Theorem limsupgtlem 40009

Description: For any positive real, the superior limit of F is larger than any of its values at large enough arguments, up to that positive real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupgtlem.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
limsupgtlem.z	|- Z = ( ZZ>= ` M )
limsupgtlem.f	|- ( ph -> F : Z --> RR )
limsupgtlem.r	|- ( ph -> ( limsup ` F ) e. RR )
limsupgtlem.x	|- ( ph -> X e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
limsupgtlem	|- ( ph -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) - X ) < ( limsup ` F ) )

Distinct variable groups:   j, F, k   j, X, k   j, Z, k   ph, j, k

Allowed substitution hints:   M( j, k)

Proof of Theorem limsupgtlem

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1843	. . . 4 |- F/ j ph
2		limsupgtlem.m	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ZZ )
3		limsupgtlem.z	. . . . 5 |- Z = ( ZZ>= ` M )
4	2, 3	uzn0d 39652	. . . 4 |- ( ph -> Z =/= (/) )
5		rnresss 39365	. . . . . . . 8 |- ran ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) C_ ran F
6	5	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ran ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) C_ ran F )
7		limsupgtlem.f	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : Z --> RR )
8	7	frexr 39604	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : Z --> RR* )
9	8	frnd 39426	. . . . . . 7 |- ( ph -> ran F C_ RR* )
10	6, 9	sstrd 3613	. . . . . 6 |- ( ph -> ran ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) C_ RR* )
11	10	supxrcld 39290	. . . . 5 |- ( ph -> sup ( ran ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) , RR* , < ) e. RR* )
12	11	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> sup ( ran ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) , RR* , < ) e. RR* )
13		limsupgtlem.r	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( limsup ` F ) e. RR )
14		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ k F
15	14, 2, 3, 7	limsupreuz 39969	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( limsup ` F ) e. RR <-> ( E. x e. RR A. j e. Z E. k e. ( ZZ>= ` j ) x <_ ( F ` k ) /\ E. x e. RR A. k e. Z ( F ` k ) <_ x ) ) )
16	13, 15	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E. x e. RR A. j e. Z E. k e. ( ZZ>= ` j ) x <_ ( F ` k ) /\ E. x e. RR A. k e. Z ( F ` k ) <_ x ) )
17	16	simpld 475	. . . . 5 |- ( ph -> E. x e. RR A. j e. Z E. k e. ( ZZ>= ` j ) x <_ ( F ` k ) )
18		rexr 10085	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR -> x e. RR* )
19	18	ad4antlr 769	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ x <_ ( F ` k ) ) -> x e. RR* )
20	7	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> F : Z --> RR )
21	3	uztrn2 11705	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. Z )
22	21	adantll 750	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. Z )
23	20, 22	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
24	23	rexrd 10089	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` k ) e. RR* )
25	24	3impa 1259	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` k ) e. RR* )
26	25	ad5ant134 1313	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ x <_ ( F ` k ) ) -> ( F ` k ) e. RR* )
27	11	ad4antr 768	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ x <_ ( F ` k ) ) -> sup ( ran ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) , RR* , < ) e. RR* )
28		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ x <_ ( F ` k ) ) -> x <_ ( F ` k ) )
29	10	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ran ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) C_ RR* )
30		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( ZZ>= ` j ) -> ( ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) ` k ) = ( F ` k ) )
31	30	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( ZZ>= ` j ) -> ( F ` k ) = ( ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) ` k ) )
32	31	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` k ) = ( ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) ` k ) )
33	7	ffnd 6046	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> F Fn Z )
34	33	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> F Fn Z )
35	22	ssd 39252	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( ZZ>= ` j ) C_ Z )
36		fnssres 6004	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F Fn Z /\ ( ZZ>= ` j ) C_ Z ) -> ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) Fn ( ZZ>= ` j ) )
