Theorem ifscgr 32151

Description: Inner five segment congruence. Take two triangles, A D C and E H G, with B between A and C and F between E and G. If the other components of the triangles are congruent, then so are B D and F H. Theorem 4.2 of [Schwabhauser] p. 34. (Contributed by Scott Fenton, 27-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ifscgr	|- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. <. A , B >. , <. C , D >. >. InnerFiveSeg <. <. E , F >. , <. G , H >. >. -> <. B , D >.Cgr <. F , H >. ) )

Proof of Theorem ifscgr

Dummy variables e f are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brifs 32150	. 2 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. <. A , B >. , <. C , D >. >. InnerFiveSeg <. <. E , F >. , <. G , H >. >. <-> ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) )
2		simp1l 1085	. . . . . 6 |- ( ( ( B Btwn <. C , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. C , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) -> B Btwn <. C , C >. )
3		simp11 1091	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> N e. NN )
4		simp13 1093	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> B e. ( EE ` N ) )
5		simp21 1094	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> C e. ( EE ` N ) )
6		axbtwnid 25819	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) -> ( B Btwn <. C , C >. -> B = C ) )
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> ( B Btwn <. C , C >. -> B = C ) )
8	2, 7	syl5 34	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( ( B Btwn <. C , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. C , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) -> B = C ) )
9		simp2r 1088	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B Btwn <. C , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. C , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) -> <. B , C >.Cgr <. F , G >. )
10		simp3r 1090	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B Btwn <. C , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. C , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) -> <. C , D >.Cgr <. G , H >. )
11	9, 10	jca 554	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B Btwn <. C , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. C , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) -> ( <. B , C >.Cgr <. F , G >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) )
12		opeq2 4403	. . . . . . . . . . 11 |- ( B = C -> <. B , B >. = <. B , C >. )
13	12	breq1d 4663	. . . . . . . . . 10 |- ( B = C -> ( <. B , B >.Cgr <. F , G >. <-> <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) )
14		opeq1 4402	. . . . . . . . . . 11 |- ( B = C -> <. B , D >. = <. C , D >. )
15	14	breq1d 4663	. . . . . . . . . 10 |- ( B = C -> ( <. B , D >.Cgr <. G , H >. <-> <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) )
16	13, 15	anbi12d 747	. . . . . . . . 9 |- ( B = C -> ( ( <. B , B >.Cgr <. F , G >. /\ <. B , D >.Cgr <. G , H >. ) <-> ( <. B , C >.Cgr <. F , G >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) )
17	16	biimprd 238	. . . . . . . 8 |- ( B = C -> ( ( <. B , C >.Cgr <. F , G >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) -> ( <. B , B >.Cgr <. F , G >. /\ <. B , D >.Cgr <. G , H >. ) ) )
18	11, 17	mpan9 486	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( B Btwn <. C , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. C , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) /\ B = C ) -> ( <. B , B >.Cgr <. F , G >. /\ <. B , D >.Cgr <. G , H >. ) )
19		simp31 1097	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> F e. ( EE ` N ) )
20		simp32 1098	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> G e. ( EE ` N ) )
21		cgrid2 32110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ ( B e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. B , B >.Cgr <. F , G >. -> F = G ) )
22	3, 4, 19, 20, 21	syl13anc 1328	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. B , B >.Cgr <. F , G >. -> F = G ) )
23		opeq1 4402	. . . . . . . . . . 11 |- ( F = G -> <. F , H >. = <. G , H >. )
24	23	breq2d 4665	. . . . . . . . . 10 |- ( F = G -> ( <. B , D >.Cgr <. F , H >. <-> <. B , D >.Cgr <. G , H >. ) )
25	24	biimprd 238	. . . . . . . . 9 |- ( F = G -> ( <. B , D >.Cgr <. G , H >. -> <. B , D >.Cgr <. F , H >. ) )
