Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  corcltrcl Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem corcltrcl 38031
Description: The composition of the reflexive and transitive closures is the reflexive-transitive closure. (Contributed by RP, 17-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
corcltrcl |- ( r* o. t+ ) = t*
Proof of Theorem corcltrcl
Dummy variables a b c d i j k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfrcl4 37968 . 2 |- r* = ( a e. _V |-> U_ i e. { 0 , 1 } ( a ^r i ) )
2 dftrcl3 38012 . 2 |- t+ = ( b e. _V |-> U_ j e. NN ( b ^r j ) )
3 dfrtrcl3 38025 . 2 |- t* = ( c e. _V |-> U_ k e. NN0 ( c ^r k ) )
4 prex 4909 . 2 |- { 0 , 1 } e. _V
5 nnex 11026 . 2 |- NN e. _V
6 df-n0 11293 . . 3 |- NN0 = ( NN u. { 0 } )
7 uncom 3757 . . 3 |- ( NN u. { 0 } ) = ( { 0 } u. NN )
8 df-pr 4180 . . . . 5 |- { 0 , 1 } = ( { 0 } u. { 1 } )
98uneq1i 3763 . . . 4 |- ( { 0 , 1 } u. NN ) = ( ( { 0 } u. { 1 } ) u. NN )
10 unass 3770 . . . 4 |- ( ( { 0 } u. { 1 } ) u. NN ) = ( { 0 } u. ( { 1 } u. NN ) )
11 1nn 11031 . . . . . . 7 |- 1 e. NN
12 snssi 4339 . . . . . . 7 |- ( 1 e. NN -> { 1 } C_ NN )
1311, 12ax-mp 5 . . . . . 6 |- { 1 } C_ NN
14 ssequn1 3783 . . . . . 6 |- ( { 1 } C_ NN <-> ( { 1 } u. NN ) = NN )
1513, 14mpbi 220 . . . . 5 |- ( { 1 } u. NN ) = NN
1615uneq2i 3764 . . . 4 |- ( { 0 } u. ( { 1 } u. NN ) ) = ( { 0 } u. NN )
179, 10, 163eqtrri 2649 . . 3 |- ( { 0 } u. NN ) = ( { 0 , 1 } u. NN )
186, 7, 173eqtri 2648 . 2 |- NN0 = ( { 0 , 1 } u. NN )
19 oveq2 6658 . . . 4 |- ( k = i -> ( d ^r k ) = ( d ^r i ) )
2019cbviunv 4559 . . 3 |- U_ k e. { 0 , 1 } ( d ^r k ) = U_ i e. { 0 , 1 } ( d ^r i )
21 ss2iun 4536 . . . 4 |- ( A. i e. { 0 , 1 } ( d ^r i ) C_ ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) -> U_ i e. { 0 , 1 } ( d ^r i ) C_ U_ i e. { 0 , 1 } ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) )
22 vex 3203 . . . . . . . 8 |- d e. _V
23 relexp1g 13766 . . . . . . . 8 |- ( d e. _V -> ( d ^r 1 ) = d )
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . 7 |- ( d ^r 1 ) = d
25 oveq2 6658 . . . . . . . . 9 |- ( j = 1 -> ( d ^r j ) = ( d ^r 1 ) )
2625ssiun2s 4564 . . . . . . . 8 |- ( 1 e. NN -> ( d ^r 1 ) C_ U_ j e. NN ( d ^r j ) )
2711, 26ax-mp 5 . . . . . . 7 |- ( d ^r 1 ) C_ U_ j e. NN ( d ^r j )
2824, 27eqsstr3i 3636 . . . . . 6 |- d C_ U_ j e. NN ( d ^r j )
2928a1i 11 . . . . 5 |- ( i e. { 0 , 1 } -> d C_ U_ j e. NN ( d ^r j ) )
30 ovex 6678 . . . . . . 7 |- ( d ^r j ) e. _V
315, 30iunex 7147 . . . . . 6 |- U_ j e. NN ( d ^r j ) e. _V
3231a1i 11 . . . . 5 |- ( i e. { 0 , 1 } -> U_ j e. NN ( d ^r j ) e. _V )
33 0nn0 11307 . . . . . . 7 |- 0 e. NN0
34 1nn0 11308 . . . . . . 7 |- 1 e. NN0
35 prssi 4353 . . . . . . 7 |- ( ( 0 e. NN0 /\ 1 e. NN0 ) -> { 0 , 1 } C_ NN0 )
3633, 34, 35mp2an 708 . . . . . 6 |- { 0 , 1 } C_ NN0
