lptre2pt - Mathbox for Glauco Siliprandi

	Mathbox for Glauco Siliprandi		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > lptre2pt		Structured version Visualization version Unicode version

Theorem lptre2pt 39872

Description: If a set in the real line has a limit point than it contains two distinct points that are closer than a given distance. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
lptre2pt.j
lptre2pt.a
lptre2pt.x
lptre2pt.e

**Assertion**
Ref	Expression
lptre2pt	$/\$

Distinct variable groups:

Proof of Theorem lptre2pt Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lptre2pt.x	. . 3
2		n0 3931	. . 3
3	1, 2	sylib 208	. 2
4		simpr 477	. . . . . . . 8 $/\$
5		lptre2pt.j	. . . . . . . . 9
6		lptre2pt.a	. . . . . . . . . 10
7	6	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$
8		retop 22565	. . . . . . . . . . . 12
9	5, 8	eqeltri 2697	. . . . . . . . . . 11
10		uniretop 22566	. . . . . . . . . . . . 13
11	5	unieqi 4445	. . . . . . . . . . . . 13
12	10, 11	eqtr4i 2647	. . . . . . . . . . . 12
13	12	lpss 20946	. . . . . . . . . . 11 $/\$
14	9, 7, 13	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 $/\$
15	14, 4	sseldd 3604	. . . . . . . . 9 $/\$
16	5, 7, 15	islptre 39851	. . . . . . . 8 $/\$ $\$
17	4, 16	mpbid 222	. . . . . . 7 $/\$ $\$
18		lptre2pt.e	. . . . . . . . . . . . 13
19	18	rpred 11872	. . . . . . . . . . . 12
20	19	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$
21	20	rehalfcld 11279	. . . . . . . . . 10 $/\$
22	15, 21	resubcld 10458	. . . . . . . . 9 $/\$
23	22	rexrd 10089	. . . . . . . 8 $/\$
24	15, 21	readdcld 10069	. . . . . . . . 9 $/\$
25	24	rexrd 10089	. . . . . . . 8 $/\$
26	18	rphalfcld 11884	. . . . . . . . . 10
27	26	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$
28	15, 27	ltsubrpd 11904	. . . . . . . 8 $/\$
29	15, 27	ltaddrpd 11905	. . . . . . . 8 $/\$
30	23, 25, 15, 28, 29	eliood 39720	. . . . . . 7 $/\$
31		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11
32	31	eleq2d 2687	. . . . . . . . . 10
33	31	ineq1d 3813	. . . . . . . . . . 11 $\$ $\$
34	33	neeq1d 2853	. . . . . . . . . 10 $\$ $\$
35	32, 34	imbi12d 334	. . . . . . . . 9 $\$ $\$
36		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11
37	36	eleq2d 2687	. . . . . . . . . 10
38	36	ineq1d 3813	. . . . . . . . . . 11 $\$ $\$
39	38	neeq1d 2853	. . . . . . . . . 10 $\$ $\$
40	37, 39	imbi12d 334	. . . . . . . . 9 $\$ $\$
41	35, 40	rspc2v 3322	. . . . . . . 8 $/\$ $\$ $\$
42	23, 25, 41	syl2anc 693	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $\$
43	17, 30, 42	mp2d 49	. . . . . 6 $/\$ $\$
44		n0 3931	. . . . . 6 $\$ $\$
45	43, 44	sylib 208	. . . . 5 $/\$ $\$
46		elinel2 3800	. . . . . . . . . 10 $\$ $\$
47	46	eldifad 3586	. . . . . . . . 9 $\$
48	47	adantl 482	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $\$
49		elinel1 3799	. . . . . . . . . 10 $\$
50	49	adantl 482	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $\$
51	46	eldifbd 3587	. . . . . . . . . 10 $\$
52	51	adantl 482	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $\$
53	50, 52	eldifd 3585	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $\$ $\$
54	48, 53	jca 554	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$
55	54	ex 450	. . . . . 6 $/\$ $\$ $/\$ $\$
56	55	eximdv 1846	. . . . 5 $/\$ $\$ $/\$ $\$
57	45, 56	mpd 15	. . . 4 $/\$ $/\$ $\$
58		df-rex 2918	. . . 4 $\$ $/\$ $\$
59	57, 58	sylibr 224	. . 3 $/\$ $\$
60	17	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $\$ $\$
61		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . 12 $\$
62		elioore 12205	. . . . . . . . . . . 12
63	61, 62	syl 17	. . . . . . . . . . 11 $\$
64	63	adantl 482	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $\$
65	15	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $\$
66		eldifsni 4320	. . . . . . . . . . 11 $\$
67	66	adantl 482	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $\$
68		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
69		resubcl 10345	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
70	69	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
71	70	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
72	68, 71	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
73	72	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
74	73	3adant3 1081	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
75	68, 71	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
76	75	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
77	76	3adant3 1081	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
78		simp2 1062	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
79	70	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
80		recn 10026	. . . . . . . . . . . . . . 15
81	80	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
82	78	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
83		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
84	81, 82, 83	subne0d 10401	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
85	79, 84	absrpcld 14187	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
86	78, 85	ltsubrpd 11904	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
87	78, 85	ltaddrpd 11905	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
88	74, 77, 78, 86, 87	eliood 39720	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
89	64, 65, 67, 88	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $\$
90	63	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\$
91	90	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $\$
92	65	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $\$
93	91, 92	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $\$
94	93	abscld 14175	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $\$
95	65, 94	resubcld 10458	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $\$
96	95	rexrd 10089	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $\$
97	65, 94	readdcld 10069	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $\$
98	97	rexrd 10089	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $\$
