Theorem h2hcau 27836

Description: The Cauchy sequences of Hilbert space. (Contributed by NM, 6-Jun-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 13-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
h2hc.1	|- U = <. <. +h , .h >. , normh >.
h2hc.2	|- U e. NrmCVec
h2hc.3	|- ~H = ( BaseSet ` U )
h2hc.4	|- D = ( IndMet ` U )

Assertion

Ref	Expression
h2hcau	|- Cauchy = ( ( Cau ` D ) i^i ( ~H ^m NN ) )

Proof of Theorem h2hcau

Dummy variables f j k x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab 2921	. 2 |- { f e. ( ~H ^m NN ) | A. x e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( normh ` ( ( f ` j ) -h ( f ` k ) ) ) < x } = { f | ( f e. ( ~H ^m NN ) /\ A. x e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( normh ` ( ( f ` j ) -h ( f ` k ) ) ) < x ) }
2		df-hcau 27830	. 2 |- Cauchy = { f e. ( ~H ^m NN ) | A. x e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( normh ` ( ( f ` j ) -h ( f ` k ) ) ) < x }
3		elin 3796	. . . 4 |- ( f e. ( ( Cau ` D ) i^i ( ~H ^m NN ) ) <-> ( f e. ( Cau ` D ) /\ f e. ( ~H ^m NN ) ) )
4		ancom 466	. . . 4 |- ( ( f e. ( Cau ` D ) /\ f e. ( ~H ^m NN ) ) <-> ( f e. ( ~H ^m NN ) /\ f e. ( Cau ` D ) ) )
5		h2hc.3	. . . . . . . 8 |- ~H = ( BaseSet ` U )
6	5	hlex 27754	. . . . . . 7 |- ~H e. _V
7		nnex 11026	. . . . . . 7 |- NN e. _V
8	6, 7	elmap 7886	. . . . . 6 |- ( f e. ( ~H ^m NN ) <-> f : NN --> ~H )
9		nnuz 11723	. . . . . . . 8 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
10		h2hc.2	. . . . . . . . 9 |- U e. NrmCVec
11		h2hc.4	. . . . . . . . . 10 |- D = ( IndMet ` U )
12	5, 11	imsxmet 27547	. . . . . . . . 9 |- ( U e. NrmCVec -> D e. ( *Met ` ~H ) )
13	10, 12	mp1i 13	. . . . . . . 8 |- ( f : NN --> ~H -> D e. ( *Met ` ~H ) )
14		1zzd 11408	. . . . . . . 8 |- ( f : NN --> ~H -> 1 e. ZZ )
15		eqidd 2623	. . . . . . . 8 |- ( ( f : NN --> ~H /\ k e. NN ) -> ( f ` k ) = ( f ` k ) )
16		eqidd 2623	. . . . . . . 8 |- ( ( f : NN --> ~H /\ j e. NN ) -> ( f ` j ) = ( f ` j ) )
17		id 22	. . . . . . . 8 |- ( f : NN --> ~H -> f : NN --> ~H )
18	9, 13, 14, 15, 16, 17	iscauf 23078	. . . . . . 7 |- ( f : NN --> ~H -> ( f e. ( Cau ` D ) <-> A. x e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( f ` j ) D ( f ` k ) ) < x ) )
19		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f : NN --> ~H /\ j e. NN ) -> ( f ` j ) e. ~H )
20	19	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f : NN --> ~H /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( f ` j ) e. ~H )
21		eluznn 11758	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. NN )
22		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f : NN --> ~H /\ k e. NN ) -> ( f ` k ) e. ~H )
23	21, 22	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f : NN --> ~H /\ ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( f ` k ) e. ~H )
24	23	anassrs 680	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f : NN --> ~H /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( f ` k ) e. ~H )
25		h2hc.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- U = <. <. +h , .h >. , normh >.
26	25, 10, 5, 11	h2hmetdval 27835	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f ` j ) e. ~H /\ ( f ` k ) e. ~H ) -> ( ( f ` j ) D ( f ` k ) ) = ( normh ` ( ( f ` j ) -h ( f ` k ) ) ) )
27	20, 24, 26	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f : NN --> ~H /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( f ` j ) D ( f ` k ) ) = ( normh ` ( ( f ` j ) -h ( f ` k ) ) ) )
28	27	breq1d 4663	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f : NN --> ~H /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( f ` j ) D ( f ` k ) ) < x <-> ( normh ` ( ( f ` j ) -h ( f ` k ) ) ) < x ) )
29	28	ralbidva 2985	. . . . . . . . 9 |- ( ( f : NN --> ~H /\ j e. NN ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( f ` j ) D ( f ` k ) ) < x <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( normh ` ( ( f ` j ) -h ( f ` k ) ) ) < x ) )
30	29	rexbidva 3049	. . . . . . . 8 |- ( f : NN --> ~H -> ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( f ` j ) D ( f ` k ) ) < x <-> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( normh ` ( ( f ` j ) -h ( f ` k ) ) ) < x ) )
31	30	ralbidv 2986	. . . . . . 7 |- ( f : NN --> ~H -> ( A. x e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( f ` j ) D ( f ` k ) ) < x <-> A. x e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( normh ` ( ( f ` j ) -h ( f ` k ) ) ) < x ) )
32	18, 31	bitrd 268	. . . . . 6 |- ( f : NN --> ~H -> ( f e. ( Cau ` D ) <-> A. x e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( normh ` ( ( f ` j ) -h ( f ` k ) ) ) < x ) )
33	8, 32	sylbi 207	. . . . 5 |- ( f e. ( ~H ^m NN ) -> ( f e. ( Cau ` D ) <-> A. x e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( normh ` ( ( f ` j ) -h ( f ` k ) ) ) < x ) )
34	33	pm5.32i 669	. . . 4 |- ( ( f e. ( ~H ^m NN ) /\ f e. ( Cau ` D ) ) <-> ( f e. ( ~H ^m NN ) /\ A. x e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( normh ` ( ( f ` j ) -h ( f ` k ) ) ) < x ) )
35	3, 4, 34	3bitri 286	. . 3 |- ( f e. ( ( Cau ` D ) i^i ( ~H ^m NN ) ) <-> ( f e. ( ~H ^m NN ) /\ A. x e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( normh ` ( ( f ` j ) -h ( f ` k ) ) ) < x ) )
36	35	abbi2i 2738	. 2 |- ( ( Cau ` D ) i^i ( ~H ^m NN ) ) = { f | ( f e. ( ~H ^m NN ) /\ A. x e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( normh ` ( ( f ` j ) -h ( f ` k ) ) ) < x ) }
37	1, 2, 36	3eqtr4i 2654	1 |- Cauchy = ( ( Cau ` D ) i^i ( ~H ^m NN ) )

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   i^i cin 3573   <.cop 4183   class class class wbr 4653   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   1c1 9937   < clt 10074   NNcn 11020   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   *Metcxmt 19731   Caucca 23051   NrmCVeccnv 27439   BaseSetcba 27441   IndMetcims 27446   ~Hchil 27776   +h cva 27777   .h csm 27778   normhcno 27780   -h cmv 27782   Cauchyccau 27783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-cau 23054  df-grpo 27347  df-gid 27348  df-ginv 27349  df-gdiv 27350  df-ablo 27399  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-vs 27454  df-nmcv 27455  df-ims 27456  df-hvsub 27828  df-hcau 27830

This theorem is referenced by:  axhcompl-zf  27855  hhcau  28055