Theorem rrncmslem 33631

Description: Lemma for rrncms 33632. (Contributed by Jeff Madsen, 6-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrnval.1	|- X = ( RR ^m I )
rrndstprj1.1	|- M = ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) )
rrncms.3	|- J = ( MetOpen ` ( Rn ` I ) )
rrncms.4	|- ( ph -> I e. Fin )
rrncms.5	|- ( ph -> F e. ( Cau ` ( Rn ` I ) ) )
rrncms.6	|- ( ph -> F : NN --> X )
rrncms.7	|- P = ( m e. I |-> ( ~~> ` ( t e. NN |-> ( ( F ` t ) ` m ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
rrncmslem	|- ( ph -> F e. dom ( ~~> t ` J ) )

Distinct variable groups:   m, I   t, m, F

Allowed substitution hints:   ph( t, m)   P( t, m)   I( t)   J( t, m)   M( t, m)   X( t, m)

Proof of Theorem rrncmslem

Dummy variables k n x y j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmrel 21034	. 2 |- Rel ( ~~> t ` J )
2		fvex 6201	. . . . . . . 8 |- ( ~~> ` ( t e. NN |-> ( ( F ` t ) ` m ) ) ) e. _V
3		rrncms.7	. . . . . . . 8 |- P = ( m e. I |-> ( ~~> ` ( t e. NN |-> ( ( F ` t ) ` m ) ) ) )
4	2, 3	fnmpti 6022	. . . . . . 7 |- P Fn I
5	4	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> P Fn I )
6		nnuz 11723	. . . . . . . 8 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
7		1zzd 11408	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> 1 e. ZZ )
8		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t = k -> ( F ` t ) = ( F ` k ) )
9	8	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( t = k -> ( ( F ` t ) ` n ) = ( ( F ` k ) ` n ) )
10		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( t e. NN |-> ( ( F ` t ) ` n ) ) = ( t e. NN |-> ( ( F ` t ) ` n ) )
11		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F ` k ) ` n ) e. _V
12	9, 10, 11	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> ( ( t e. NN |-> ( ( F ` t ) ` n ) ) ` k ) = ( ( F ` k ) ` n ) )
13	12	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. I ) /\ k e. NN ) -> ( ( t e. NN |-> ( ( F ` t ) ` n ) ) ` k ) = ( ( F ` k ) ` n ) )
14		rrncms.6	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> F : NN --> X )
15	14	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. X )
16		rrnval.1	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- X = ( RR ^m I )
17	15, 16	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. ( RR ^m I ) )
18		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F ` k ) e. ( RR ^m I ) -> ( F ` k ) : I --> RR )
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) : I --> RR )
20	19	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. I ) -> ( ( F ` k ) ` n ) e. RR )
21	20	an32s 846	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. I ) /\ k e. NN ) -> ( ( F ` k ) ` n ) e. RR )
22	13, 21	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. I ) /\ k e. NN ) -> ( ( t e. NN |-> ( ( F ` t ) ` n ) ) ` k ) e. RR )
23	22	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. I ) /\ k e. NN ) -> ( ( t e. NN |-> ( ( F ` t ) ` n ) ) ` k ) e. CC )
24		rrncms.5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> F e. ( Cau ` ( Rn ` I ) ) )
25		rrncms.4	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> I e. Fin )
26	16	rrnmet 33628	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( I e. Fin -> ( Rn ` I ) e. ( Met ` X ) )
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( Rn ` I ) e. ( Met ` X ) )
28		metxmet 22139	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( Rn ` I ) e. ( Met ` X ) -> ( Rn ` I ) e. ( *Met ` X ) )
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( Rn ` I ) e. ( *Met ` X ) )
30		1zzd 11408	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
31		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) = ( F ` k ) )
32		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( F ` j ) = ( F ` j ) )
33	6, 29, 30, 31, 32, 14	iscauf 23078	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( F e. ( Cau ` ( Rn ` I ) ) <-> A. x e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` j ) ( Rn ` I ) ( F ` k ) ) < x ) )
34	24, 33	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` j ) ( Rn ` I ) ( F ` k ) ) < x )
35	34	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> A. x e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` j ) ( Rn ` I ) ( F ` k ) ) < x )
