Theorem 4nn 11187

Description: 4 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
4nn	|- 4 e. NN

Proof of Theorem 4nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-4 11081	. 2 |- 4 = ( 3 + 1 )
2		3nn 11186	. . 3 |- 3 e. NN
3		peano2nn 11032	. . 3 |- ( 3 e. NN -> ( 3 + 1 ) e. NN )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- ( 3 + 1 ) e. NN
5	1, 4	eqeltri 2697	1 |- 4 e. NN

Syntax hints:   e. wcel 1990  (class class class)co 6650   1c1 9937   + caddc 9939   NNcn 11020   3c3 11071   4c4 11072

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-1cn 9994

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081

This theorem is referenced by:  5nn  11188  4nn0  11311  4z  11411  fldiv4p1lem1div2  12636  fldiv4lem1div2  12638  iexpcyc  12969  fsumcube  14791  ef01bndlem  14914  flodddiv4  15137  6lcm4e12  15329  2expltfac  15799  8nprm  15818  37prm  15828  43prm  15829  83prm  15830  139prm  15831  631prm  15834  prmo4  15835  1259prm  15843  2503lem2  15845  starvndx  16004  starvid  16005  ressstarv  16007  srngfn  16008  homndx  16074  homid  16075  resshom  16078  prdsvalstr  16113  oppchomfval  16374  oppcbas  16378  rescco  16492  catstr  16617  lt6abl  18296  pcoass  22824  minveclem3  23200  iblitg  23535  dveflem  23742  tan4thpi  24266  atan1  24655  log2tlbnd  24672  log2ub  24676  bclbnd  25005  bpos1  25008  bposlem6  25014  bposlem7  25015  bposlem8  25016  bposlem9  25017  gausslemma2dlem4  25094  m1lgs  25113  2lgslem1a  25116  2lgslem3a  25121  2lgslem3b  25122  2lgslem3c  25123  2lgslem3d  25124  chebbnd1lem1  25158  chebbnd1lem2  25159  chebbnd1lem3  25160  pntibndlem1  25278  pntibndlem2  25280  pntibndlem3  25281  pntlema  25285  pntlemb  25286  pntlemg  25287  pntlemf  25294  upgr4cycl4dv4e  27045  fib5  30467  hgt750lem2  30730  hgt750leme  30736  rmydioph  37581  rmxdioph  37583  expdiophlem2  37589  inductionexd  38453  amgm4d  38503  257prm  41473  fmtno4sqrt  41483  fmtno4prmfac  41484  fmtno4prmfac193  41485  fmtno5nprm  41495  139prmALT  41511  mod42tp1mod8  41519  wtgoldbnnsum4prm  41690  bgoldbachlt  41701  tgblthelfgott  41703  bgoldbachltOLD  41707  tgblthelfgottOLD  41709