Theorem imastopn 21523

Description: The topology of an image structure. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
imastps.u	|- ( ph -> U = ( F "s R ) )
imastps.v	|- ( ph -> V = ( Base ` R ) )
imastps.f	|- ( ph -> F : V -onto-> B )
imastopn.r	|- ( ph -> R e. W )
imastopn.j	|- J = ( TopOpen ` R )
imastopn.o	|- O = ( TopOpen ` U )

Assertion

Ref	Expression
imastopn	|- ( ph -> O = ( J qTop F ) )

Proof of Theorem imastopn

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imastps.u	. . . . . . 7 |- ( ph -> U = ( F "s R ) )
2		imastps.v	. . . . . . 7 |- ( ph -> V = ( Base ` R ) )
3		imastps.f	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : V -onto-> B )
4		imastopn.r	. . . . . . 7 |- ( ph -> R e. W )
5		imastopn.j	. . . . . . 7 |- J = ( TopOpen ` R )
6		eqid 2622	. . . . . . 7 |- (TopSet ` U ) = (TopSet ` U )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	imastset 16182	. . . . . 6 |- ( ph -> (TopSet ` U ) = ( J qTop F ) )
8		fvex 6201	. . . . . . . 8 |- ( TopOpen ` R ) e. _V
9	5, 8	eqeltri 2697	. . . . . . 7 |- J e. _V
10		fofn 6117	. . . . . . . . 9 |- ( F : V -onto-> B -> F Fn V )
11	3, 10	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F Fn V )
12		fvex 6201	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` R ) e. _V
13	2, 12	syl6eqel 2709	. . . . . . . 8 |- ( ph -> V e. _V )
14		fnex 6481	. . . . . . . 8 |- ( ( F Fn V /\ V e. _V ) -> F e. _V )
15	11, 13, 14	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> F e. _V )
16		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- U. J = U. J
17	16	qtopval 21498	. . . . . . 7 |- ( ( J e. _V /\ F e. _V ) -> ( J qTop F ) = { x e. ~P ( F " U. J ) | ( ( `' F " x ) i^i U. J ) e. J } )
18	9, 15, 17	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ph -> ( J qTop F ) = { x e. ~P ( F " U. J ) | ( ( `' F " x ) i^i U. J ) e. J } )
19	7, 18	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ph -> (TopSet ` U ) = { x e. ~P ( F " U. J ) | ( ( `' F " x ) i^i U. J ) e. J } )
20		ssrab2 3687	. . . . . 6 |- { x e. ~P ( F " U. J ) | ( ( `' F " x ) i^i U. J ) e. J } C_ ~P ( F " U. J )
21		imassrn 5477	. . . . . . . 8 |- ( F " U. J ) C_ ran F
22		forn 6118	. . . . . . . . . 10 |- ( F : V -onto-> B -> ran F = B )
23	3, 22	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ran F = B )
24	1, 2, 3, 4	imasbas 16172	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> B = ( Base ` U ) )
25	23, 24	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ran F = ( Base ` U ) )
26	21, 25	syl5sseq 3653	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F " U. J ) C_ ( Base ` U ) )
27		sspwb 4917	. . . . . . 7 |- ( ( F " U. J ) C_ ( Base ` U ) <-> ~P ( F " U. J ) C_ ~P ( Base ` U ) )
28	26, 27	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ph -> ~P ( F " U. J ) C_ ~P ( Base ` U ) )
29	20, 28	syl5ss 3614	. . . . 5 |- ( ph -> { x e. ~P ( F " U. J ) | ( ( `' F " x ) i^i U. J ) e. J } C_ ~P ( Base ` U ) )
30	19, 29	eqsstrd 3639	. . . 4 |- ( ph -> (TopSet ` U ) C_ ~P ( Base ` U ) )
31		eqid 2622	. . . . 5 |- ( Base ` U ) = ( Base ` U )
32	31, 6	topnid 16096	. . . 4 |- ( (TopSet ` U ) C_ ~P ( Base ` U ) -> (TopSet ` U ) = ( TopOpen ` U ) )
33	30, 32	syl 17	. . 3 |- ( ph -> (TopSet ` U ) = ( TopOpen ` U ) )
34		imastopn.o	. . 3 |- O = ( TopOpen ` U )
35	33, 34	syl6eqr 2674	. 2 |- ( ph -> (TopSet ` U ) = O )
36	35, 7	eqtr3d 2658	1 |- ( ph -> O = ( J qTop F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   `'ccnv 5113   ran crn 5115   "cima 5117   Fn wfn 5883   -onto->wfo 5886   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857  TopSetcts 15947   TopOpenctopn 16082   qTop cqtop 16163   "_s cimas 16164

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-rest 16083  df-topn 16084  df-qtop 16167  df-imas 16168

This theorem is referenced by:  imastps  21524  xpstopnlem2  21614  qustgpopn  21923  qustgplem  21924  qustgphaus  21926  imasf1oxms  22294