Theorem nndivre 11056

Description: The quotient of a real and a positive integer is real. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
nndivre	|- ( ( A e. RR /\ N e. NN ) -> ( A / N ) e. RR )

Proof of Theorem nndivre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 11027	. . 3 |- ( N e. NN -> N e. RR )
2		nnne0 11053	. . 3 |- ( N e. NN -> N =/= 0 )
3	1, 2	jca 554	. 2 |- ( N e. NN -> ( N e. RR /\ N =/= 0 ) )
4		redivcl 10744	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ N e. RR /\ N =/= 0 ) -> ( A / N ) e. RR )
5	4	3expb 1266	. 2 |- ( ( A e. RR /\ ( N e. RR /\ N =/= 0 ) ) -> ( A / N ) e. RR )
6	3, 5	sylan2 491	1 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN ) -> ( A / N ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   e. wcel 1990   =/= wne 2794  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   / cdiv 10684   NNcn 11020

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021

This theorem is referenced by:  nnrecre  11057  nndivred  11069  fldiv2  12660  zmodcl  12690  iexpcyc  12969  sqrlem7  13989  expcnv  14596  ef01bndlem  14914  sin01bnd  14915  cos01bnd  14916  rpnnen2lem2  14944  rpnnen2lem3  14945  rpnnen2lem4  14946  rpnnen2lem9  14951  fldivp1  15601  ovoliunlem1  23270  dyadf  23359  dyadovol  23361  mbfi1fseqlem3  23484  mbfi1fseqlem4  23485  dveflem  23742  plyeq0lem  23966  tangtx  24257  tan4thpi  24266  root1id  24495  root1eq1  24496  root1cj  24497  cxpeq  24498  1cubrlem  24568  atan1  24655  log2tlbnd  24672  log2ublem1  24673  log2ublem2  24674  log2ub  24676  birthdaylem3  24680  birthday  24681  basellem5  24811  basellem8  24814  ppiub  24929  logfac2  24942  dchrptlem1  24989  dchrptlem2  24990  bposlem3  25011  bposlem4  25012  bposlem5  25013  bposlem6  25014  bposlem9  25017  vmadivsum  25171  dchrisum0lem1a  25175  dchrmusum2  25183  dchrvmasum2if  25186  dchrvmasumlem2  25187  dchrvmasumiflem1  25190  dchrvmasumiflem2  25191  dchrisum0re  25202  dchrisum0lem1b  25204  dchrisum0lem1  25205  dchrvmasumlem  25212  rplogsum  25216  mudivsum  25219  selberg2  25240  chpdifbndlem1  25242  selberg3lem1  25246  selbergr  25257  pntlemb  25286  pntlemg  25287  pntlemf  25294  snmlff  31311  sinccvglem  31566  circum  31568  poimirlem29  33438  poimirlem30  33439  poimirlem32  33441