Theorem limcmpt 23647

Description: Express the limit operator for a function defined by a mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
limcmpt.a	|- ( ph -> A C_ CC )
limcmpt.b	|- ( ph -> B e. CC )
limcmpt.f	|- ( ( ph /\ z e. A ) -> D e. CC )
limcmpt.j	|- J = ( K ↾t ( A u. { B } ) )
limcmpt.k	|- K = ( TopOpen ` ℂfld )

Assertion

Ref	Expression
limcmpt	|- ( ph -> ( C e. ( ( z e. A |-> D ) lim CC B ) <-> ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , D ) ) e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) )

Distinct variable groups:   z, A   z, B   z, C   ph, z

Allowed substitution hints:   D( z)   J( z)   K( z)

Proof of Theorem limcmpt

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limcmpt.j	. . 3 |- J = ( K ↾t ( A u. { B } ) )
2		limcmpt.k	. . 3 |- K = ( TopOpen ` ℂfld )
3		nfcv 2764	. . . 4 |- F/_ y if ( z = B , C , ( ( z e. A |-> D ) ` z ) )
4		nfv 1843	. . . . 5 |- F/ z y = B
5		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ z C
6		nffvmpt1 6199	. . . . 5 |- F/_ z ( ( z e. A |-> D ) ` y )
7	4, 5, 6	nfif 4115	. . . 4 |- F/_ z if ( y = B , C , ( ( z e. A |-> D ) ` y ) )
8		eqeq1 2626	. . . . 5 |- ( z = y -> ( z = B <-> y = B ) )
9		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( z = y -> ( ( z e. A |-> D ) ` z ) = ( ( z e. A |-> D ) ` y ) )
10	8, 9	ifbieq2d 4111	. . . 4 |- ( z = y -> if ( z = B , C , ( ( z e. A |-> D ) ` z ) ) = if ( y = B , C , ( ( z e. A |-> D ) ` y ) ) )
11	3, 7, 10	cbvmpt 4749	. . 3 |- ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( ( z e. A |-> D ) ` z ) ) ) = ( y e. ( A u. { B } ) |-> if ( y = B , C , ( ( z e. A |-> D ) ` y ) ) )
12		limcmpt.f	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> D e. CC )
13		eqid 2622	. . . 4 |- ( z e. A |-> D ) = ( z e. A |-> D )
14	12, 13	fmptd 6385	. . 3 |- ( ph -> ( z e. A |-> D ) : A --> CC )
15		limcmpt.a	. . 3 |- ( ph -> A C_ CC )
16		limcmpt.b	. . 3 |- ( ph -> B e. CC )
17	1, 2, 11, 14, 15, 16	ellimc 23637	. 2 |- ( ph -> ( C e. ( ( z e. A |-> D ) lim CC B ) <-> ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( ( z e. A |-> D ) ` z ) ) ) e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) )
18		elun 3753	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( A u. { B } ) <-> ( z e. A \/ z e. { B } ) )
19		velsn 4193	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. { B } <-> z = B )
20	19	orbi2i 541	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. A \/ z e. { B } ) <-> ( z e. A \/ z = B ) )
21	18, 20	bitri 264	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( A u. { B } ) <-> ( z e. A \/ z = B ) )
22		pm5.61 749	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e. A \/ z = B ) /\ -. z = B ) <-> ( z e. A /\ -. z = B ) )
23	22	simplbi 476	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e. A \/ z = B ) /\ -. z = B ) -> z e. A )
24	21, 23	sylanb 489	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. ( A u. { B } ) /\ -. z = B ) -> z e. A )
25	24	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( z e. ( A u. { B } ) /\ -. z = B ) ) -> z e. A )
26	24, 12	sylan2 491	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( z e. ( A u. { B } ) /\ -. z = B ) ) -> D e. CC )
27	13	fvmpt2 6291	. . . . . . 7 |- ( ( z e. A /\ D e. CC ) -> ( ( z e. A |-> D ) ` z ) = D )
28	25, 26, 27	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( z e. ( A u. { B } ) /\ -. z = B ) ) -> ( ( z e. A |-> D ) ` z ) = D )
29	28	anassrs 680	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. ( A u. { B } ) ) /\ -. z = B ) -> ( ( z e. A |-> D ) ` z ) = D )
30	29	ifeq2da 4117	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. ( A u. { B } ) ) -> if ( z = B , C , ( ( z e. A |-> D ) ` z ) ) = if ( z = B , C , D ) )
31	30	mpteq2dva 4744	. . 3 |- ( ph -> ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( ( z e. A |-> D ) ` z ) ) ) = ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , D ) ) )
32	31	eleq1d 2686	. 2 |- ( ph -> ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , ( ( z e. A |-> D ) ` z ) ) ) e. ( ( J CnP K ) ` B ) <-> ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , D ) ) e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) )
33	17, 32	bitrd 268	1 |- ( ph -> ( C e. ( ( z e. A |-> D ) lim CC B ) <-> ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , C , D ) ) e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   u. cun 3572   C_ wss 3574   ifcif 4086   {csn 4177   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   ↾_t crest 16081   TopOpenctopn 16082  ℂ_fldccnfld 19746   CnP ccnp 21029   lim CC climc 23626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-rest 16083  df-topn 16084  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cnp 21032  df-xms 22125  df-ms 22126  df-limc 23630

This theorem is referenced by:  limcmpt2  23648  limccnp2  23656  limcco  23657