37	34, 35, 36	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) Fn ( ZZ>= ` j ) )
38	37	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) Fn ( ZZ>= ` j ) )
39		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. ( ZZ>= ` j ) )
40	38, 39	fnfvelrnd 39479	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) ` k ) e. ran ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) )
41	32, 40	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` k ) e. ran ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) )
42		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- sup ( ran ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) , RR* , < ) = sup ( ran ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) , RR* , < )
43	29, 41, 42	supxrubd 39297	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` k ) <_ sup ( ran ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) , RR* , < ) )
44	43	3impa 1259	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` k ) <_ sup ( ran ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) , RR* , < ) )
45	44	ad5ant134 1313	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ x <_ ( F ` k ) ) -> ( F ` k ) <_ sup ( ran ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) , RR* , < ) )
46	19, 26, 27, 28, 45	xrletrd 11993	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ x <_ ( F ` k ) ) -> x <_ sup ( ran ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) , RR* , < ) )
47	46	rexlimdva2 39339	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. Z ) -> ( E. k e. ( ZZ>= ` j ) x <_ ( F ` k ) -> x <_ sup ( ran ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) , RR* , < ) ) )
48	47	ralimdva 2962	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( A. j e. Z E. k e. ( ZZ>= ` j ) x <_ ( F ` k ) -> A. j e. Z x <_ sup ( ran ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) , RR* , < ) ) )
49	48	reximdva 3017	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. x e. RR A. j e. Z E. k e. ( ZZ>= ` j ) x <_ ( F ` k ) -> E. x e. RR A. j e. Z x <_ sup ( ran ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) , RR* , < ) ) )
50	17, 49	mpd 15	. . . 4 |- ( ph -> E. x e. RR A. j e. Z x <_ sup ( ran ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) , RR* , < ) )
51		limsupgtlem.x	. . . . 5 |- ( ph -> X e. RR+ )
52	51	rphalfcld 11884	. . . 4 |- ( ph -> ( X / 2 ) e. RR+ )
53	1, 4, 12, 50, 52	infrpgernmpt 39695	. . 3 |- ( ph -> E. j e. Z sup ( ran ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) , RR* , < ) <_ (inf ( ran ( j e. Z |-> sup ( ran ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) , RR* , < ) ) , RR* , < ) +e ( X / 2 ) ) )
54		simp3 1063	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. Z /\ sup ( ran ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) , RR* , < ) <_ (inf ( ran ( j e. Z |-> sup ( ran ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) , RR* , < ) ) , RR* , < ) +e ( X / 2 ) ) ) -> sup ( ran ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) , RR* , < ) <_ (inf ( ran ( j e. Z |-> sup ( ran ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) , RR* , < ) ) , RR* , < ) +e ( X / 2 ) ) )
55	2, 3, 8	limsupvaluz 39940	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( limsup ` F ) = inf ( ran ( j e. Z |-> sup ( ran ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) , RR* , < ) ) , RR* , < ) )
56	55	eqcomd 2628	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> inf ( ran ( j e. Z |-> sup ( ran ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) , RR* , < ) ) , RR* , < ) = ( limsup ` F ) )
57	56	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ph -> (inf ( ran ( j e. Z |-> sup ( ran ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) , RR* , < ) ) , RR* , < ) +e ( X / 2 ) ) = ( ( limsup ` F ) +e ( X / 2 ) ) )
58	57	3ad2ant1 1082	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. Z /\ sup ( ran ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) , RR* , < ) <_ (inf ( ran ( j e. Z |-> sup ( ran ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) , RR* , < ) ) , RR* , < ) +e ( X / 2 ) ) ) -> (inf ( ran ( j e. Z |-> sup ( ran ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) , RR* , < ) ) , RR* , < ) +e ( X / 2 ) ) = ( ( limsup ` F ) +e ( X / 2 ) ) )
59	54, 58	breqtrd 4679	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. Z /\ sup ( ran ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) , RR* , < ) <_ (inf ( ran ( j e. Z |-> sup ( ran ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) , RR* , < ) ) , RR* , < ) +e ( X / 2 ) ) ) -> sup ( ran ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) , RR* , < ) <_ ( ( limsup ` F ) +e ( X / 2 ) ) )
