Theorem limsupubuzlem 39944

Description: If the limsup is not +oo, then the function is bounded. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupubuzlem.j	|- F/ j ph
limsupubuzlem.e	|- F/_ j X
limsupubuzlem.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
limsupubuzlem.z	|- Z = ( ZZ>= ` M )
limsupubuzlem.f	|- ( ph -> F : Z --> RR )
limsupubuzlem.y	|- ( ph -> Y e. RR )
limsupubuzlem.k	|- ( ph -> K e. RR )
limsupubuzlem.b	|- ( ph -> A. j e. Z ( K <_ j -> ( F ` j ) <_ Y ) )
limsupubuzlem.n	|- N = if ( (⌈ ` K ) <_ M , M , (⌈ ` K ) )
limsupubuzlem.w	|- W = sup ( ran ( j e. ( M ... N ) |-> ( F ` j ) ) , RR , < )
limsupubuzlem.x	|- X = if ( W <_ Y , Y , W )

Assertion

Ref	Expression
limsupubuzlem	|- ( ph -> E. x e. RR A. j e. Z ( F ` j ) <_ x )

Distinct variable groups:   x, F   j, M   j, N   x, X   x, Z   x, j

Allowed substitution hints:   ph( x, j)   F( j)   K( x, j)   M( x)   N( x)   W( x, j)   X( j)   Y( x, j)   Z( j)