26	22, 25	syl6 35	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. B , B >.Cgr <. F , G >. -> ( <. B , D >.Cgr <. G , H >. -> <. B , D >.Cgr <. F , H >. ) ) )
27	26	impd 447	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( <. B , B >.Cgr <. F , G >. /\ <. B , D >.Cgr <. G , H >. ) -> <. B , D >.Cgr <. F , H >. ) )
28	18, 27	syl5 34	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( ( ( B Btwn <. C , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. C , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) /\ B = C ) -> <. B , D >.Cgr <. F , H >. ) )
29	28	expd 452	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( ( B Btwn <. C , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. C , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) -> ( B = C -> <. B , D >.Cgr <. F , H >. ) ) )
30	8, 29	mpdd 43	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( ( B Btwn <. C , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. C , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) -> <. B , D >.Cgr <. F , H >. ) )
31		opeq1 4402	. . . . . . . 8 |- ( A = C -> <. A , C >. = <. C , C >. )
32	31	breq2d 4665	. . . . . . 7 |- ( A = C -> ( B Btwn <. A , C >. <-> B Btwn <. C , C >. ) )
33	32	anbi1d 741	. . . . . 6 |- ( A = C -> ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) <-> ( B Btwn <. C , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) ) )
34	31	breq1d 4663	. . . . . . 7 |- ( A = C -> ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. <-> <. C , C >.Cgr <. E , G >. ) )
35	34	anbi1d 741	. . . . . 6 |- ( A = C -> ( ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) <-> ( <. C , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) ) )
36	33, 35	3anbi12d 1400	. . . . 5 |- ( A = C -> ( ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) <-> ( ( B Btwn <. C , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. C , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) )
37	36	imbi1d 331	. . . 4 |- ( A = C -> ( ( ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) -> <. B , D >.Cgr <. F , H >. ) <-> ( ( ( B Btwn <. C , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. C , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) -> <. B , D >.Cgr <. F , H >. ) ) )
38	30, 37	syl5ibr 236	. . 3 |- ( A = C -> ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) -> <. B , D >.Cgr <. F , H >. ) ) )
39		simp12 1092	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> A e. ( EE ` N ) )
40		btwndiff 32134	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) -> E. e e. ( EE ` N ) ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) )
41	3, 39, 5, 40	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> E. e e. ( EE ` N ) ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) )
42		simpl11 1136	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ e e. ( EE ` N ) ) -> N e. NN )
43		simpl23 1141	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ e e. ( EE ` N ) ) -> E e. ( EE ` N ) )
44		simpl32 1143	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ e e. ( EE ` N ) ) -> G e. ( EE ` N ) )
45		simpl21 1139	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ e e. ( EE ` N ) ) -> C e. ( EE ` N ) )
46		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ e e. ( EE ` N ) ) -> e e. ( EE ` N ) )
47		axsegcon 25807	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ ( E e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ e e. ( EE ` N ) ) ) -> E. f e. ( EE ` N ) ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) )
48	42, 43, 44, 45, 46, 47	syl122anc 1335	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ e e. ( EE ` N ) ) -> E. f e. ( EE ` N ) ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) )
49		anass 681	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) /\ A =/= C ) ) <-> ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) /\ ( ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) /\ A =/= C ) ) ) )
50		anass 681	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) /\ A =/= C ) <-> ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) /\ A =/= C ) ) )
51		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) -> C Btwn <. A , e >. )
52	51	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) ) -> C Btwn <. A , e >. )
53		simplll 798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) -> G Btwn <. E , f >. )
54	53	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) ) -> G Btwn <. E , f >. )