60	24	3adantl3 1219	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. Z /\ sup ( ran ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) , RR* , < ) <_ ( ( limsup ` F ) +e ( X / 2 ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` k ) e. RR* )
61		simpl1 1064	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. Z /\ sup ( ran ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) , RR* , < ) <_ ( ( limsup ` F ) +e ( X / 2 ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ph )
62	61, 11	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. Z /\ sup ( ran ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) , RR* , < ) <_ ( ( limsup ` F ) +e ( X / 2 ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> sup ( ran ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) , RR* , < ) e. RR* )
63	3	fvexi 6202	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- Z e. _V
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> Z e. _V )
65	7, 64	fexd 39296	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> F e. _V )
66	65	limsupcld 39922	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( limsup ` F ) e. RR* )
67	51	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> X e. RR )
68	67	rehalfcld 11279	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( X / 2 ) e. RR )
69	68	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( X / 2 ) e. RR* )
70	66, 69	xaddcld 12131	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( limsup ` F ) +e ( X / 2 ) ) e. RR* )
71	61, 70	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. Z /\ sup ( ran ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) , RR* , < ) <_ ( ( limsup ` F ) +e ( X / 2 ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( limsup ` F ) +e ( X / 2 ) ) e. RR* )
72	43	3adantl3 1219	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. Z /\ sup ( ran ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) , RR* , < ) <_ ( ( limsup ` F ) +e ( X / 2 ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` k ) <_ sup ( ran ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) , RR* , < ) )
73		simpl3 1066	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. Z /\ sup ( ran ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) , RR* , < ) <_ ( ( limsup ` F ) +e ( X / 2 ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> sup ( ran ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) , RR* , < ) <_ ( ( limsup ` F ) +e ( X / 2 ) ) )
74	60, 62, 71, 72, 73	xrletrd 11993	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. Z /\ sup ( ran ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) , RR* , < ) <_ ( ( limsup ` F ) +e ( X / 2 ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` k ) <_ ( ( limsup ` F ) +e ( X / 2 ) ) )
75	13, 68	rexaddd 12065	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( limsup ` F ) +e ( X / 2 ) ) = ( ( limsup ` F ) + ( X / 2 ) ) )
76	61, 75	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. Z /\ sup ( ran ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) , RR* , < ) <_ ( ( limsup ` F ) +e ( X / 2 ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( limsup ` F ) +e ( X / 2 ) ) = ( ( limsup ` F ) + ( X / 2 ) ) )
77	74, 76	breqtrd 4679	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. Z /\ sup ( ran ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) , RR* , < ) <_ ( ( limsup ` F ) +e ( X / 2 ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` k ) <_ ( ( limsup ` F ) + ( X / 2 ) ) )
78	68	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( X / 2 ) e. RR )
79	13	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( limsup ` F ) e. RR )
80	23, 78, 79	lesubaddd 10624	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( F ` k ) - ( X / 2 ) ) <_ ( limsup ` F ) <-> ( F ` k ) <_ ( ( limsup ` F ) + ( X / 2 ) ) ) )
81	80	3adantl3 1219	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. Z /\ sup ( ran ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) , RR* , < ) <_ ( ( limsup ` F ) +e ( X / 2 ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( F ` k ) - ( X / 2 ) ) <_ ( limsup ` F ) <-> ( F ` k ) <_ ( ( limsup ` F ) + ( X / 2 ) ) ) )
82	77, 81	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. Z /\ sup ( ran ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) , RR* , < ) <_ ( ( limsup ` F ) +e ( X / 2 ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( F ` k ) - ( X / 2 ) ) <_ ( limsup ` F ) )
