Theorem ioorinv2 23343

Description: The function F is an "inverse" of sorts to the open interval function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.) (Revised by AV, 13-Sep-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
ioorf.1	|- F = ( x e. ran (,) |-> if ( x = (/) , <. 0 , 0 >. , <.inf ( x , RR* , < ) , sup ( x , RR* , < ) >. ) )

Assertion

Ref	Expression
ioorinv2	|- ( ( A (,) B ) =/= (/) -> ( F ` ( A (,) B ) ) = <. A , B >. )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hint:   F( x)

Proof of Theorem ioorinv2

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioorebas 12275	. . 3 |- ( A (,) B ) e. ran (,)
2		ioorf.1	. . . 4 |- F = ( x e. ran (,) |-> if ( x = (/) , <. 0 , 0 >. , <.inf ( x , RR* , < ) , sup ( x , RR* , < ) >. ) )
3	2	ioorval 23342	. . 3 |- ( ( A (,) B ) e. ran (,) -> ( F ` ( A (,) B ) ) = if ( ( A (,) B ) = (/) , <. 0 , 0 >. , <.inf ( ( A (,) B ) , RR* , < ) , sup ( ( A (,) B ) , RR* , < ) >. ) )
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 |- ( F ` ( A (,) B ) ) = if ( ( A (,) B ) = (/) , <. 0 , 0 >. , <.inf ( ( A (,) B ) , RR* , < ) , sup ( ( A (,) B ) , RR* , < ) >. )
5		ifnefalse 4098	. . 3 |- ( ( A (,) B ) =/= (/) -> if ( ( A (,) B ) = (/) , <. 0 , 0 >. , <.inf ( ( A (,) B ) , RR* , < ) , sup ( ( A (,) B ) , RR* , < ) >. ) = <.inf ( ( A (,) B ) , RR* , < ) , sup ( ( A (,) B ) , RR* , < ) >. )
6		n0 3931	. . . . . . 7 |- ( ( A (,) B ) =/= (/) <-> E. x x e. ( A (,) B ) )
7		eliooxr 12232	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( A (,) B ) -> ( A e. RR* /\ B e. RR* ) )
8	7	exlimiv 1858	. . . . . . 7 |- ( E. x x e. ( A (,) B ) -> ( A e. RR* /\ B e. RR* ) )
9	6, 8	sylbi 207	. . . . . 6 |- ( ( A (,) B ) =/= (/) -> ( A e. RR* /\ B e. RR* ) )
10	9	simpld 475	. . . . 5 |- ( ( A (,) B ) =/= (/) -> A e. RR* )
11	9	simprd 479	. . . . 5 |- ( ( A (,) B ) =/= (/) -> B e. RR* )
12		id 22	. . . . 5 |- ( ( A (,) B ) =/= (/) -> ( A (,) B ) =/= (/) )
13		df-ioo 12179	. . . . . 6 |- (,) = ( x e. RR* , y e. RR* |-> { z e. RR* | ( x < z /\ z < y ) } )
14		idd 24	. . . . . 6 |- ( ( w e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( w < B -> w < B ) )
15		xrltle 11982	. . . . . 6 |- ( ( w e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( w < B -> w <_ B ) )
16		idd 24	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ w e. RR* ) -> ( A < w -> A < w ) )
17		xrltle 11982	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ w e. RR* ) -> ( A < w -> A <_ w ) )
18	13, 14, 15, 16, 17	ixxlb 12197	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ ( A (,) B ) =/= (/) ) -> inf ( ( A (,) B ) , RR* , < ) = A )
19	10, 11, 12, 18	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( A (,) B ) =/= (/) -> inf ( ( A (,) B ) , RR* , < ) = A )
20	13, 14, 15, 16, 17	ixxub 12196	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ ( A (,) B ) =/= (/) ) -> sup ( ( A (,) B ) , RR* , < ) = B )
21	10, 11, 12, 20	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( A (,) B ) =/= (/) -> sup ( ( A (,) B ) , RR* , < ) = B )
22	19, 21	opeq12d 4410	. . 3 |- ( ( A (,) B ) =/= (/) -> <.inf ( ( A (,) B ) , RR* , < ) , sup ( ( A (,) B ) , RR* , < ) >. = <. A , B >. )
23	5, 22	eqtrd 2656	. 2 |- ( ( A (,) B ) =/= (/) -> if ( ( A (,) B ) = (/) , <. 0 , 0 >. , <.inf ( ( A (,) B ) , RR* , < ) , sup ( ( A (,) B ) , RR* , < ) >. ) = <. A , B >. )
24	4, 23	syl5eq 2668	1 |- ( ( A (,) B ) =/= (/) -> ( F ` ( A (,) B ) ) = <. A , B >. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   (/)c0 3915   ifcif 4086   <.cop 4183   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   supcsup 8346  infcinf 8347   0cc0 9936   RR*cxr 10073   < clt 10074   (,)cioo 12175

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-ioo 12179

This theorem is referenced by:  ioorinv  23344  ioorcl  23345