36	25	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ n e. I ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> I e. Fin )
37		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ n e. I ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> n e. I )
38	14	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ n e. I ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> F : NN --> X )
39		eluznn 11758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. NN )
40	39	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ n e. I ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. NN )
41	38, 40	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ n e. I ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` k ) e. X )
42		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ n e. I ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> j e. NN )
43	38, 42	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ n e. I ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` j ) e. X )
44		rrndstprj1.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- M = ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) )
45	16, 44	rrndstprj1 33629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( I e. Fin /\ n e. I ) /\ ( ( F ` k ) e. X /\ ( F ` j ) e. X ) ) -> ( ( ( F ` k ) ` n ) M ( ( F ` j ) ` n ) ) <_ ( ( F ` k ) ( Rn ` I ) ( F ` j ) ) )
46	36, 37, 41, 43, 45	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ n e. I ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( F ` k ) ` n ) M ( ( F ` j ) ` n ) ) <_ ( ( F ` k ) ( Rn ` I ) ( F ` j ) ) )
47	27	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ n e. I ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( Rn ` I ) e. ( Met ` X ) )
48		metsym 22155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( Rn ` I ) e. ( Met ` X ) /\ ( F ` k ) e. X /\ ( F ` j ) e. X ) -> ( ( F ` k ) ( Rn ` I ) ( F ` j ) ) = ( ( F ` j ) ( Rn ` I ) ( F ` k ) ) )
49	47, 41, 43, 48	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ n e. I ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( F ` k ) ( Rn ` I ) ( F ` j ) ) = ( ( F ` j ) ( Rn ` I ) ( F ` k ) ) )
50	46, 49	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ n e. I ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( F ` k ) ` n ) M ( ( F ` j ) ` n ) ) <_ ( ( F ` j ) ( Rn ` I ) ( F ` k ) ) )
51	50	adantllr 755	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ n e. I ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( F ` k ) ` n ) M ( ( F ` j ) ` n ) ) <_ ( ( F ` j ) ( Rn ` I ) ( F ` k ) ) )
52	44	remet 22593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- M e. ( Met ` RR )
53	52	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ n e. I ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> M e. ( Met ` RR ) )
54		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ n e. I ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ph /\ n e. I ) )
55	54, 40, 21	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ n e. I ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( F ` k ) ` n ) e. RR )
56	14	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( F ` j ) e. X )
57	56, 16	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( F ` j ) e. ( RR ^m I ) )
58		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( F ` j ) e. ( RR ^m I ) -> ( F ` j ) : I --> RR )
59	57, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( F ` j ) : I --> RR )
60	59	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ n e. I ) -> ( ( F ` j ) ` n ) e. RR )
61	60	an32s 846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ n e. I ) /\ j e. NN ) -> ( ( F ` j ) ` n ) e. RR )
62	61	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ n e. I ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( F ` j ) ` n ) e. RR )
63		metcl 22137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( M e. ( Met ` RR ) /\ ( ( F ` k ) ` n ) e. RR /\ ( ( F ` j ) ` n ) e. RR ) -> ( ( ( F ` k ) ` n ) M ( ( F ` j ) ` n ) ) e. RR )
64	53, 55, 62, 63	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ n e. I ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( F ` k ) ` n ) M ( ( F ` j ) ` n ) ) e. RR )
