Theorem ioossioobi 39743

Description: Biconditional form of ioossioo 12265. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ioossioobi.a	|- ( ph -> A e. RR* )
ioossioobi.b	|- ( ph -> B e. RR* )
ioossioobi.c	|- ( ph -> C e. RR* )
ioossioobi.d	|- ( ph -> D e. RR* )
ioossioobi.cltd	|- ( ph -> C < D )

Assertion

Ref	Expression
ioossioobi	|- ( ph -> ( ( C (,) D ) C_ ( A (,) B ) <-> ( A <_ C /\ D <_ B ) ) )

Proof of Theorem ioossioobi

Dummy variables w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( C (,) D ) C_ ( A (,) B ) ) -> ( C (,) D ) C_ ( A (,) B ) )
2		df-ioo 12179	. . . . . 6 |- (,) = ( x e. RR* , y e. RR* |-> { z e. RR* | ( x < z /\ z < y ) } )
3	2	ixxssxr 12187	. . . . 5 |- ( A (,) B ) C_ RR*
4		infxrss 12169	. . . . 5 |- ( ( ( C (,) D ) C_ ( A (,) B ) /\ ( A (,) B ) C_ RR* ) -> inf ( ( A (,) B ) , RR* , < ) <_ inf ( ( C (,) D ) , RR* , < ) )
5	1, 3, 4	sylancl 694	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( C (,) D ) C_ ( A (,) B ) ) -> inf ( ( A (,) B ) , RR* , < ) <_ inf ( ( C (,) D ) , RR* , < ) )
6		ioossioobi.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. RR* )
7	6	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( C (,) D ) C_ ( A (,) B ) ) -> A e. RR* )
8		ioossioobi.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. RR* )
9	8	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( C (,) D ) C_ ( A (,) B ) ) -> B e. RR* )
10		ioossioobi.cltd	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C < D )
11		ioossioobi.c	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C e. RR* )
12		ioossioobi.d	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> D e. RR* )
13		ioon0 12201	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. RR* /\ D e. RR* ) -> ( ( C (,) D ) =/= (/) <-> C < D ) )
14	11, 12, 13	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( C (,) D ) =/= (/) <-> C < D ) )
15	10, 14	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( C (,) D ) =/= (/) )
16	15	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( C (,) D ) C_ ( A (,) B ) ) -> ( C (,) D ) =/= (/) )
17		ssn0 3976	. . . . . 6 |- ( ( ( C (,) D ) C_ ( A (,) B ) /\ ( C (,) D ) =/= (/) ) -> ( A (,) B ) =/= (/) )
18	1, 16, 17	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( C (,) D ) C_ ( A (,) B ) ) -> ( A (,) B ) =/= (/) )
19		idd 24	. . . . . 6 |- ( ( w e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( w < B -> w < B ) )
20		xrltle 11982	. . . . . 6 |- ( ( w e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( w < B -> w <_ B ) )
21		idd 24	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ w e. RR* ) -> ( A < w -> A < w ) )
22		xrltle 11982	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ w e. RR* ) -> ( A < w -> A <_ w ) )
23	2, 19, 20, 21, 22	ixxlb 12197	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ ( A (,) B ) =/= (/) ) -> inf ( ( A (,) B ) , RR* , < ) = A )
24	7, 9, 18, 23	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( C (,) D ) C_ ( A (,) B ) ) -> inf ( ( A (,) B ) , RR* , < ) = A )
25	11	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( C (,) D ) C_ ( A (,) B ) ) -> C e. RR* )
26	12	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( C (,) D ) C_ ( A (,) B ) ) -> D e. RR* )
27		idd 24	. . . . . 6 |- ( ( w e. RR* /\ D e. RR* ) -> ( w < D -> w < D ) )
28		xrltle 11982	. . . . . 6 |- ( ( w e. RR* /\ D e. RR* ) -> ( w < D -> w <_ D ) )
29		idd 24	. . . . . 6 |- ( ( C e. RR* /\ w e. RR* ) -> ( C < w -> C < w ) )
30		xrltle 11982	. . . . . 6 |- ( ( C e. RR* /\ w e. RR* ) -> ( C < w -> C <_ w ) )
31	2, 27, 28, 29, 30	ixxlb 12197	. . . . 5 |- ( ( C e. RR* /\ D e. RR* /\ ( C (,) D ) =/= (/) ) -> inf ( ( C (,) D ) , RR* , < ) = C )
32	25, 26, 16, 31	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( C (,) D ) C_ ( A (,) B ) ) -> inf ( ( C (,) D ) , RR* , < ) = C )
33	5, 24, 32	3brtr3d 4684	. . 3 |- ( ( ph /\ ( C (,) D ) C_ ( A (,) B ) ) -> A <_ C )
34		supxrss 12162	. . . . 5 |- ( ( ( C (,) D ) C_ ( A (,) B ) /\ ( A (,) B ) C_ RR* ) -> sup ( ( C (,) D ) , RR* , < ) <_ sup ( ( A (,) B ) , RR* , < ) )
35	1, 3, 34	sylancl 694	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( C (,) D ) C_ ( A (,) B ) ) -> sup ( ( C (,) D ) , RR* , < ) <_ sup ( ( A (,) B ) , RR* , < ) )
36	2, 27, 28, 29, 30	ixxub 12196	. . . . 5 |- ( ( C e. RR* /\ D e. RR* /\ ( C (,) D ) =/= (/) ) -> sup ( ( C (,) D ) , RR* , < ) = D )
37	25, 26, 16, 36	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( C (,) D ) C_ ( A (,) B ) ) -> sup ( ( C (,) D ) , RR* , < ) = D )
38	2, 19, 20, 21, 22	ixxub 12196	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ ( A (,) B ) =/= (/) ) -> sup ( ( A (,) B ) , RR* , < ) = B )
39	7, 9, 18, 38	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( C (,) D ) C_ ( A (,) B ) ) -> sup ( ( A (,) B ) , RR* , < ) = B )
40	35, 37, 39	3brtr3d 4684	. . 3 |- ( ( ph /\ ( C (,) D ) C_ ( A (,) B ) ) -> D <_ B )
41	33, 40	jca 554	. 2 |- ( ( ph /\ ( C (,) D ) C_ ( A (,) B ) ) -> ( A <_ C /\ D <_ B ) )
42	6	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ ( A <_ C /\ D <_ B ) ) -> A e. RR* )
43	8	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ ( A <_ C /\ D <_ B ) ) -> B e. RR* )
44		simprl 794	. . 3 |- ( ( ph /\ ( A <_ C /\ D <_ B ) ) -> A <_ C )
45		simprr 796	. . 3 |- ( ( ph /\ ( A <_ C /\ D <_ B ) ) -> D <_ B )
46		ioossioo 12265	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( A <_ C /\ D <_ B ) ) -> ( C (,) D ) C_ ( A (,) B ) )
47	42, 43, 44, 45, 46	syl22anc 1327	. 2 |- ( ( ph /\ ( A <_ C /\ D <_ B ) ) -> ( C (,) D ) C_ ( A (,) B ) )
48	41, 47	impbida 877	1 |- ( ph -> ( ( C (,) D ) C_ ( A (,) B ) <-> ( A <_ C /\ D <_ B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   supcsup 8346  infcinf 8347   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   (,)cioo 12175

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-ioo 12179

This theorem is referenced by:  fourierdlem50  40373