Theorem liminfreuzlem 40034

Description: Given a function on the reals, its inferior limit is real if and only if two condition holds: 1. there is a real number that is greater than or equal to the function, infinitely often; 2. there is a real number that is smaller than or equal to the function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
liminfreuzlem.1	|- F/_ j F
liminfreuzlem.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
liminfreuzlem.3	|- Z = ( ZZ>= ` M )
liminfreuzlem.4	|- ( ph -> F : Z --> RR )

Assertion

Ref	Expression
liminfreuzlem	|- ( ph -> ( (liminf ` F ) e. RR <-> ( E. x e. RR A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x /\ E. x e. RR A. j e. Z x <_ ( F ` j ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, k, F   j, M   j, Z, k, x   ph, j, k, x

Allowed substitution hints:   F( j)   M( x, k)

Proof of Theorem liminfreuzlem

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1843	. . . . 5 |- F/ j ph
2		liminfreuzlem.1	. . . . 5 |- F/_ j F
3		liminfreuzlem.2	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ZZ )
4		liminfreuzlem.3	. . . . 5 |- Z = ( ZZ>= ` M )
5		liminfreuzlem.4	. . . . 5 |- ( ph -> F : Z --> RR )
6	1, 2, 3, 4, 5	liminfvaluz4 40031	. . . 4 |- ( ph -> (liminf ` F ) = -e ( limsup ` ( j e. Z |-> -u ( F ` j ) ) ) )
7	6	eleq1d 2686	. . 3 |- ( ph -> ( (liminf ` F ) e. RR <-> -e ( limsup ` ( j e. Z |-> -u ( F ` j ) ) ) e. RR ) )
8	4	fvexi 6202	. . . . . . 7 |- Z e. _V
9	8	mptex 6486	. . . . . 6 |- ( j e. Z |-> -u ( F ` j ) ) e. _V
10		limsupcl 14204	. . . . . 6 |- ( ( j e. Z |-> -u ( F ` j ) ) e. _V -> ( limsup ` ( j e. Z |-> -u ( F ` j ) ) ) e. RR* )
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( limsup ` ( j e. Z |-> -u ( F ` j ) ) ) e. RR*
12	11	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( limsup ` ( j e. Z |-> -u ( F ` j ) ) ) e. RR* )
13	12	xnegred 39700	. . 3 |- ( ph -> ( ( limsup ` ( j e. Z |-> -u ( F ` j ) ) ) e. RR <-> -e ( limsup ` ( j e. Z |-> -u ( F ` j ) ) ) e. RR ) )
14	7, 13	bitr4d 271	. 2 |- ( ph -> ( (liminf ` F ) e. RR <-> ( limsup ` ( j e. Z |-> -u ( F ` j ) ) ) e. RR ) )
15	5	ffvelrnda 6359	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( F ` j ) e. RR )
16	15	renegcld 10457	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> -u ( F ` j ) e. RR )
17	1, 3, 4, 16	limsupreuzmpt 39971	. . 3 |- ( ph -> ( ( limsup ` ( j e. Z |-> -u ( F ` j ) ) ) e. RR <-> ( E. y e. RR A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) y <_ -u ( F ` j ) /\ E. y e. RR A. j e. Z -u ( F ` j ) <_ y ) ) )
18		renegcl 10344	. . . . . . . 8 |- ( y e. RR -> -u y e. RR )
19	18	ad2antlr 763	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) y <_ -u ( F ` j ) ) -> -u y e. RR )
20		simpllr 799	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ k e. Z ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> y e. RR )
21	5	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> F : Z --> RR )
22	4	uztrn2 11705	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. Z /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> j e. Z )
23	22	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> j e. Z )
24	21, 23	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( F ` j ) e. RR )
25	24	adantllr 755	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ k e. Z ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( F ` j ) e. RR )
26	20, 25	leneg2d 39676	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ k e. Z ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( y <_ -u ( F ` j ) <-> ( F ` j ) <_ -u y ) )
27	26	rexbidva 3049	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ k e. Z ) -> ( E. j e. ( ZZ>= ` k ) y <_ -u ( F ` j ) <-> E. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ -u y ) )
28	27	ralbidva 2985	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) y <_ -u ( F ` j ) <-> A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ -u y ) )
29	28	biimpd 219	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) y <_ -u ( F ` j ) -> A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ -u y ) )