55	52, 54	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) ) -> ( C Btwn <. A , e >. /\ G Btwn <. E , f >. ) )
56		simpr2l 1120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) -> <. A , C >.Cgr <. E , G >. )
57	56	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) ) -> <. A , C >.Cgr <. E , G >. )
58		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) -> <. G , f >.Cgr <. C , e >. )
59	58	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) ) -> <. G , f >.Cgr <. C , e >. )
60	3	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) ) -> N e. NN )
61	20	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) ) -> G e. ( EE ` N ) )
62		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) ) -> f e. ( EE ` N ) )
63	5	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) ) -> C e. ( EE ` N ) )
64		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) ) -> e e. ( EE ` N ) )
65		cgrcom 32097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( N e. NN /\ ( G e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ e e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. G , f >.Cgr <. C , e >. <-> <. C , e >.Cgr <. G , f >. ) )
66	60, 61, 62, 63, 64, 65	syl122anc 1335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) ) -> ( <. G , f >.Cgr <. C , e >. <-> <. C , e >.Cgr <. G , f >. ) )
67	59, 66	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) ) -> <. C , e >.Cgr <. G , f >. )
68	57, 67	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) ) -> ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. C , e >.Cgr <. G , f >. ) )
69		simprr3 1111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) ) -> ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) )
70	55, 68, 69	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) ) -> ( ( C Btwn <. A , e >. /\ G Btwn <. E , f >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. C , e >.Cgr <. G , f >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) )
71	70	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) -> ( ( C Btwn <. A , e >. /\ G Btwn <. E , f >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. C , e >.Cgr <. G , f >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) )
72		simpl11 1136	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) -> N e. NN )
73		simpl12 1137	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) -> A e. ( EE ` N ) )
74		simpl21 1139	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) -> C e. ( EE ` N ) )
75		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) -> e e. ( EE ` N ) )
76		simpl22 1140	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) -> D e. ( EE ` N ) )
77		simpl23 1141	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) -> E e. ( EE ` N ) )
78		simpl32 1143	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) -> G e. ( EE ` N ) )
79		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) -> f e. ( EE ` N ) )
80		simpl33 1144	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) -> H e. ( EE ` N ) )
81		brofs 32112	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( G e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. <. A , C >. , <. e , D >. >. OuterFiveSeg <. <. E , G >. , <. f , H >. >. <-> ( ( C Btwn <. A , e >. /\ G Btwn <. E , f >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. C , e >.Cgr <. G , f >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) )
82	72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81	syl333anc 1358	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. <. A , C >. , <. e , D >. >. OuterFiveSeg <. <. E , G >. , <. f , H >. >. <-> ( ( C Btwn <. A , e >. /\ G Btwn <. E , f >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. C , e >.Cgr <. G , f >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) )
83	71, 82	sylibrd 249	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) -> <. <. A , C >. , <. e , D >. >. OuterFiveSeg <. <. E , G >. , <. f , H >. >. ) )
84		5segofs 32113	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( G e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( <. <. A , C >. , <. e , D >. >. OuterFiveSeg <. <. E , G >. , <. f , H >. >. /\ A =/= C ) -> <. e , D >.Cgr <. f , H >. ) )
85	72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 84	syl333anc 1358	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( <. <. A , C >. , <. e , D >. >. OuterFiveSeg <. <. E , G >. , <. f , H >. >. /\ A =/= C ) -> <. e , D >.Cgr <. f , H >. ) )