99		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . 13
100	99	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . 12
101	99	ineq1d 3813	. . . . . . . . . . . . 13 $\$ $\$
102	101	neeq1d 2853	. . . . . . . . . . . 12 $\$ $\$
103	100, 102	imbi12d 334	. . . . . . . . . . 11 $\$ $\$
104		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13
105	104	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . 12
106	104	ineq1d 3813	. . . . . . . . . . . . 13 $\$ $\$
107	106	neeq1d 2853	. . . . . . . . . . . 12 $\$ $\$
108	105, 107	imbi12d 334	. . . . . . . . . . 11 $\$ $\$
109	103, 108	rspc2v 3322	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$ $\$
110	96, 98, 109	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
111	60, 89, 110	mp2d 49	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $\$ $\$
112		n0 3931	. . . . . . . 8 $\$ $\$
113	111, 112	sylib 208	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\$ $\$
114		elinel2 3800	. . . . . . . . . . . 12 $\$ $\$
115	114	eldifad 3586	. . . . . . . . . . 11 $\$
116	115	adantl 482	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$
117	65	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$
118	64	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$
119		elinel1 3799	. . . . . . . . . . . 12 $\$
120	119	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$
121		simpl1 1064	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
122		simpl2 1065	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
123		simpl3 1066	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
124		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
125	122, 121	subge0d 10617	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
126	124, 125	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
127	121, 122, 126	abssubge0d 14170	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
128	127	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
129	127	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
130	128, 129	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
131	123, 130	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
132		elioore 12205	. . . . . . . . . . . . . . 15
133	132	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
134		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
135	69	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
136	134, 135	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
137	136	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
138	137	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
139	134, 135	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
140	139	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
141	140	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
142		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
143		iooltub 39735	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
144	138, 141, 142, 143	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
145	134	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
146	80	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
147	145, 146	pncan3d 10395	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
148	147	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
149	144, 148	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
150	133, 149	gtned 10172	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
151	121, 122, 131, 150	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
152		simpl1 1064	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
153		simpl2 1065	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
154		simpl3 1066	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
155	135	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
156		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
157		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
158	155, 156	ltnled 10184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
159	157, 158	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
160	155, 156, 159	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
161	155, 160	absnidd 14152	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
162	146	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
163	145	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
164	162, 163	negsubdi2d 10408	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
165	161, 164	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
166	165	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
167	165	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
168	166, 167	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
169	168	3adantl3 1219	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
170	154, 169	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
171		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
172	171	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
173		resubcl 10345	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
174	134, 173	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
175	174	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
176	175	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
177		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
178	145, 146	nncand 10397	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
179	178	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
180	179	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
181	177, 180	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
182		ioogtlb 39717	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
183	172, 176, 181, 182	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
184	171, 183	ltned 10173	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
185	152, 153, 170, 184	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
186	151, 185	pm2.61dan 832	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
187	117, 118, 120, 186	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$
188	63	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\$ $/\$ $\$
