Theorem xrralrecnnle 39602

Description: Show that A is less than B by showing that there is no positive bound on the difference. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrralrecnnle.n	|- F/ n ph
xrralrecnnle.a	|- ( ph -> A e. RR* )
xrralrecnnle.b	|- ( ph -> B e. RR )

Assertion

Ref	Expression
xrralrecnnle	|- ( ph -> ( A <_ B <-> A. n e. NN A <_ ( B + ( 1 / n ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, n   B, n

Allowed substitution hint:   ph( n)

Proof of Theorem xrralrecnnle

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrralrecnnle.n	. . . . 5 |- F/ n ph
2		nfv 1843	. . . . 5 |- F/ n A <_ B
3	1, 2	nfan 1828	. . . 4 |- F/ n ( ph /\ A <_ B )
4		xrralrecnnle.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. RR* )
5	4	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ n e. NN ) -> A e. RR* )
6		xrralrecnnle.b	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B e. RR )
7	6	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> B e. RR )
8		nnrecre 11057	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> ( 1 / n ) e. RR )
9	8	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 1 / n ) e. RR )
10	7, 9	readdcld 10069	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( B + ( 1 / n ) ) e. RR )
11	10	rexrd 10089	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( B + ( 1 / n ) ) e. RR* )
12	11	adantlr 751	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ n e. NN ) -> ( B + ( 1 / n ) ) e. RR* )
13		rexr 10085	. . . . . . . . 9 |- ( B e. RR -> B e. RR* )
14	6, 13	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. RR* )
15	14	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ n e. NN ) -> B e. RR* )
16		simplr 792	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ n e. NN ) -> A <_ B )
17		nnrp 11842	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN -> n e. RR+ )
18		rpreccl 11857	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. RR+ -> ( 1 / n ) e. RR+ )
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> ( 1 / n ) e. RR+ )
20	19	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 1 / n ) e. RR+ )
21	7, 20	ltaddrpd 11905	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> B < ( B + ( 1 / n ) ) )
22	21	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ n e. NN ) -> B < ( B + ( 1 / n ) ) )
23	5, 15, 12, 16, 22	xrlelttrd 11991	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ n e. NN ) -> A < ( B + ( 1 / n ) ) )
24	5, 12, 23	xrltled 39486	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ n e. NN ) -> A <_ ( B + ( 1 / n ) ) )
25	24	ex 450	. . . 4 |- ( ( ph /\ A <_ B ) -> ( n e. NN -> A <_ ( B + ( 1 / n ) ) ) )
26	3, 25	ralrimi 2957	. . 3 |- ( ( ph /\ A <_ B ) -> A. n e. NN A <_ ( B + ( 1 / n ) ) )
27	26	ex 450	. 2 |- ( ph -> ( A <_ B -> A. n e. NN A <_ ( B + ( 1 / n ) ) ) )
28		rpgtrecnn 39597	. . . . . . 7 |- ( x e. RR+ -> E. n e. NN ( 1 / n ) < x )
29	28	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A. n e. NN A <_ ( B + ( 1 / n ) ) ) /\ x e. RR+ ) -> E. n e. NN ( 1 / n ) < x )
30		nfra1 2941	. . . . . . . . 9 |- F/ n A. n e. NN A <_ ( B + ( 1 / n ) )
31	1, 30	nfan 1828	. . . . . . . 8 |- F/ n ( ph /\ A. n e. NN A <_ ( B + ( 1 / n ) ) )
32		nfv 1843	. . . . . . . 8 |- F/ n x e. RR+
33	31, 32	nfan 1828	. . . . . . 7 |- F/ n ( ( ph /\ A. n e. NN A <_ ( B + ( 1 / n ) ) ) /\ x e. RR+ )
34		nfv 1843	. . . . . . 7 |- F/ n A <_ ( B + x )
35		simpll 790	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ A. n e. NN A <_ ( B + ( 1 / n ) ) ) /\ n e. NN ) -> ph )
36		rspa 2930	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. n e. NN A <_ ( B + ( 1 / n ) ) /\ n e. NN ) -> A <_ ( B + ( 1 / n ) ) )
37	36	adantll 750	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ A. n e. NN A <_ ( B + ( 1 / n ) ) ) /\ n e. NN ) -> A <_ ( B + ( 1 / n ) ) )
38	35, 37	jca 554	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A. n e. NN A <_ ( B + ( 1 / n ) ) ) /\ n e. NN ) -> ( ph /\ A <_ ( B + ( 1 / n ) ) ) )
39	38	adantlr 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ A. n e. NN A <_ ( B + ( 1 / n ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ n e. NN ) -> ( ph /\ A <_ ( B + ( 1 / n ) ) ) )
40		simplr 792	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ A. n e. NN A <_ ( B + ( 1 / n ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ n e. NN ) -> x e. RR+ )