3736sseli 3599 . . . . 5 |- ( i e. { 0 , 1 } -> i e. NN0 )
3829, 32, 37relexpss1d 37997 . . . 4 |- ( i e. { 0 , 1 } -> ( d ^r i ) C_ ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) )
3921, 38mprg 2926 . . 3 |- U_ i e. { 0 , 1 } ( d ^r i ) C_ U_ i e. { 0 , 1 } ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i )
4020, 39eqsstri 3635 . 2 |- U_ k e. { 0 , 1 } ( d ^r k ) C_ U_ i e. { 0 , 1 } ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i )
41 oveq2 6658 . . . . 5 |- ( k = j -> ( d ^r k ) = ( d ^r j ) )
4241cbviunv 4559 . . . 4 |- U_ k e. NN ( d ^r k ) = U_ j e. NN ( d ^r j )
43 relexp1g 13766 . . . . 5 |- ( U_ j e. NN ( d ^r j ) e. _V -> ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r 1 ) = U_ j e. NN ( d ^r j ) )
4431, 43ax-mp 5 . . . 4 |- ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r 1 ) = U_ j e. NN ( d ^r j )
4542, 44eqtr4i 2647 . . 3 |- U_ k e. NN ( d ^r k ) = ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r 1 )
46 1ex 10035 . . . . 5 |- 1 e. _V
4746prid2 4298 . . . 4 |- 1 e. { 0 , 1 }
48 oveq2 6658 . . . . 5 |- ( i = 1 -> ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) = ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r 1 ) )
4948ssiun2s 4564 . . . 4 |- ( 1 e. { 0 , 1 } -> ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r 1 ) C_ U_ i e. { 0 , 1 } ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) )
5047, 49ax-mp 5 . . 3 |- ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r 1 ) C_ U_ i e. { 0 , 1 } ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i )
5145, 50eqsstri 3635 . 2 |- U_ k e. NN ( d ^r k ) C_ U_ i e. { 0 , 1 } ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i )
52 c0ex 10034 . . . . . 6 |- 0 e. _V
5352prid1 4297 . . . . 5 |- 0 e. { 0 , 1 }
54 oveq2 6658 . . . . . 6 |- ( k = 0 -> ( d ^r k ) = ( d ^r 0 ) )
5554ssiun2s 4564 . . . . 5 |- ( 0 e. { 0 , 1 } -> ( d ^r 0 ) C_ U_ k e. { 0 , 1 } ( d ^r k ) )
5653, 55ax-mp 5 . . . 4 |- ( d ^r 0 ) C_ U_ k e. { 0 , 1 } ( d ^r k )
57 ssid 3624 . . . 4 |- U_ k e. NN ( d ^r k ) C_ U_ k e. NN ( d ^r k )
58 unss12 3785 . . . 4 |- ( ( ( d ^r 0 ) C_ U_ k e. { 0 , 1 } ( d ^r k ) /\ U_ k e. NN ( d ^r k ) C_ U_ k e. NN ( d ^r k ) ) -> ( ( d ^r 0 ) u. U_ k e. NN ( d ^r k ) ) C_ ( U_ k e. { 0 , 1 } ( d ^r k ) u. U_ k e. NN ( d ^r k ) ) )
5956, 57, 58mp2an 708 . . 3 |- ( ( d ^r 0 ) u. U_ k e. NN ( d ^r k ) ) C_ ( U_ k e. { 0 , 1 } ( d ^r k ) u. U_ k e. NN ( d ^r k ) )
60 iuneq1 4534 . . . . 5 |- ( { 0 , 1 } = ( { 0 } u. { 1 } ) -> U_ i e. { 0 , 1 } ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) = U_ i e. ( { 0 } u. { 1 } ) ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) )
618, 60ax-mp 5 . . . 4 |- U_ i e. { 0 , 1 } ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) = U_ i e. ( { 0 } u. { 1 } ) ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i )