Proof of Theorem limsupubuzlem

Dummy variable b is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limsupubuzlem.x	. . 3 |- X = if ( W <_ Y , Y , W )
2		limsupubuzlem.y	. . . 4 |- ( ph -> Y e. RR )
3		limsupubuzlem.w	. . . . . 6 |- W = sup ( ran ( j e. ( M ... N ) |-> ( F ` j ) ) , RR , < )
4	3	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> W = sup ( ran ( j e. ( M ... N ) |-> ( F ` j ) ) , RR , < ) )
5		limsupubuzlem.j	. . . . . 6 |- F/ j ph
6		ltso 10118	. . . . . . 7 |- < Or RR
7	6	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> < Or RR )
8		fzfid 12772	. . . . . 6 |- ( ph -> ( M ... N ) e. Fin )
9		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( ZZ>= ` M ) = ( ZZ>= ` M )
10		limsupubuzlem.m	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. ZZ )
11		limsupubuzlem.n	. . . . . . . . . . 11 |- N = if ( (⌈ ` K ) <_ M , M , (⌈ ` K ) )
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N = if ( (⌈ ` K ) <_ M , M , (⌈ ` K ) ) )
13		limsupubuzlem.k	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> K e. RR )
14		ceilcl 12643	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. RR -> (⌈ ` K ) e. ZZ )
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> (⌈ ` K ) e. ZZ )
16	10, 15	ifcld 4131	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> if ( (⌈ ` K ) <_ M , M , (⌈ ` K ) ) e. ZZ )
17	12, 16	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. ZZ )
18	15	zred 11482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> (⌈ ` K ) e. RR )
19	10	zred 11482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. RR )
20		max2 12018	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( (⌈ ` K ) e. RR /\ M e. RR ) -> M <_ if ( (⌈ ` K ) <_ M , M , (⌈ ` K ) ) )
21	18, 19, 20	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M <_ if ( (⌈ ` K ) <_ M , M , (⌈ ` K ) ) )
22	12	eqcomd 2628	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> if ( (⌈ ` K ) <_ M , M , (⌈ ` K ) ) = N )
23	21, 22	breqtrd 4679	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M <_ N )
24	9, 10, 17, 23	eluzd 39635	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
25		eluzfz2 12349	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )
26	24, 25	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. ( M ... N ) )
27		ne0i 3921	. . . . . . 7 |- ( N e. ( M ... N ) -> ( M ... N ) =/= (/) )
28	26, 27	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( M ... N ) =/= (/) )
29		limsupubuzlem.f	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : Z --> RR )
30	29	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( M ... N ) ) -> F : Z --> RR )
31	10	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( M ... N ) ) -> M e. ZZ )
32		elfzelz 12342	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( M ... N ) -> j e. ZZ )
33	32	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( M ... N ) ) -> j e. ZZ )
34		elfzle1 12344	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( M ... N ) -> M <_ j )
35	34	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( M ... N ) ) -> M <_ j )
36	9, 31, 33, 35	eluzd 39635	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( M ... N ) ) -> j e. ( ZZ>= ` M ) )
37		limsupubuzlem.z	. . . . . . . 8 |- Z = ( ZZ>= ` M )
38	36, 37	syl6eleqr 2712	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( M ... N ) ) -> j e. Z )
39	30, 38	ffvelrnd 6360	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( M ... N ) ) -> ( F ` j ) e. RR )
40	5, 7, 8, 28, 39	fisupclrnmpt 39622	. . . . 5 |- ( ph -> sup ( ran ( j e. ( M ... N ) |-> ( F ` j ) ) , RR , < ) e. RR )
41	4, 40	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( ph -> W e. RR )
42	2, 41	ifcld 4131	. . 3 |- ( ph -> if ( W <_ Y , Y , W ) e. RR )
43	1, 42	syl5eqel 2705	. 2 |- ( ph -> X e. RR )
44	29	ffvelrnda 6359	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( F ` j ) e. RR )
45	44	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ j <_ N ) -> ( F ` j ) e. RR )
46	41	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ j <_ N ) -> W e. RR )
47	43	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ j <_ N ) -> X e. RR )
48		simpll 790	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ j <_ N ) -> ph )
49	10	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ j <_ N ) -> M e. ZZ )
50	17	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ j <_ N ) -> N e. ZZ )
51	37	eluzelz2 39627	. . . . . . . . 9 |- ( j e. Z -> j e. ZZ )
52	51	ad2antlr 763	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ j <_ N ) -> j e. ZZ )
53	37	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. Z <-> j e. ( ZZ>= ` M ) )
54	53	biimpi 206	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. Z -> j e. ( ZZ>= ` M ) )
55		eluzle 11700	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ j )
56	54, 55	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( j e. Z -> M <_ j )
57	56	ad2antlr 763	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ j <_ N ) -> M <_ j )
58		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ j <_ N ) -> j <_ N )
59	49, 50, 52, 57, 58	elfzd 39636	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ j <_ N ) -> j e. ( M ... N ) )
60	5, 8, 39	fimaxre4 39625	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> E. b e. RR A. j e. ( M ... N ) ( F ` j ) <_ b )
