Theorem lcfrlem37 36868

Description: Lemma for lcfr 36874. (Contributed by NM, 8-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcfrlem17.h	|- H = ( LHyp ` K )
lcfrlem17.o	|- ._|_ = ( ( ocH ` K ) ` W )
lcfrlem17.u	|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
lcfrlem17.v	|- V = ( Base ` U )
lcfrlem17.p	|- .+ = ( +g ` U )
lcfrlem17.z	|- .0. = ( 0g ` U )
lcfrlem17.n	|- N = ( LSpan ` U )
lcfrlem17.a	|- A = (LSAtoms ` U )
lcfrlem17.k	|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
lcfrlem17.x	|- ( ph -> X e. ( V \ { .0. } ) )
lcfrlem17.y	|- ( ph -> Y e. ( V \ { .0. } ) )
lcfrlem17.ne	|- ( ph -> ( N ` { X } ) =/= ( N ` { Y } ) )
lcfrlem22.b	|- B = ( ( N ` { X , Y } ) i^i ( ._|_ ` { ( X .+ Y ) } ) )
lcfrlem24.t	|- .x. = ( .s ` U )
lcfrlem24.s	|- S = (Scalar ` U )
lcfrlem24.q	|- Q = ( 0g ` S )
lcfrlem24.r	|- R = ( Base ` S )
lcfrlem24.j	|- J = ( x e. ( V \ { .0. } ) |-> ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { x } ) v = ( w .+ ( k .x. x ) ) ) ) )
lcfrlem24.ib	|- ( ph -> I e. B )
lcfrlem24.l	|- L = (LKer ` U )
lcfrlem25.d	|- D = (LDual ` U )
lcfrlem28.jn	|- ( ph -> ( ( J ` Y ) ` I ) =/= Q )
lcfrlem29.i	|- F = ( invr ` S )
lcfrlem30.m	|- .- = ( -g ` D )
lcfrlem30.c	|- C = ( ( J ` X ) .- ( ( ( F ` ( ( J ` Y ) ` I ) ) ( .r ` S ) ( ( J ` X ) ` I ) ) ( .s ` D ) ( J ` Y ) ) )
lcfrlem37.g	|- ( ph -> G e. ( LSubSp ` D ) )
lcfrlem37.gs	|- ( ph -> G C_ { f e. (LFnl ` U ) | ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` f ) ) ) = ( L ` f ) } )
lcfrlem37.e	|- E = U_ g e. G ( ._|_ ` ( L ` g ) )
lcfrlem37.xe	|- ( ph -> X e. E )
lcfrlem37.ye	|- ( ph -> Y e. E )

Assertion

Ref	Expression
lcfrlem37	|- ( ph -> ( X .+ Y ) e. E )

Distinct variable groups:   v, k, w, x, ._|_   .+ , k, v, w, x   R, k, v, x   S, k   .x. , k, v, w, x   v, V, x   k, X, v, w, x   k, Y, v, w, x   x, .0.   f, J   f, L   ._|_ , f   .+ , f   R, f   .x. , f   U, f   f, V   f, X   f, Y, k, v, w, x, g   C, g, k   D, g, k   g, G, k   g, I, k   f, g, J, k   g, L, k   ._|_ , g   .+ , g   Q, g, k   U, k   g, V   g, X   g, Y   ph, g, k   v, g, w, x

Allowed substitution hints:   ph( x, w, v, f)   A( x, w, v, f, g, k)   B( x, w, v, f, g, k)   C( x, w, v, f)   D( x, w, v, f)   Q( x, w, v, f)   R( w, g)   S( x, w, v, f, g)   .x. ( g)   U( x, w, v, g)   E( x, w, v, f, g, k)   F( x, w, v, f, g, k)   G( x, w, v, f)   H( x, w, v, f, g, k)   I( x, w, v, f)   J( x, w, v)   K( x, w, v, f, g, k)   L( x, w, v)   .- ( x, w, v, f, g, k)   N( x, w, v, f, g, k)   V( w, k)   W( x, w, v, f, g, k)   .0. ( w, v, f, g, k)