65	64	adantllr 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ n e. I ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( F ` k ) ` n ) M ( ( F ` j ) ` n ) ) e. RR )
66		metcl 22137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( Rn ` I ) e. ( Met ` X ) /\ ( F ` j ) e. X /\ ( F ` k ) e. X ) -> ( ( F ` j ) ( Rn ` I ) ( F ` k ) ) e. RR )
67	47, 43, 41, 66	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ n e. I ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( F ` j ) ( Rn ` I ) ( F ` k ) ) e. RR )
68	67	adantllr 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ n e. I ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( F ` j ) ( Rn ` I ) ( F ` k ) ) e. RR )
69		rpre 11839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. RR+ -> x e. RR )
70	69	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ n e. I ) /\ x e. RR+ ) -> x e. RR )
71	70	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ n e. I ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> x e. RR )
72		lelttr 10128	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( F ` k ) ` n ) M ( ( F ` j ) ` n ) ) e. RR /\ ( ( F ` j ) ( Rn ` I ) ( F ` k ) ) e. RR /\ x e. RR ) -> ( ( ( ( ( F ` k ) ` n ) M ( ( F ` j ) ` n ) ) <_ ( ( F ` j ) ( Rn ` I ) ( F ` k ) ) /\ ( ( F ` j ) ( Rn ` I ) ( F ` k ) ) < x ) -> ( ( ( F ` k ) ` n ) M ( ( F ` j ) ` n ) ) < x ) )
73	65, 68, 71, 72	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ n e. I ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( ( ( F ` k ) ` n ) M ( ( F ` j ) ` n ) ) <_ ( ( F ` j ) ( Rn ` I ) ( F ` k ) ) /\ ( ( F ` j ) ( Rn ` I ) ( F ` k ) ) < x ) -> ( ( ( F ` k ) ` n ) M ( ( F ` j ) ` n ) ) < x ) )
74	51, 73	mpand 711	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ n e. I ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( F ` j ) ( Rn ` I ) ( F ` k ) ) < x -> ( ( ( F ` k ) ` n ) M ( ( F ` j ) ` n ) ) < x ) )
75	74	ralimdva 2962	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ n e. I ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` j ) ( Rn ` I ) ( F ` k ) ) < x -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) ` n ) M ( ( F ` j ) ` n ) ) < x ) )
76	75	reximdva 3017	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. I ) /\ x e. RR+ ) -> ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` j ) ( Rn ` I ) ( F ` k ) ) < x -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) ` n ) M ( ( F ` j ) ` n ) ) < x ) )
77	76	ralimdva 2962	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> ( A. x e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` j ) ( Rn ` I ) ( F ` k ) ) < x -> A. x e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) ` n ) M ( ( F ` j ) ` n ) ) < x ) )
78	44	remetdval 22592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( F ` k ) ` n ) e. RR /\ ( ( F ` j ) ` n ) e. RR ) -> ( ( ( F ` k ) ` n ) M ( ( F ` j ) ` n ) ) = ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` n ) - ( ( F ` j ) ` n ) ) ) )
79	55, 62, 78	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ n e. I ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( F ` k ) ` n ) M ( ( F ` j ) ` n ) ) = ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` n ) - ( ( F ` j ) ` n ) ) ) )
80	40, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ n e. I ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( t e. NN |-> ( ( F ` t ) ` n ) ) ` k ) = ( ( F ` k ) ` n ) )
81		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( t = j -> ( F ` t ) = ( F ` j ) )
82	81	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( t = j -> ( ( F ` t ) ` n ) = ( ( F ` j ) ` n ) )
83		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( F ` j ) ` n ) e. _V
84	82, 10, 83	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( j e. NN -> ( ( t e. NN |-> ( ( F ` t ) ` n ) ) ` j ) = ( ( F ` j ) ` n ) )
85	84	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ n e. I ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( t e. NN |-> ( ( F ` t ) ` n ) ) ` j ) = ( ( F ` j ) ` n ) )
86	80, 85	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ n e. I ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( t e. NN |-> ( ( F ` t ) ` n ) ) ` k ) - ( ( t e. NN |-> ( ( F ` t ) ` n ) ) ` j ) ) = ( ( ( F ` k ) ` n ) - ( ( F ` j ) ` n ) ) )