62 iunxun 4605 . . . 4 |- U_ i e. ( { 0 } u. { 1 } ) ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) = ( U_ i e. { 0 } ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) u. U_ i e. { 1 } ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) )
63 oveq2 6658 . . . . . . 7 |- ( i = 0 -> ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) = ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r 0 ) )
6452, 63iunxsn 4603 . . . . . 6 |- U_ i e. { 0 } ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) = ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r 0 )
65 nnssnn0 11295 . . . . . . 7 |- NN C_ NN0
66 inelcm 4032 . . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. { 0 , 1 } /\ 1 e. NN ) -> ( { 0 , 1 } i^i NN ) =/= (/) )
6747, 11, 66mp2an 708 . . . . . . 7 |- ( { 0 , 1 } i^i NN ) =/= (/)
68 iunrelexp0 37994 . . . . . . 7 |- ( ( d e. _V /\ NN C_ NN0 /\ ( { 0 , 1 } i^i NN ) =/= (/) ) -> ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r 0 ) = ( d ^r 0 ) )
6922, 65, 67, 68mp3an 1424 . . . . . 6 |- ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r 0 ) = ( d ^r 0 )
7064, 69eqtri 2644 . . . . 5 |- U_ i e. { 0 } ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) = ( d ^r 0 )
7146, 48iunxsn 4603 . . . . . 6 |- U_ i e. { 1 } ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) = ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r 1 )
7244, 42eqtr4i 2647 . . . . . 6 |- ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r 1 ) = U_ k e. NN ( d ^r k )
7371, 72eqtri 2644 . . . . 5 |- U_ i e. { 1 } ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) = U_ k e. NN ( d ^r k )
7470, 73uneq12i 3765 . . . 4 |- ( U_ i e. { 0 } ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) u. U_ i e. { 1 } ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) ) = ( ( d ^r 0 ) u. U_ k e. NN ( d ^r k ) )
7561, 62, 743eqtri 2648 . . 3 |- U_ i e. { 0 , 1 } ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) = ( ( d ^r 0 ) u. U_ k e. NN ( d ^r k ) )
76 iunxun 4605 . . 3 |- U_ k e. ( { 0 , 1 } u. NN ) ( d ^r k ) = ( U_ k e. { 0 , 1 } ( d ^r k ) u. U_ k e. NN ( d ^r k ) )
7759, 75, 763sstr4i 3644 . 2 |- U_ i e. { 0 , 1 } ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) C_ U_ k e. ( { 0 , 1 } u. NN ) ( d ^r k )
781, 2, 3, 4, 5, 18, 40, 51, 77comptiunov2i 37998 1 |- ( r* o. t+ ) = t*
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   _Vcvv 3200   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   {cpr 4179   U_ciun 4520   o. ccom 5118  (class class class)co 6650   0cc0 9936   1c1 9937   NNcn 11020   NN0cn0 11292   t+ctcl 13724   t*crtcl 13725   ^r crelexp 13760   r*crcl 37964
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-seq 12802  df-trcl 13726  df-rtrcl 13727  df-relexp 13761  df-rcl 37965
This theorem is referenced by:  cortrcltrcl  38032  corclrtrcl  38033
  Copyright terms: Public domain W3C validator