Proof of Theorem lcfrlem37

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcfrlem30.c	. . . . 5 |- C = ( ( J ` X ) .- ( ( ( F ` ( ( J ` Y ) ` I ) ) ( .r ` S ) ( ( J ` X ) ` I ) ) ( .s ` D ) ( J ` Y ) ) )
2		lcfrlem25.d	. . . . . 6 |- D = (LDual ` U )
3		lcfrlem30.m	. . . . . 6 |- .- = ( -g ` D )
4		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( LSubSp ` D ) = ( LSubSp ` D )
5		lcfrlem17.h	. . . . . . 7 |- H = ( LHyp ` K )
6		lcfrlem17.u	. . . . . . 7 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
7		lcfrlem17.k	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
8	5, 6, 7	dvhlmod 36399	. . . . . 6 |- ( ph -> U e. LMod )
9		lcfrlem37.g	. . . . . 6 |- ( ph -> G e. ( LSubSp ` D ) )
10		lcfrlem17.o	. . . . . . 7 |- ._|_ = ( ( ocH ` K ) ` W )
11		lcfrlem17.v	. . . . . . 7 |- V = ( Base ` U )
12		lcfrlem17.p	. . . . . . 7 |- .+ = ( +g ` U )
13		lcfrlem24.t	. . . . . . 7 |- .x. = ( .s ` U )
14		lcfrlem24.s	. . . . . . 7 |- S = (Scalar ` U )
15		lcfrlem24.r	. . . . . . 7 |- R = ( Base ` S )
16		lcfrlem17.z	. . . . . . 7 |- .0. = ( 0g ` U )
17		eqid 2622	. . . . . . 7 |- (LFnl ` U ) = (LFnl ` U )
18		lcfrlem24.l	. . . . . . 7 |- L = (LKer ` U )
19		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( 0g ` D ) = ( 0g ` D )
20		eqid 2622	. . . . . . 7 |- { f e. (LFnl ` U ) | ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` f ) ) ) = ( L ` f ) } = { f e. (LFnl ` U ) | ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` f ) ) ) = ( L ` f ) }
21		lcfrlem24.j	. . . . . . 7 |- J = ( x e. ( V \ { .0. } ) |-> ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { x } ) v = ( w .+ ( k .x. x ) ) ) ) )
22		lcfrlem37.gs	. . . . . . 7 |- ( ph -> G C_ { f e. (LFnl ` U ) | ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` f ) ) ) = ( L ` f ) } )
23		lcfrlem37.e	. . . . . . 7 |- E = U_ g e. G ( ._|_ ` ( L ` g ) )
24		lcfrlem37.xe	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X e. E )
25		lcfrlem17.x	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> X e. ( V \ { .0. } ) )
26		eldifsni 4320	. . . . . . . . 9 |- ( X e. ( V \ { .0. } ) -> X =/= .0. )
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X =/= .0. )
28		eldifsn 4317	. . . . . . . 8 |- ( X e. ( E \ { .0. } ) <-> ( X e. E /\ X =/= .0. ) )
29	24, 27, 28	sylanbrc 698	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. ( E \ { .0. } ) )
30	5, 10, 6, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 2, 19, 20, 21, 7, 4, 9, 22, 23, 29	lcfrlem16 36847	. . . . . 6 |- ( ph -> ( J ` X ) e. G )
31		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( .s ` D ) = ( .s ` D )
32		lcfrlem17.n	. . . . . . . 8 |- N = ( LSpan ` U )
33		lcfrlem17.a	. . . . . . . 8 |- A = (LSAtoms ` U )
34		lcfrlem17.y	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Y e. ( V \ { .0. } ) )
35		lcfrlem17.ne	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( N ` { X } ) =/= ( N ` { Y } ) )
36		lcfrlem22.b	. . . . . . . 8 |- B = ( ( N ` { X , Y } ) i^i ( ._|_ ` { ( X .+ Y ) } ) )
37		lcfrlem24.q	. . . . . . . 8 |- Q = ( 0g ` S )
38		lcfrlem24.ib	. . . . . . . 8 |- ( ph -> I e. B )
39		lcfrlem28.jn	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( J ` Y ) ` I ) =/= Q )
40		lcfrlem29.i	. . . . . . . 8 |- F = ( invr ` S )
41	5, 10, 6, 11, 12, 16, 32, 33, 7, 25, 34, 35, 36, 13, 14, 37, 15, 21, 38, 18, 2, 39, 40	lcfrlem29 36860	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( F ` ( ( J ` Y ) ` I ) ) ( .r ` S ) ( ( J ` X ) ` I ) ) e. R )
42		lcfrlem37.ye	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Y e. E )
43		eldifsni 4320	. . . . . . . . . 10 |- ( Y e. ( V \ { .0. } ) -> Y =/= .0. )