87	86	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ n e. I ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( ( ( t e. NN |-> ( ( F ` t ) ` n ) ) ` k ) - ( ( t e. NN |-> ( ( F ` t ) ` n ) ) ` j ) ) ) = ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` n ) - ( ( F ` j ) ` n ) ) ) )
88	79, 87	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ n e. I ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( F ` k ) ` n ) M ( ( F ` j ) ` n ) ) = ( abs ` ( ( ( t e. NN |-> ( ( F ` t ) ` n ) ) ` k ) - ( ( t e. NN |-> ( ( F ` t ) ` n ) ) ` j ) ) ) )
89	88	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ n e. I ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( ( F ` k ) ` n ) M ( ( F ` j ) ` n ) ) < x <-> ( abs ` ( ( ( t e. NN |-> ( ( F ` t ) ` n ) ) ` k ) - ( ( t e. NN |-> ( ( F ` t ) ` n ) ) ` j ) ) ) < x ) )
90	89	ralbidva 2985	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ n e. I ) /\ j e. NN ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) ` n ) M ( ( F ` j ) ` n ) ) < x <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( ( t e. NN |-> ( ( F ` t ) ` n ) ) ` k ) - ( ( t e. NN |-> ( ( F ` t ) ` n ) ) ` j ) ) ) < x ) )
91	90	rexbidva 3049	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) ` n ) M ( ( F ` j ) ` n ) ) < x <-> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( ( t e. NN |-> ( ( F ` t ) ` n ) ) ` k ) - ( ( t e. NN |-> ( ( F ` t ) ` n ) ) ` j ) ) ) < x ) )
92	91	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> ( A. x e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) ` n ) M ( ( F ` j ) ` n ) ) < x <-> A. x e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( ( t e. NN |-> ( ( F ` t ) ` n ) ) ` k ) - ( ( t e. NN |-> ( ( F ` t ) ` n ) ) ` j ) ) ) < x ) )
93	77, 92	sylibd 229	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> ( A. x e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` j ) ( Rn ` I ) ( F ` k ) ) < x -> A. x e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( ( t e. NN |-> ( ( F ` t ) ` n ) ) ` k ) - ( ( t e. NN |-> ( ( F ` t ) ` n ) ) ` j ) ) ) < x ) )
94	35, 93	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> A. x e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( ( t e. NN |-> ( ( F ` t ) ` n ) ) ` k ) - ( ( t e. NN |-> ( ( F ` t ) ` n ) ) ` j ) ) ) < x )
95		nnex 11026	. . . . . . . . . . . . 13 |- NN e. _V
96	95	mptex 6486	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t e. NN |-> ( ( F ` t ) ` n ) ) e. _V
97	96	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> ( t e. NN |-> ( ( F ` t ) ` n ) ) e. _V )
98	6, 23, 94, 97	caucvg 14409	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> ( t e. NN |-> ( ( F ` t ) ` n ) ) e. dom ~~> )
99		climdm 14285	. . . . . . . . . 10 |- ( ( t e. NN |-> ( ( F ` t ) ` n ) ) e. dom ~~> <-> ( t e. NN |-> ( ( F ` t ) ` n ) ) ~~> ( ~~> ` ( t e. NN |-> ( ( F ` t ) ` n ) ) ) )
100	98, 99	sylib 208	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> ( t e. NN |-> ( ( F ` t ) ` n ) ) ~~> ( ~~> ` ( t e. NN |-> ( ( F ` t ) ` n ) ) ) )
101		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = n -> ( ( F ` t ) ` m ) = ( ( F ` t ) ` n ) )
102	101	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = n -> ( t e. NN |-> ( ( F ` t ) ` m ) ) = ( t e. NN |-> ( ( F ` t ) ` n ) ) )
103	102	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = n -> ( ~~> ` ( t e. NN |-> ( ( F ` t ) ` m ) ) ) = ( ~~> ` ( t e. NN |-> ( ( F ` t ) ` n ) ) ) )
104		fvex 6201	. . . . . . . . . . 11 |- ( ~~> ` ( t e. NN |-> ( ( F ` t ) ` n ) ) ) e. _V
105	103, 3, 104	fvmpt 6282	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. I -> ( P ` n ) = ( ~~> ` ( t e. NN |-> ( ( F ` t ) ` n ) ) ) )
106	105	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> ( P ` n ) = ( ~~> ` ( t e. NN |-> ( ( F ` t ) ` n ) ) ) )
107	100, 106	breqtrrd 4681	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> ( t e. NN |-> ( ( F ` t ) ` n ) ) ~~> ( P ` n ) )
108	6, 7, 107, 22	climrecl 14314	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> ( P ` n ) e. RR )
109	108	ralrimiva 2966	. . . . . 6 |- ( ph -> A. n e. I ( P ` n ) e. RR )