86	83, 85	syland 498	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) /\ A =/= C ) -> <. e , D >.Cgr <. f , H >. ) )
87		simpr1l 1118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) -> B Btwn <. A , C >. )
88	87	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) /\ <. e , D >.Cgr <. f , H >. ) -> B Btwn <. A , C >. )
89	51	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) /\ <. e , D >.Cgr <. f , H >. ) -> C Btwn <. A , e >. )
90	88, 89	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) /\ <. e , D >.Cgr <. f , H >. ) -> ( B Btwn <. A , C >. /\ C Btwn <. A , e >. ) )
91		simpr1r 1119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) -> F Btwn <. E , G >. )
92	91	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) /\ <. e , D >.Cgr <. f , H >. ) -> F Btwn <. E , G >. )
93	53	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) /\ <. e , D >.Cgr <. f , H >. ) -> G Btwn <. E , f >. )
94	90, 92, 93	jca32 558	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) /\ <. e , D >.Cgr <. f , H >. ) -> ( ( B Btwn <. A , C >. /\ C Btwn <. A , e >. ) /\ ( F Btwn <. E , G >. /\ G Btwn <. E , f >. ) ) )
95		simpl13 1138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) -> B e. ( EE ` N ) )
96		btwnexch3 32127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ e e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( B Btwn <. A , C >. /\ C Btwn <. A , e >. ) -> C Btwn <. B , e >. ) )
97	72, 73, 95, 74, 75, 96	syl122anc 1335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( B Btwn <. A , C >. /\ C Btwn <. A , e >. ) -> C Btwn <. B , e >. ) )
98		simpl31 1142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) -> F e. ( EE ` N ) )
99		btwnexch3 32127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( N e. NN /\ ( E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) /\ ( G e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( F Btwn <. E , G >. /\ G Btwn <. E , f >. ) -> G Btwn <. F , f >. ) )
100	72, 77, 98, 78, 79, 99	syl122anc 1335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( F Btwn <. E , G >. /\ G Btwn <. E , f >. ) -> G Btwn <. F , f >. ) )
101	97, 100	anim12d 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( ( B Btwn <. A , C >. /\ C Btwn <. A , e >. ) /\ ( F Btwn <. E , G >. /\ G Btwn <. E , f >. ) ) -> ( C Btwn <. B , e >. /\ G Btwn <. F , f >. ) ) )
102	94, 101	syl5 34	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) /\ <. e , D >.Cgr <. f , H >. ) -> ( C Btwn <. B , e >. /\ G Btwn <. F , f >. ) ) )
103	102	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) /\ <. e , D >.Cgr <. f , H >. ) ) -> ( C Btwn <. B , e >. /\ G Btwn <. F , f >. ) )
104		btwncom 32121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( N e. NN /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ e e. ( EE ` N ) ) ) -> ( C Btwn <. B , e >. <-> C Btwn <. e , B >. ) )
105	72, 74, 95, 75, 104	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) -> ( C Btwn <. B , e >. <-> C Btwn <. e , B >. ) )
106		btwncom 32121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( N e. NN /\ ( G e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) -> ( G Btwn <. F , f >. <-> G Btwn <. f , F >. ) )
107	72, 78, 98, 79, 106	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) -> ( G Btwn <. F , f >. <-> G Btwn <. f , F >. ) )
108	105, 107	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( C Btwn <. B , e >. /\ G Btwn <. F , f >. ) <-> ( C Btwn <. e , B >. /\ G Btwn <. f , F >. ) ) )
109	108	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) /\ <. e , D >.Cgr <. f , H >. ) ) -> ( ( C Btwn <. B , e >. /\ G Btwn <. F , f >. ) <-> ( C Btwn <. e , B >. /\ G Btwn <. f , F >. ) ) )
110	103, 109	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) /\ <. e , D >.Cgr <. f , H >. ) ) -> ( C Btwn <. e , B >. /\ G Btwn <. f , F >. ) )
111	58	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) /\ <. e , D >.Cgr <. f , H >. ) ) -> <. G , f >.Cgr <. C , e >. )
112	72, 78, 79, 74, 75, 65	syl122anc 1335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. G , f >.Cgr <. C , e >. <-> <. C , e >.Cgr <. G , f >. ) )
113		cgrcomlr 32105	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( N e. NN /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ e e. ( EE ` N ) ) /\ ( G e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. C , e >.Cgr <. G , f >. <-> <. e , C >.Cgr <. f , G >. ) )