30	29	imp 445	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) y <_ -u ( F ` j ) ) -> A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ -u y )
31		breq2 4657	. . . . . . . . . 10 |- ( x = -u y -> ( ( F ` j ) <_ x <-> ( F ` j ) <_ -u y ) )
32	31	rexbidv 3052	. . . . . . . . 9 |- ( x = -u y -> ( E. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x <-> E. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ -u y ) )
33	32	ralbidv 2986	. . . . . . . 8 |- ( x = -u y -> ( A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x <-> A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ -u y ) )
34	33	rspcev 3309	. . . . . . 7 |- ( ( -u y e. RR /\ A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ -u y ) -> E. x e. RR A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x )
35	19, 30, 34	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) y <_ -u ( F ` j ) ) -> E. x e. RR A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x )
36	35	rexlimdva2 39339	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. y e. RR A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) y <_ -u ( F ` j ) -> E. x e. RR A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x ) )
37		renegcl 10344	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR -> -u x e. RR )
38	37	ad2antlr 763	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x ) -> -u x e. RR )
39	24	adantllr 755	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. Z ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( F ` j ) e. RR )
40		simpllr 799	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. Z ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> x e. RR )
41	39, 40	lenegd 10606	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. Z ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( ( F ` j ) <_ x <-> -u x <_ -u ( F ` j ) ) )
42	41	rexbidva 3049	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. Z ) -> ( E. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x <-> E. j e. ( ZZ>= ` k ) -u x <_ -u ( F ` j ) ) )
43	42	ralbidva 2985	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x <-> A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) -u x <_ -u ( F ` j ) ) )
44	43	biimpd 219	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x -> A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) -u x <_ -u ( F ` j ) ) )
45	44	imp 445	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x ) -> A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) -u x <_ -u ( F ` j ) )
46		breq1 4656	. . . . . . . . . 10 |- ( y = -u x -> ( y <_ -u ( F ` j ) <-> -u x <_ -u ( F ` j ) ) )
47	46	rexbidv 3052	. . . . . . . . 9 |- ( y = -u x -> ( E. j e. ( ZZ>= ` k ) y <_ -u ( F ` j ) <-> E. j e. ( ZZ>= ` k ) -u x <_ -u ( F ` j ) ) )
48	47	ralbidv 2986	. . . . . . . 8 |- ( y = -u x -> ( A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) y <_ -u ( F ` j ) <-> A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) -u x <_ -u ( F ` j ) ) )
49	48	rspcev 3309	. . . . . . 7 |- ( ( -u x e. RR /\ A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) -u x <_ -u ( F ` j ) ) -> E. y e. RR A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) y <_ -u ( F ` j ) )
50	38, 45, 49	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x ) -> E. y e. RR A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) y <_ -u ( F ` j ) )
51	50	rexlimdva2 39339	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. x e. RR A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x -> E. y e. RR A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) y <_ -u ( F ` j ) ) )
52	36, 51	impbid 202	. . . 4 |- ( ph -> ( E. y e. RR A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) y <_ -u ( F ` j ) <-> E. x e. RR A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x ) )
53	18	ad2antlr 763	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. j e. Z -u ( F ` j ) <_ y ) -> -u y e. RR )
54	15	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ j e. Z ) -> ( F ` j ) e. RR )