189		elioore 12205	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
190	119, 189	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\$
191	190	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\$ $/\$ $\$
192	188, 191	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\$ $/\$ $\$
193	192	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 $\$ $/\$ $\$
194	193	adantll 750	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\$ $/\$ $\$
195	194	abscld 14175	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\$ $/\$ $\$
196	195	adantllr 755	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$
197	94	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$
198	15	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\$
199	190	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\$
200	198, 199	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\$
201	200	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $\$
202	201	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $\$
203	202	adantlr 751	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$
204	197, 203	readdcld 10069	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$
205	19	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$
206	118	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$
207	190	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 $\$
208	207	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$
209	92	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$
210	206, 208, 209	abs3difd 14199	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$
211	21	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$
212		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\$
213	61	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\$
214	62, 146	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
215	62, 145	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
216	214, 215	abssubd 14192	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
217	216	3adant1 1079	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
218		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
219	19	rehalfcld 11279	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
220	219	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
221		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
222	218, 220, 221	iooabslt 39721	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
223	217, 222	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
224	212, 65, 213, 223	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $\$
225	224	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$
226	212, 65, 213	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$
227		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
228	189	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
229	227, 228	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
230	229	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
231	230	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
232	231	3ad2antl2 1224	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
233	220	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
234	214, 215	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
235	234	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
236	235	3adant1 1079	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
237	236	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
238		simpl2 1065	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
239		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
240	238, 237, 239	iooabslt 39721	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
241	223	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
242	232, 237, 233, 240, 241	lttrd 10198	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
243	232, 233, 242	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
244	226, 119, 243	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$
245	197, 203, 211, 211, 225, 244	ltleaddd 10648	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$
246	19	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14
247	246	2halvesd 11278	. . . . . . . . . . . . 13
248	247	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$
249	245, 248	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$
250	196, 204, 205, 210, 249	lelttrd 10195	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$
251	116, 187, 250	jca32 558	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$
252	251	ex 450	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $\$ $\$ $/\$ $/\$
253	252	eximdv 1846	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\$ $\$ $/\$ $/\$
254	113, 253	mpd 15	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$
255		df-rex 2918	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
256	254, 255	sylibr 224	. . . . 5 $/\$ $/\$ $\$ $/\$
257	256	ex 450	. . . 4 $/\$ $\$ $/\$
258	257	reximdv 3016	. . 3 $/\$ $\$ $/\$
259	59, 258	mpd 15	. 2 $/\$ $/\$
260	3, 259	exlimddv 1863	1 $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wex 1704

wcel 1990

wne 2794

wral 2912

wrex 2913 $\$ cdif 3571

cin 3573

wss 3574

c0 3915

csn 4177

cuni 4436 class class class wbr 4653

crn 5115

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

caddc 9939

cxr 10073

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cneg 10267

cdiv 10684

c2 11070

crp 11832

cioo 12175

cabs 13974

ctg 16098

ctop 20698

clp 20938

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-iin 4523 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-er 7742 df-map 7859 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-sup 8348 df-inf 8349 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-xadd 11947 df-ioo 12179 df-seq 12802 df-exp 12861 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-topgen 16104 df-psmet 19738 df-xmet 19739 df-met 19740 df-bl 19741 df-top 20699 df-topon 20716 df-bases 20750 df-cld 20823 df-ntr 20824 df-cls 20825 df-nei 20902 df-lp 20940

This theorem is referenced by: fourierdlem42 40366

W3C validator