114	72, 74, 75, 78, 79, 113	syl122anc 1335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. C , e >.Cgr <. G , f >. <-> <. e , C >.Cgr <. f , G >. ) )
115	112, 114	bitrd 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. G , f >.Cgr <. C , e >. <-> <. e , C >.Cgr <. f , G >. ) )
116	115	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) /\ <. e , D >.Cgr <. f , H >. ) ) -> ( <. G , f >.Cgr <. C , e >. <-> <. e , C >.Cgr <. f , G >. ) )
117	111, 116	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) /\ <. e , D >.Cgr <. f , H >. ) ) -> <. e , C >.Cgr <. f , G >. )
118		simpr2r 1121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) -> <. B , C >.Cgr <. F , G >. )
119	118	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) /\ <. e , D >.Cgr <. f , H >. ) ) -> <. B , C >.Cgr <. F , G >. )
120	72, 95, 74, 98, 78, 119	cgrcomlrand 32108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) /\ <. e , D >.Cgr <. f , H >. ) ) -> <. C , B >.Cgr <. G , F >. )
121	117, 120	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) /\ <. e , D >.Cgr <. f , H >. ) ) -> ( <. e , C >.Cgr <. f , G >. /\ <. C , B >.Cgr <. G , F >. ) )
122		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) /\ <. e , D >.Cgr <. f , H >. ) ) -> <. e , D >.Cgr <. f , H >. )
123		simpr3r 1123	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) -> <. C , D >.Cgr <. G , H >. )
124	123	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) /\ <. e , D >.Cgr <. f , H >. ) ) -> <. C , D >.Cgr <. G , H >. )
125	122, 124	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) /\ <. e , D >.Cgr <. f , H >. ) ) -> ( <. e , D >.Cgr <. f , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) )
126	110, 121, 125	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) /\ <. e , D >.Cgr <. f , H >. ) ) -> ( ( C Btwn <. e , B >. /\ G Btwn <. f , F >. ) /\ ( <. e , C >.Cgr <. f , G >. /\ <. C , B >.Cgr <. G , F >. ) /\ ( <. e , D >.Cgr <. f , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) )
127	126	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) /\ <. e , D >.Cgr <. f , H >. ) -> ( ( C Btwn <. e , B >. /\ G Btwn <. f , F >. ) /\ ( <. e , C >.Cgr <. f , G >. /\ <. C , B >.Cgr <. G , F >. ) /\ ( <. e , D >.Cgr <. f , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) )
128		brofs 32112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( N e. NN /\ e e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( B e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) /\ ( G e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. <. e , C >. , <. B , D >. >. OuterFiveSeg <. <. f , G >. , <. F , H >. >. <-> ( ( C Btwn <. e , B >. /\ G Btwn <. f , F >. ) /\ ( <. e , C >.Cgr <. f , G >. /\ <. C , B >.Cgr <. G , F >. ) /\ ( <. e , D >.Cgr <. f , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) )
129	72, 75, 74, 95, 76, 79, 78, 98, 80, 128	syl333anc 1358	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. <. e , C >. , <. B , D >. >. OuterFiveSeg <. <. f , G >. , <. F , H >. >. <-> ( ( C Btwn <. e , B >. /\ G Btwn <. f , F >. ) /\ ( <. e , C >.Cgr <. f , G >. /\ <. C , B >.Cgr <. G , F >. ) /\ ( <. e , D >.Cgr <. f , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) )
130	127, 129	sylibrd 249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) /\ <. e , D >.Cgr <. f , H >. ) -> <. <. e , C >. , <. B , D >. >. OuterFiveSeg <. <. f , G >. , <. F , H >. >. ) )
131		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) -> C =/= e )
132	131	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) /\ <. e , D >.Cgr <. f , H >. ) -> C =/= e )
133	132	necomd 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) /\ <. e , D >.Cgr <. f , H >. ) -> e =/= C )
134	133	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) /\ <. e , D >.Cgr <. f , H >. ) -> e =/= C ) )
135	130, 134	jcad 555	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) /\ <. e , D >.Cgr <. f , H >. ) -> ( <. <. e , C >. , <. B , D >. >. OuterFiveSeg <. <. f , G >. , <. F , H >. >. /\ e =/= C ) ) )
136		5segofs 32113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( N e. NN /\ e e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( B e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) /\ ( G e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( <. <. e , C >. , <. B , D >. >. OuterFiveSeg <. <. f , G >. , <. F , H >. >. /\ e =/= C ) -> <. B , D >.Cgr <. F , H >. ) )