55		simplr 792	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ j e. Z ) -> y e. RR )
56	54, 55	leneg3d 39687	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ j e. Z ) -> ( -u ( F ` j ) <_ y <-> -u y <_ ( F ` j ) ) )
57	56	ralbidva 2985	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( A. j e. Z -u ( F ` j ) <_ y <-> A. j e. Z -u y <_ ( F ` j ) ) )
58	57	biimpd 219	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( A. j e. Z -u ( F ` j ) <_ y -> A. j e. Z -u y <_ ( F ` j ) ) )
59	58	imp 445	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. j e. Z -u ( F ` j ) <_ y ) -> A. j e. Z -u y <_ ( F ` j ) )
60		breq1 4656	. . . . . . . . 9 |- ( x = -u y -> ( x <_ ( F ` j ) <-> -u y <_ ( F ` j ) ) )
61	60	ralbidv 2986	. . . . . . . 8 |- ( x = -u y -> ( A. j e. Z x <_ ( F ` j ) <-> A. j e. Z -u y <_ ( F ` j ) ) )
62	61	rspcev 3309	. . . . . . 7 |- ( ( -u y e. RR /\ A. j e. Z -u y <_ ( F ` j ) ) -> E. x e. RR A. j e. Z x <_ ( F ` j ) )
63	53, 59, 62	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. j e. Z -u ( F ` j ) <_ y ) -> E. x e. RR A. j e. Z x <_ ( F ` j ) )
64	63	rexlimdva2 39339	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. y e. RR A. j e. Z -u ( F ` j ) <_ y -> E. x e. RR A. j e. Z x <_ ( F ` j ) ) )
65	37	ad2antlr 763	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ A. j e. Z x <_ ( F ` j ) ) -> -u x e. RR )
66		simplr 792	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. Z ) -> x e. RR )
67	15	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. Z ) -> ( F ` j ) e. RR )
68	66, 67	lenegd 10606	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. Z ) -> ( x <_ ( F ` j ) <-> -u ( F ` j ) <_ -u x ) )
69	68	ralbidva 2985	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( A. j e. Z x <_ ( F ` j ) <-> A. j e. Z -u ( F ` j ) <_ -u x ) )
70	69	biimpd 219	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( A. j e. Z x <_ ( F ` j ) -> A. j e. Z -u ( F ` j ) <_ -u x ) )
71	70	imp 445	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ A. j e. Z x <_ ( F ` j ) ) -> A. j e. Z -u ( F ` j ) <_ -u x )
72		breq2 4657	. . . . . . . . 9 |- ( y = -u x -> ( -u ( F ` j ) <_ y <-> -u ( F ` j ) <_ -u x ) )
73	72	ralbidv 2986	. . . . . . . 8 |- ( y = -u x -> ( A. j e. Z -u ( F ` j ) <_ y <-> A. j e. Z -u ( F ` j ) <_ -u x ) )
74	73	rspcev 3309	. . . . . . 7 |- ( ( -u x e. RR /\ A. j e. Z -u ( F ` j ) <_ -u x ) -> E. y e. RR A. j e. Z -u ( F ` j ) <_ y )
75	65, 71, 74	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ A. j e. Z x <_ ( F ` j ) ) -> E. y e. RR A. j e. Z -u ( F ` j ) <_ y )
76	75	rexlimdva2 39339	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. x e. RR A. j e. Z x <_ ( F ` j ) -> E. y e. RR A. j e. Z -u ( F ` j ) <_ y ) )
77	64, 76	impbid 202	. . . 4 |- ( ph -> ( E. y e. RR A. j e. Z -u ( F ` j ) <_ y <-> E. x e. RR A. j e. Z x <_ ( F ` j ) ) )
78	52, 77	anbi12d 747	. . 3 |- ( ph -> ( ( E. y e. RR A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) y <_ -u ( F ` j ) /\ E. y e. RR A. j e. Z -u ( F ` j ) <_ y ) <-> ( E. x e. RR A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x /\ E. x e. RR A. j e. Z x <_ ( F ` j ) ) ) )
79	17, 78	bitrd 268	. 2 |- ( ph -> ( ( limsup ` ( j e. Z |-> -u ( F ` j ) ) ) e. RR <-> ( E. x e. RR A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x /\ E. x e. RR A. j e. Z x <_ ( F ` j ) ) ) )
80	14, 79	bitrd 268	1 |- ( ph -> ( (liminf ` F ) e. RR <-> ( E. x e. RR A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x /\ E. x e. RR A. j e. Z x <_ ( F ` j ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   F/_wnfc 2751   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888   RRcr 9935   RR*cxr 10073   <_ cle 10075   -ucneg 10267   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   -ecxne 11943   limsupclsp 14201  liminfclsi 39983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-xneg 11946  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-ceil 12594  df-limsup 14202  df-liminf 39984

This theorem is referenced by:  liminfreuz  40035