110		ffnfv 6388	. . . . . 6 |- ( P : I --> RR <-> ( P Fn I /\ A. n e. I ( P ` n ) e. RR ) )
111	5, 109, 110	sylanbrc 698	. . . . 5 |- ( ph -> P : I --> RR )
112		reex 10027	. . . . . 6 |- RR e. _V
113		elmapg 7870	. . . . . 6 |- ( ( RR e. _V /\ I e. Fin ) -> ( P e. ( RR ^m I ) <-> P : I --> RR ) )
114	112, 25, 113	sylancr 695	. . . . 5 |- ( ph -> ( P e. ( RR ^m I ) <-> P : I --> RR ) )
115	111, 114	mpbird 247	. . . 4 |- ( ph -> P e. ( RR ^m I ) )
116	115, 16	syl6eleqr 2712	. . 3 |- ( ph -> P e. X )
117		1nn 11031	. . . . . . 7 |- 1 e. NN
118	25	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ I = (/) ) ) /\ k e. NN ) -> I e. Fin )
119	15	adantlr 751	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ I = (/) ) ) /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. X )
120	116	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ I = (/) ) ) /\ k e. NN ) -> P e. X )
121	16	rrnmval 33627	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( I e. Fin /\ ( F ` k ) e. X /\ P e. X ) -> ( ( F ` k ) ( Rn ` I ) P ) = ( sqr ` sum_ y e. I ( ( ( ( F ` k ) ` y ) - ( P ` y ) ) ^ 2 ) ) )
122	118, 119, 120, 121	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ I = (/) ) ) /\ k e. NN ) -> ( ( F ` k ) ( Rn ` I ) P ) = ( sqr ` sum_ y e. I ( ( ( ( F ` k ) ` y ) - ( P ` y ) ) ^ 2 ) ) )
123		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ I = (/) ) ) /\ k e. NN ) -> I = (/) )
124	123	sumeq1d 14431	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ I = (/) ) ) /\ k e. NN ) -> sum_ y e. I ( ( ( ( F ` k ) ` y ) - ( P ` y ) ) ^ 2 ) = sum_ y e. (/) ( ( ( ( F ` k ) ` y ) - ( P ` y ) ) ^ 2 ) )
125		sum0 14452	. . . . . . . . . . . . 13 |- sum_ y e. (/) ( ( ( ( F ` k ) ` y ) - ( P ` y ) ) ^ 2 ) = 0
126	124, 125	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ I = (/) ) ) /\ k e. NN ) -> sum_ y e. I ( ( ( ( F ` k ) ` y ) - ( P ` y ) ) ^ 2 ) = 0 )
127	126	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ I = (/) ) ) /\ k e. NN ) -> ( sqr ` sum_ y e. I ( ( ( ( F ` k ) ` y ) - ( P ` y ) ) ^ 2 ) ) = ( sqr ` 0 ) )
128	122, 127	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ I = (/) ) ) /\ k e. NN ) -> ( ( F ` k ) ( Rn ` I ) P ) = ( sqr ` 0 ) )
129		sqrt0 13982	. . . . . . . . . 10 |- ( sqr ` 0 ) = 0
130	128, 129	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ I = (/) ) ) /\ k e. NN ) -> ( ( F ` k ) ( Rn ` I ) P ) = 0 )
131		simplrl 800	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ I = (/) ) ) /\ k e. NN ) -> x e. RR+ )
132	131	rpgt0d 11875	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ I = (/) ) ) /\ k e. NN ) -> 0 < x )
133	130, 132	eqbrtrd 4675	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ I = (/) ) ) /\ k e. NN ) -> ( ( F ` k ) ( Rn ` I ) P ) < x )
134	133	ralrimiva 2966	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ I = (/) ) ) -> A. k e. NN ( ( F ` k ) ( Rn ` I ) P ) < x )
135		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( j = 1 -> ( ZZ>= ` j ) = ( ZZ>= ` 1 ) )
136	135, 6	syl6eqr 2674	. . . . . . . . 9 |- ( j = 1 -> ( ZZ>= ` j ) = NN )
137	136	raleqdv 3144	. . . . . . . 8 |- ( j = 1 -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) ( Rn ` I ) P ) < x <-> A. k e. NN ( ( F ` k ) ( Rn ` I ) P ) < x ) )
138	137	rspcev 3309	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. NN /\ A. k e. NN ( ( F ` k ) ( Rn ` I ) P ) < x ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) ( Rn ` I ) P ) < x )
139	117, 134, 138	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ I = (/) ) ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) ( Rn ` I ) P ) < x )
140	139	expr 643	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( I = (/) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) ( Rn ` I ) P ) < x ) )
141		1zzd 11408	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ I =/= (/) ) ) /\ n e. I ) -> 1 e. ZZ )
142		simprl 794	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ I =/= (/) ) ) -> x e. RR+ )
143		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ I =/= (/) ) ) -> I =/= (/) )
144	25	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ I =/= (/) ) ) -> I e. Fin )
145		hashnncl 13157	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( I e. Fin -> ( ( # ` I ) e. NN <-> I =/= (/) ) )