137	72, 75, 74, 95, 76, 79, 78, 98, 80, 136	syl333anc 1358	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( <. <. e , C >. , <. B , D >. >. OuterFiveSeg <. <. f , G >. , <. F , H >. >. /\ e =/= C ) -> <. B , D >.Cgr <. F , H >. ) )
138	135, 137	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) /\ <. e , D >.Cgr <. f , H >. ) -> <. B , D >.Cgr <. F , H >. ) )
139	138	expd 452	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) -> ( <. e , D >.Cgr <. f , H >. -> <. B , D >.Cgr <. F , H >. ) ) )
140	139	adantrd 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) /\ A =/= C ) -> ( <. e , D >.Cgr <. f , H >. -> <. B , D >.Cgr <. F , H >. ) ) )
141	86, 140	mpdd 43	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) ) /\ A =/= C ) -> <. B , D >.Cgr <. F , H >. ) )
142	50, 141	syl5bir 233	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) ) /\ ( ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) /\ A =/= C ) ) -> <. B , D >.Cgr <. F , H >. ) )
143	49, 142	syl5bir 233	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) /\ ( ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) /\ ( ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) /\ A =/= C ) ) ) -> <. B , D >.Cgr <. F , H >. ) )
144	143	expd 452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( e e. ( EE ` N ) /\ f e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) -> ( ( ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) /\ ( ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) /\ A =/= C ) ) -> <. B , D >.Cgr <. F , H >. ) ) )
145	144	anassrs 680	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ e e. ( EE ` N ) ) /\ f e. ( EE ` N ) ) -> ( ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) -> ( ( ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) /\ ( ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) /\ A =/= C ) ) -> <. B , D >.Cgr <. F , H >. ) ) )
146	145	rexlimdva 3031	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ e e. ( EE ` N ) ) -> ( E. f e. ( EE ` N ) ( G Btwn <. E , f >. /\ <. G , f >.Cgr <. C , e >. ) -> ( ( ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) /\ ( ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) /\ A =/= C ) ) -> <. B , D >.Cgr <. F , H >. ) ) )
147	48, 146	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ e e. ( EE ` N ) ) -> ( ( ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) /\ ( ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) /\ A =/= C ) ) -> <. B , D >.Cgr <. F , H >. ) )
148	147	expd 452	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ e e. ( EE ` N ) ) -> ( ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) -> ( ( ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) /\ A =/= C ) -> <. B , D >.Cgr <. F , H >. ) ) )
149	148	rexlimdva 3031	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> ( E. e e. ( EE ` N ) ( C Btwn <. A , e >. /\ C =/= e ) -> ( ( ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) /\ A =/= C ) -> <. B , D >.Cgr <. F , H >. ) ) )
150	41, 149	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) /\ A =/= C ) -> <. B , D >.Cgr <. F , H >. ) )
151	150	expd 452	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) -> ( A =/= C -> <. B , D >.Cgr <. F , H >. ) ) )
152	151	com3r 87	. . 3 |- ( A =/= C -> ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) -> <. B , D >.Cgr <. F , H >. ) ) )
153	38, 152	pm2.61ine 2877	. 2 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( ( B Btwn <. A , C >. /\ F Btwn <. E , G >. ) /\ ( <. A , C >.Cgr <. E , G >. /\ <. B , C >.Cgr <. F , G >. ) /\ ( <. A , D >.Cgr <. E , H >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) -> <. B , D >.Cgr <. F , H >. ) )
154	1, 153	sylbid 230	1 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. <. A , B >. , <. C , D >. >. InnerFiveSeg <. <. E , F >. , <. G , H >. >. -> <. B , D >.Cgr <. F , H >. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   <.cop 4183   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   NNcn 11020   EEcee 25768   Btwn cbtwn 25769  Cgrccgr 25770   OuterFiveSeg cofs 32089   InnerFiveSeg cifs 32142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-ee 25771  df-btwn 25772  df-cgr 25773  df-ofs 32090  df-ifs 32147

This theorem is referenced by:  cgrsub  32152  btwnxfr  32163  fscgr  32187  btwnconn1lem5  32198  btwnconn1lem6  32199