Theorem elrpii 11835

Description: Membership in the set of positive reals. (Contributed by NM, 23-Feb-2008.)

Hypotheses

Ref	Expression
elrpi.1	|- A e. RR
elrpi.2	|- 0 < A

Assertion

Ref	Expression
elrpii	|- A e. RR+

Proof of Theorem elrpii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrpi.1	. 2 |- A e. RR
2		elrpi.2	. 2 |- 0 < A
3		elrp 11834	. 2 |- ( A e. RR+ <-> ( A e. RR /\ 0 < A ) )
4	1, 2, 3	mpbir2an 955	1 |- A e. RR+

Syntax hints:   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   RRcr 9935   0cc0 9936   < clt 10074   RR+crp 11832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-rp 11833

This theorem is referenced by:  1rp  11836  2rp  11837  3rp  11838  iexpcyc  12969  discr  13001  sqrlem7  13989  caurcvgr  14404  epr  14936  aaliou3lem1  24097  aaliou3lem2  24098  aaliou3lem3  24099  pirp  24213  pige3  24269  cosordlem  24277  efif1olem2  24289  cxpsqrtlem  24448  log2cnv  24671  cht3  24899  chtublem  24936  chtub  24937  bposlem6  25014  lgsdir2lem1  25050  lgsdir2lem4  25053  lgsdir2lem5  25054  2sqlem11  25154  chebbnd1lem3  25160  chebbnd1  25161  chto1ub  25165  dchrvmasumiflem1  25190  pntlemg  25287  pntlemr  25291  pntlemf  25294  minvecolem3  27732  dp2lt10  29591  ballotlem2  30550  pigt3  33402  cntotbnd  33595  heiborlem5  33614  heiborlem7  33616  isosctrlem1ALT  39170  sineq0ALT  39173  limclner  39883  stoweidlem5  40222  stoweidlem28  40245  stoweidlem59  40276  stoweid  40280  stirlinglem12  40302  fourierswlem  40447  fouriersw  40448