41		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ A. n e. NN A <_ ( B + ( 1 / n ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ n e. NN ) -> n e. NN )
42	4	ad4antr 768	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ A <_ ( B + ( 1 / n ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( 1 / n ) < x ) -> A e. RR* )
43	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> B e. RR )
44		rpre 11839	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. RR+ -> x e. RR )
45	44	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x e. RR )
46	43, 45	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( B + x ) e. RR )
47	46	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( B + x ) e. RR* )
48	47	ad5ant13 1301	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ A <_ ( B + ( 1 / n ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( 1 / n ) < x ) -> ( B + x ) e. RR* )
49	11	ad5ant14 1302	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ A <_ ( B + ( 1 / n ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( 1 / n ) < x ) -> ( B + ( 1 / n ) ) e. RR* )
50		simp-4r 807	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ A <_ ( B + ( 1 / n ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( 1 / n ) < x ) -> A <_ ( B + ( 1 / n ) ) )
51	8	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( 1 / n ) < x ) -> ( 1 / n ) e. RR )
52	45	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( 1 / n ) < x ) -> x e. RR )
53	43	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( 1 / n ) < x ) -> B e. RR )
54		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( 1 / n ) < x ) -> ( 1 / n ) < x )
55	51, 52, 53, 54	ltadd2dd 10196	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( 1 / n ) < x ) -> ( B + ( 1 / n ) ) < ( B + x ) )
56	55	adantlllr 39199	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ A <_ ( B + ( 1 / n ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( 1 / n ) < x ) -> ( B + ( 1 / n ) ) < ( B + x ) )
57	42, 49, 48, 50, 56	xrlelttrd 11991	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ A <_ ( B + ( 1 / n ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( 1 / n ) < x ) -> A < ( B + x ) )
58	42, 48, 57	xrltled 39486	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ A <_ ( B + ( 1 / n ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( 1 / n ) < x ) -> A <_ ( B + x ) )
59	58	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ ( B + ( 1 / n ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ n e. NN ) -> ( ( 1 / n ) < x -> A <_ ( B + x ) ) )
60	39, 40, 41, 59	syl21anc 1325	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ A. n e. NN A <_ ( B + ( 1 / n ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ n e. NN ) -> ( ( 1 / n ) < x -> A <_ ( B + x ) ) )
61	60	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A. n e. NN A <_ ( B + ( 1 / n ) ) ) /\ x e. RR+ ) -> ( n e. NN -> ( ( 1 / n ) < x -> A <_ ( B + x ) ) ) )
62	33, 34, 61	rexlimd 3026	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A. n e. NN A <_ ( B + ( 1 / n ) ) ) /\ x e. RR+ ) -> ( E. n e. NN ( 1 / n ) < x -> A <_ ( B + x ) ) )
63	29, 62	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A. n e. NN A <_ ( B + ( 1 / n ) ) ) /\ x e. RR+ ) -> A <_ ( B + x ) )
64	63	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ( ph /\ A. n e. NN A <_ ( B + ( 1 / n ) ) ) -> A. x e. RR+ A <_ ( B + x ) )
65		xralrple 12036	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> A. x e. RR+ A <_ ( B + x ) ) )
66	4, 6, 65	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> ( A <_ B <-> A. x e. RR+ A <_ ( B + x ) ) )
67	66	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ A. n e. NN A <_ ( B + ( 1 / n ) ) ) -> ( A <_ B <-> A. x e. RR+ A <_ ( B + x ) ) )
68	64, 67	mpbird 247	. . 3 |- ( ( ph /\ A. n e. NN A <_ ( B + ( 1 / n ) ) ) -> A <_ B )
69	68	ex 450	. 2 |- ( ph -> ( A. n e. NN A <_ ( B + ( 1 / n ) ) -> A <_ B ) )
70	27, 69	impbid 202	1 |- ( ph -> ( A <_ B <-> A. n e. NN A <_ ( B + ( 1 / n ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   F/wnf 1708   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   / cdiv 10684   NNcn 11020   RR+crp 11832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-fl 12593

This theorem is referenced by:  xrralrecnnge  39613  iooiinicc  39769  iooiinioc  39783  iinhoiicclem  40887  preimaleiinlt  40931