83	82	ralrimiva 2966	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. Z /\ sup ( ran ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) , RR* , < ) <_ ( ( limsup ` F ) +e ( X / 2 ) ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) - ( X / 2 ) ) <_ ( limsup ` F ) )
84	59, 83	syld3an3 1371	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. Z /\ sup ( ran ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) , RR* , < ) <_ (inf ( ran ( j e. Z |-> sup ( ran ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) , RR* , < ) ) , RR* , < ) +e ( X / 2 ) ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) - ( X / 2 ) ) <_ ( limsup ` F ) )
85	84	3exp 1264	. . . 4 |- ( ph -> ( j e. Z -> ( sup ( ran ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) , RR* , < ) <_ (inf ( ran ( j e. Z |-> sup ( ran ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) , RR* , < ) ) , RR* , < ) +e ( X / 2 ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) - ( X / 2 ) ) <_ ( limsup ` F ) ) ) )
86	1, 85	reximdai 3012	. . 3 |- ( ph -> ( E. j e. Z sup ( ran ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) , RR* , < ) <_ (inf ( ran ( j e. Z |-> sup ( ran ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) , RR* , < ) ) , RR* , < ) +e ( X / 2 ) ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) - ( X / 2 ) ) <_ ( limsup ` F ) ) )
87	53, 86	mpd 15	. 2 |- ( ph -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) - ( X / 2 ) ) <_ ( limsup ` F ) )
88		simpll 790	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ph )
89	7	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. RR )
90	67	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> X e. RR )
91	89, 90	resubcld 10458	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( F ` k ) - X ) e. RR )
92	91	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ ( ( F ` k ) - ( X / 2 ) ) <_ ( limsup ` F ) ) -> ( ( F ` k ) - X ) e. RR )
93	68	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( X / 2 ) e. RR )
94	89, 93	resubcld 10458	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( F ` k ) - ( X / 2 ) ) e. RR )
95	94	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ ( ( F ` k ) - ( X / 2 ) ) <_ ( limsup ` F ) ) -> ( ( F ` k ) - ( X / 2 ) ) e. RR )
96	13	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ ( ( F ` k ) - ( X / 2 ) ) <_ ( limsup ` F ) ) -> ( limsup ` F ) e. RR )
97	51	rphalfltd 39684	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( X / 2 ) < X )
98	97	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( X / 2 ) < X )
99	93, 90, 89, 98	ltsub2dd 10640	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( F ` k ) - X ) < ( ( F ` k ) - ( X / 2 ) ) )
100	99	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ ( ( F ` k ) - ( X / 2 ) ) <_ ( limsup ` F ) ) -> ( ( F ` k ) - X ) < ( ( F ` k ) - ( X / 2 ) ) )
101		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ ( ( F ` k ) - ( X / 2 ) ) <_ ( limsup ` F ) ) -> ( ( F ` k ) - ( X / 2 ) ) <_ ( limsup ` F ) )
102	92, 95, 96, 100, 101	ltletrd 10197	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ ( ( F ` k ) - ( X / 2 ) ) <_ ( limsup ` F ) ) -> ( ( F ` k ) - X ) < ( limsup ` F ) )
103	102	ex 450	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( ( F ` k ) - ( X / 2 ) ) <_ ( limsup ` F ) -> ( ( F ` k ) - X ) < ( limsup ` F ) ) )
104	88, 22, 103	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( F ` k ) - ( X / 2 ) ) <_ ( limsup ` F ) -> ( ( F ` k ) - X ) < ( limsup ` F ) ) )
105	104	ralimdva 2962	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) - ( X / 2 ) ) <_ ( limsup ` F ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) - X ) < ( limsup ` F ) ) )
106	105	reximdva 3017	. 2 |- ( ph -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) - ( X / 2 ) ) <_ ( limsup ` F ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) - X ) < ( limsup ` F ) ) )
107	87, 106	mpd 15	1 |- ( ph -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) - X ) < ( limsup ` F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   |` cres 5116   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   supcsup 8346  infcinf 8347   RRcr 9935   + caddc 9939   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   2c2 11070   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   +ecxad 11944   limsupclsp 14201

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-ceil 12594  df-limsup 14202

This theorem is referenced by:  limsupgt  40010