146	144, 145	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ I =/= (/) ) ) -> ( ( # ` I ) e. NN <-> I =/= (/) ) )
147	143, 146	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ I =/= (/) ) ) -> ( # ` I ) e. NN )
148	147	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ I =/= (/) ) ) -> ( # ` I ) e. RR+ )
149	148	rpsqrtcld 14150	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ I =/= (/) ) ) -> ( sqr ` ( # ` I ) ) e. RR+ )
150	142, 149	rpdivcld 11889	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ I =/= (/) ) ) -> ( x / ( sqr ` ( # ` I ) ) ) e. RR+ )
151	150	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ I =/= (/) ) ) /\ n e. I ) -> ( x / ( sqr ` ( # ` I ) ) ) e. RR+ )
152	12	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ I =/= (/) ) ) /\ n e. I ) /\ k e. NN ) -> ( ( t e. NN |-> ( ( F ` t ) ` n ) ) ` k ) = ( ( F ` k ) ` n ) )
153	107	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ I =/= (/) ) ) /\ n e. I ) -> ( t e. NN |-> ( ( F ` t ) ` n ) ) ~~> ( P ` n ) )
154	6, 141, 151, 152, 153	climi2 14242	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ I =/= (/) ) ) /\ n e. I ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` n ) - ( P ` n ) ) ) < ( x / ( sqr ` ( # ` I ) ) ) )
155		1z 11407	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. ZZ
156	6	rexuz3 14088	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 e. ZZ -> ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) ` n ) M ( P ` n ) ) < ( x / ( sqr ` ( # ` I ) ) ) <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) ` n ) M ( P ` n ) ) < ( x / ( sqr ` ( # ` I ) ) ) ) )
157	155, 156	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) ` n ) M ( P ` n ) ) < ( x / ( sqr ` ( # ` I ) ) ) <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) ` n ) M ( P ` n ) ) < ( x / ( sqr ` ( # ` I ) ) ) )
158	21	adantllr 755	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ I =/= (/) ) ) /\ n e. I ) /\ k e. NN ) -> ( ( F ` k ) ` n ) e. RR )
159	108	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ I =/= (/) ) ) /\ n e. I ) -> ( P ` n ) e. RR )
160	159	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ I =/= (/) ) ) /\ n e. I ) /\ k e. NN ) -> ( P ` n ) e. RR )
161	44	remetdval 22592	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( F ` k ) ` n ) e. RR /\ ( P ` n ) e. RR ) -> ( ( ( F ` k ) ` n ) M ( P ` n ) ) = ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` n ) - ( P ` n ) ) ) )
162	158, 160, 161	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ I =/= (/) ) ) /\ n e. I ) /\ k e. NN ) -> ( ( ( F ` k ) ` n ) M ( P ` n ) ) = ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` n ) - ( P ` n ) ) ) )
163	162	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ I =/= (/) ) ) /\ n e. I ) /\ k e. NN ) -> ( ( ( ( F ` k ) ` n ) M ( P ` n ) ) < ( x / ( sqr ` ( # ` I ) ) ) <-> ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` n ) - ( P ` n ) ) ) < ( x / ( sqr ` ( # ` I ) ) ) ) )
164	39, 163	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ I =/= (/) ) ) /\ n e. I ) /\ ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( ( ( ( F ` k ) ` n ) M ( P ` n ) ) < ( x / ( sqr ` ( # ` I ) ) ) <-> ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` n ) - ( P ` n ) ) ) < ( x / ( sqr ` ( # ` I ) ) ) ) )
165	164	anassrs 680	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ I =/= (/) ) ) /\ n e. I ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( ( F ` k ) ` n ) M ( P ` n ) ) < ( x / ( sqr ` ( # ` I ) ) ) <-> ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` n ) - ( P ` n ) ) ) < ( x / ( sqr ` ( # ` I ) ) ) ) )
166	165	ralbidva 2985	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ I =/= (/) ) ) /\ n e. I ) /\ j e. NN ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) ` n ) M ( P ` n ) ) < ( x / ( sqr ` ( # ` I ) ) ) <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` n ) - ( P ` n ) ) ) < ( x / ( sqr ` ( # ` I ) ) ) ) )
167	166	rexbidva 3049	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ I =/= (/) ) ) /\ n e. I ) -> ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) ` n ) M ( P ` n ) ) < ( x / ( sqr ` ( # ` I ) ) ) <-> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` n ) - ( P ` n ) ) ) < ( x / ( sqr ` ( # ` I ) ) ) ) )