61	5, 39, 60	suprubrnmpt 39468	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( M ... N ) ) -> ( F ` j ) <_ sup ( ran ( j e. ( M ... N ) |-> ( F ` j ) ) , RR , < ) )
62	61, 3	syl6breqr 4695	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( M ... N ) ) -> ( F ` j ) <_ W )
63	48, 59, 62	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ j <_ N ) -> ( F ` j ) <_ W )
64		max1 12016	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. RR /\ Y e. RR ) -> W <_ if ( W <_ Y , Y , W ) )
65	41, 2, 64	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ph -> W <_ if ( W <_ Y , Y , W ) )
66	65, 1	syl6breqr 4695	. . . . . . 7 |- ( ph -> W <_ X )
67	66	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ j <_ N ) -> W <_ X )
68	45, 46, 47, 63, 67	letrd 10194	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ j <_ N ) -> ( F ` j ) <_ X )
69	13	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ -. j <_ N ) -> K e. RR )
70		uzssre 39620	. . . . . . . . . 10 |- ( ZZ>= ` M ) C_ RR
71	37, 70	eqsstri 3635	. . . . . . . . 9 |- Z C_ RR
72	71	sseli 3599	. . . . . . . 8 |- ( j e. Z -> j e. RR )
73	72	ad2antlr 763	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ -. j <_ N ) -> j e. RR )
74	70, 24	sseldi 3601	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. RR )
75	74	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ -. j <_ N ) -> N e. RR )
76		ceilge 12645	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. RR -> K <_ (⌈ ` K ) )
77	13, 76	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> K <_ (⌈ ` K ) )
78		max1 12016	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (⌈ ` K ) e. RR /\ M e. RR ) -> (⌈ ` K ) <_ if ( (⌈ ` K ) <_ M , M , (⌈ ` K ) ) )
79	18, 19, 78	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> (⌈ ` K ) <_ if ( (⌈ ` K ) <_ M , M , (⌈ ` K ) ) )
80	79, 22	breqtrd 4679	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> (⌈ ` K ) <_ N )
81	13, 18, 74, 77, 80	letrd 10194	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K <_ N )
82	81	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ -. j <_ N ) -> K <_ N )
83		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ -. j <_ N ) -> -. j <_ N )
84	75, 73	ltnled 10184	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ -. j <_ N ) -> ( N < j <-> -. j <_ N ) )
85	83, 84	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ -. j <_ N ) -> N < j )
86	69, 75, 73, 82, 85	lelttrd 10195	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ -. j <_ N ) -> K < j )
87	69, 73, 86	ltled 10185	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ -. j <_ N ) -> K <_ j )
88	44	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ K <_ j ) -> ( F ` j ) e. RR )
89	2	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ K <_ j ) -> Y e. RR )
90	43	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ K <_ j ) -> X e. RR )
91		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ K <_ j ) -> K <_ j )
92		limsupubuzlem.b	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. j e. Z ( K <_ j -> ( F ` j ) <_ Y ) )
93	92	r19.21bi 2932	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( K <_ j -> ( F ` j ) <_ Y ) )
94	93	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ K <_ j ) -> ( K <_ j -> ( F ` j ) <_ Y ) )
95	91, 94	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ K <_ j ) -> ( F ` j ) <_ Y )
96		max2 12018	. . . . . . . . . 10 |- ( ( W e. RR /\ Y e. RR ) -> Y <_ if ( W <_ Y , Y , W ) )
97	41, 2, 96	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Y <_ if ( W <_ Y , Y , W ) )
98	97, 1	syl6breqr 4695	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Y <_ X )
99	98	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ K <_ j ) -> Y <_ X )
100	88, 89, 90, 95, 99	letrd 10194	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ K <_ j ) -> ( F ` j ) <_ X )
101	87, 100	syldan 487	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ -. j <_ N ) -> ( F ` j ) <_ X )
102	68, 101	pm2.61dan 832	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( F ` j ) <_ X )
103	102	ex 450	. . 3 |- ( ph -> ( j e. Z -> ( F ` j ) <_ X ) )
104	5, 103	ralrimi 2957	. 2 |- ( ph -> A. j e. Z ( F ` j ) <_ X )
105		nfv 1843	. . 3 |- F/ x A. j e. Z ( F ` j ) <_ X
106		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ j x
107		limsupubuzlem.e	. . . . 5 |- F/_ j X
108	106, 107	nfeq 2776	. . . 4 |- F/ j x = X
109		breq2 4657	. . . 4 |- ( x = X -> ( ( F ` j ) <_ x <-> ( F ` j ) <_ X ) )
110	108, 109	ralbid 2983	. . 3 |- ( x = X -> ( A. j e. Z ( F ` j ) <_ x <-> A. j e. Z ( F ` j ) <_ X ) )
111	105, 110	rspce 3304	. 2 |- ( ( X e. RR /\ A. j e. Z ( F ` j ) <_ X ) -> E. x e. RR A. j e. Z ( F ` j ) <_ x )
112	43, 104, 111	syl2anc 693	1 |- ( ph -> E. x e. RR A. j e. Z ( F ` j ) <_ x )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   F/_wnfc 2751   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   (/)c0 3915   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   Or wor 5034   ran crn 5115   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   supcsup 8346   RRcr 9935   < clt 10074   <_ cle 10075   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326  ⌈cceil 12592

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fl 12593  df-ceil 12594

This theorem is referenced by:  limsupubuz  39945