44	34, 43	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Y =/= .0. )
45		eldifsn 4317	. . . . . . . . 9 |- ( Y e. ( E \ { .0. } ) <-> ( Y e. E /\ Y =/= .0. ) )
46	42, 44, 45	sylanbrc 698	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Y e. ( E \ { .0. } ) )
47	5, 10, 6, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 2, 19, 20, 21, 7, 4, 9, 22, 23, 46	lcfrlem16 36847	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( J ` Y ) e. G )
48	14, 15, 2, 31, 4, 8, 9, 41, 47	ldualssvscl 34445	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( F ` ( ( J ` Y ) ` I ) ) ( .r ` S ) ( ( J ` X ) ` I ) ) ( .s ` D ) ( J ` Y ) ) e. G )
49	2, 3, 4, 8, 9, 30, 48	ldualssvsubcl 34446	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( J ` X ) .- ( ( ( F ` ( ( J ` Y ) ` I ) ) ( .r ` S ) ( ( J ` X ) ` I ) ) ( .s ` D ) ( J ` Y ) ) ) e. G )
50	1, 49	syl5eqel 2705	. . . 4 |- ( ph -> C e. G )
51	5, 10, 6, 11, 12, 16, 32, 33, 7, 25, 34, 35, 36, 13, 14, 37, 15, 21, 38, 18, 2, 39, 40, 3, 1	lcfrlem36 36867	. . . 4 |- ( ph -> ( X .+ Y ) e. ( ._|_ ` ( L ` C ) ) )
52		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( g = C -> ( L ` g ) = ( L ` C ) )
53	52	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( g = C -> ( ._|_ ` ( L ` g ) ) = ( ._|_ ` ( L ` C ) ) )
54	53	eleq2d 2687	. . . . 5 |- ( g = C -> ( ( X .+ Y ) e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) <-> ( X .+ Y ) e. ( ._|_ ` ( L ` C ) ) ) )
55	54	rspcev 3309	. . . 4 |- ( ( C e. G /\ ( X .+ Y ) e. ( ._|_ ` ( L ` C ) ) ) -> E. g e. G ( X .+ Y ) e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) )
56	50, 51, 55	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> E. g e. G ( X .+ Y ) e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) )
57		eliun 4524	. . 3 |- ( ( X .+ Y ) e. U_ g e. G ( ._|_ ` ( L ` g ) ) <-> E. g e. G ( X .+ Y ) e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) )
58	56, 57	sylibr 224	. 2 |- ( ph -> ( X .+ Y ) e. U_ g e. G ( ._|_ ` ( L ` g ) ) )
59	58, 23	syl6eleqr 2712	1 |- ( ph -> ( X .+ Y ) e. E )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   {crab 2916   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   {csn 4177   {cpr 4179   U_ciun 4520   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888   iota_crio 6610  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   0gc0g 16100   -gcsg 17424   invrcinvr 18671   LSubSpclss 18932   LSpanclspn 18971  LSAtomsclsa 34261  LFnlclfn 34344  LKerclk 34372  LDualcld 34410   HLchlt 34637   LHypclh 35270   DVecHcdvh 36367   ocHcoch 36636

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-riotaBAD 34239

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-undef 7399  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-0g 16102  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-p0 17039  df-p1 17040  df-lat 17046  df-clat 17108  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-cntz 17750  df-oppg 17776  df-lsm 18051  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-drng 18749  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-lvec 19103  df-lsatoms 34263  df-lshyp 34264  df-lcv 34306  df-lfl 34345  df-lkr 34373  df-ldual 34411  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-covers 34553  df-ats 34554  df-atl 34585  df-cvlat 34609  df-hlat 34638  df-llines 34784  df-lplanes 34785  df-lvols 34786  df-lines 34787  df-psubsp 34789  df-pmap 34790  df-padd 35082  df-lhyp 35274  df-laut 35275  df-ldil 35390  df-ltrn 35391  df-trl 35446  df-tgrp 36031  df-tendo 36043  df-edring 36045  df-dveca 36291  df-disoa 36318  df-dvech 36368  df-dib 36428  df-dic 36462  df-dih 36518  df-doch 36637  df-djh 36684

This theorem is referenced by:  lcfrlem38  36869