168	157, 167	syl5bbr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ I =/= (/) ) ) /\ n e. I ) -> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) ` n ) M ( P ` n ) ) < ( x / ( sqr ` ( # ` I ) ) ) <-> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` n ) - ( P ` n ) ) ) < ( x / ( sqr ` ( # ` I ) ) ) ) )
169	154, 168	mpbird 247	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ I =/= (/) ) ) /\ n e. I ) -> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) ` n ) M ( P ` n ) ) < ( x / ( sqr ` ( # ` I ) ) ) )
170	169	ralrimiva 2966	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ I =/= (/) ) ) -> A. n e. I E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) ` n ) M ( P ` n ) ) < ( x / ( sqr ` ( # ` I ) ) ) )
171	6	rexuz3 14088	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 e. ZZ -> ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. I ( ( ( F ` k ) ` n ) M ( P ` n ) ) < ( x / ( sqr ` ( # ` I ) ) ) <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. I ( ( ( F ` k ) ` n ) M ( P ` n ) ) < ( x / ( sqr ` ( # ` I ) ) ) ) )
172	155, 171	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. I ( ( ( F ` k ) ` n ) M ( P ` n ) ) < ( x / ( sqr ` ( # ` I ) ) ) <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. I ( ( ( F ` k ) ` n ) M ( P ` n ) ) < ( x / ( sqr ` ( # ` I ) ) ) )
173		rexfiuz 14087	. . . . . . . . . 10 |- ( I e. Fin -> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. I ( ( ( F ` k ) ` n ) M ( P ` n ) ) < ( x / ( sqr ` ( # ` I ) ) ) <-> A. n e. I E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) ` n ) M ( P ` n ) ) < ( x / ( sqr ` ( # ` I ) ) ) ) )
174	144, 173	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ I =/= (/) ) ) -> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. I ( ( ( F ` k ) ` n ) M ( P ` n ) ) < ( x / ( sqr ` ( # ` I ) ) ) <-> A. n e. I E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) ` n ) M ( P ` n ) ) < ( x / ( sqr ` ( # ` I ) ) ) ) )
175	172, 174	syl5bb 272	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ I =/= (/) ) ) -> ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. I ( ( ( F ` k ) ` n ) M ( P ` n ) ) < ( x / ( sqr ` ( # ` I ) ) ) <-> A. n e. I E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) ` n ) M ( P ` n ) ) < ( x / ( sqr ` ( # ` I ) ) ) ) )
176	170, 175	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ I =/= (/) ) ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. I ( ( ( F ` k ) ` n ) M ( P ` n ) ) < ( x / ( sqr ` ( # ` I ) ) ) )
177	25	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ I =/= (/) ) ) /\ k e. NN ) -> I e. Fin )
178		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ I =/= (/) ) ) /\ k e. NN ) -> I =/= (/) )
179		eldifsn 4317	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( I e. ( Fin \ { (/) } ) <-> ( I e. Fin /\ I =/= (/) ) )
180	177, 178, 179	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ I =/= (/) ) ) /\ k e. NN ) -> I e. ( Fin \ { (/) } ) )
181	14	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ I =/= (/) ) ) -> F : NN --> X )
182	181	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ I =/= (/) ) ) /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. X )
183	116	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ I =/= (/) ) ) /\ k e. NN ) -> P e. X )
184	150	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ I =/= (/) ) ) /\ k e. NN ) -> ( x / ( sqr ` ( # ` I ) ) ) e. RR+ )
185	16, 44	rrndstprj2 33630	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( I e. ( Fin \ { (/) } ) /\ ( F ` k ) e. X /\ P e. X ) /\ ( ( x / ( sqr ` ( # ` I ) ) ) e. RR+ /\ A. n e. I ( ( ( F ` k ) ` n ) M ( P ` n ) ) < ( x / ( sqr ` ( # ` I ) ) ) ) ) -> ( ( F ` k ) ( Rn ` I ) P ) < ( ( x / ( sqr ` ( # ` I ) ) ) x. ( sqr ` ( # ` I ) ) ) )
186	185	expr 643	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( I e. ( Fin \ { (/) } ) /\ ( F ` k ) e. X /\ P e. X ) /\ ( x / ( sqr ` ( # ` I ) ) ) e. RR+ ) -> ( A. n e. I ( ( ( F ` k ) ` n ) M ( P ` n ) ) < ( x / ( sqr ` ( # ` I ) ) ) -> ( ( F ` k ) ( Rn ` I ) P ) < ( ( x / ( sqr ` ( # ` I ) ) ) x. ( sqr ` ( # ` I ) ) ) ) )
