	eqtrd 2656	. . 3 |- ( K e. ZZ -> ( ( _i ^ K ) / ( _i ^ ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) ) ) = ( _i ^ K ) )
34	19, 33	eqtrd 2656	. 2 |- ( K e. ZZ -> ( _i ^ ( K - ( 4 x. ( |_ ` ( K / 4 ) ) ) ) ) = ( _i ^ K ) )
35	7, 34	eqtrd 2656	1 |- ( K e. ZZ -> ( _i ^ ( K mod 4 ) ) = ( _i ^ K ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   _ici 9938   x. cmul 9941   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   4c4 11072   ZZcz 11377   RR+crp 11832   |_cfl 12591   mod cmo 12668   ^cexp 12860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861

This theorem is referenced by:  iblitg  23535