187	180, 182, 183, 184, 186	syl31anc 1329	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ I =/= (/) ) ) /\ k e. NN ) -> ( A. n e. I ( ( ( F ` k ) ` n ) M ( P ` n ) ) < ( x / ( sqr ` ( # ` I ) ) ) -> ( ( F ` k ) ( Rn ` I ) P ) < ( ( x / ( sqr ` ( # ` I ) ) ) x. ( sqr ` ( # ` I ) ) ) ) )
188		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ I =/= (/) ) ) /\ k e. NN ) -> x e. RR+ )
189	188	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ I =/= (/) ) ) /\ k e. NN ) -> x e. CC )
190	149	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ I =/= (/) ) ) /\ k e. NN ) -> ( sqr ` ( # ` I ) ) e. RR+ )
191	190	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ I =/= (/) ) ) /\ k e. NN ) -> ( sqr ` ( # ` I ) ) e. CC )
192	190	rpne0d 11877	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ I =/= (/) ) ) /\ k e. NN ) -> ( sqr ` ( # ` I ) ) =/= 0 )
193	189, 191, 192	divcan1d 10802	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ I =/= (/) ) ) /\ k e. NN ) -> ( ( x / ( sqr ` ( # ` I ) ) ) x. ( sqr ` ( # ` I ) ) ) = x )
194	193	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ I =/= (/) ) ) /\ k e. NN ) -> ( ( ( F ` k ) ( Rn ` I ) P ) < ( ( x / ( sqr ` ( # ` I ) ) ) x. ( sqr ` ( # ` I ) ) ) <-> ( ( F ` k ) ( Rn ` I ) P ) < x ) )
195	187, 194	sylibd 229	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ I =/= (/) ) ) /\ k e. NN ) -> ( A. n e. I ( ( ( F ` k ) ` n ) M ( P ` n ) ) < ( x / ( sqr ` ( # ` I ) ) ) -> ( ( F ` k ) ( Rn ` I ) P ) < x ) )
196	39, 195	sylan2 491	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ I =/= (/) ) ) /\ ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( A. n e. I ( ( ( F ` k ) ` n ) M ( P ` n ) ) < ( x / ( sqr ` ( # ` I ) ) ) -> ( ( F ` k ) ( Rn ` I ) P ) < x ) )
197	196	anassrs 680	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ I =/= (/) ) ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( A. n e. I ( ( ( F ` k ) ` n ) M ( P ` n ) ) < ( x / ( sqr ` ( # ` I ) ) ) -> ( ( F ` k ) ( Rn ` I ) P ) < x ) )
198	197	ralimdva 2962	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ I =/= (/) ) ) /\ j e. NN ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. I ( ( ( F ` k ) ` n ) M ( P ` n ) ) < ( x / ( sqr ` ( # ` I ) ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) ( Rn ` I ) P ) < x ) )
199	198	reximdva 3017	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ I =/= (/) ) ) -> ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. I ( ( ( F ` k ) ` n ) M ( P ` n ) ) < ( x / ( sqr ` ( # ` I ) ) ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) ( Rn ` I ) P ) < x ) )
200	176, 199	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ I =/= (/) ) ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) ( Rn ` I ) P ) < x )
201	200	expr 643	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( I =/= (/) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) ( Rn ` I ) P ) < x ) )
202	140, 201	pm2.61dne 2880	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) ( Rn ` I ) P ) < x )
203	202	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) ( Rn ` I ) P ) < x )
204		rrncms.3	. . . 4 |- J = ( MetOpen ` ( Rn ` I ) )
205	204, 29, 6, 30, 31, 14	lmmbrf 23060	. . 3 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) P <-> ( P e. X /\ A. x e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) ( Rn ` I ) P ) < x ) ) )
206	116, 203, 205	mpbir2and 957	. 2 |- ( ph -> F ( ~~> t ` J ) P )
207		releldm 5358	. 2 |- ( ( Rel ( ~~> t ` J ) /\ F ( ~~> t ` J ) P ) -> F e. dom ( ~~> t ` J ) )
208	1, 206, 207	sylancr 695	1 |- ( ph -> F e. dom ( ~~> t ` J ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   (/)c0 3915   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   dom cdm 5114   |` cres 5116   o. ccom 5118   Rel wrel 5119   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   ^cexp 12860   #chash 13117   sqrcsqrt 13973   abscabs 13974   ~~> cli 14215   sum_csu 14416   *Metcxmt 19731   Metcme 19732   MetOpencmopn 19736   ~~> tclm 21030   Caucca 23051   Rncrrn 33624

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-lm 21033  df-cau 23054  df-rrn 33625

This theorem is referenced by:  rrncms  33632