Theorem lincext3 42245

Description: Property 3 of an extension of a linear combination. (Contributed by AV, 23-Apr-2019.) (Revised by AV, 30-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lincext.b	|- B = ( Base ` M )
lincext.r	|- R = (Scalar ` M )
lincext.e	|- E = ( Base ` R )
lincext.0	|- .0. = ( 0g ` R )
lincext.z	|- Z = ( 0g ` M )
lincext.n	|- N = ( invg ` R )
lincext.f	|- F = ( z e. S |-> if ( z = X , ( N ` Y ) , ( G ` z ) ) )

Assertion

Ref	Expression
lincext3	|- ( ( ( M e. LMod /\ S e. ~P B ) /\ ( Y e. E /\ X e. S /\ G e. ( E ^m ( S \ { X } ) ) ) /\ ( G finSupp .0. /\ ( Y ( .s ` M ) X ) = ( G ( linC ` M ) ( S \ { X } ) ) ) ) -> ( F ( linC ` M ) S ) = Z )

Distinct variable groups:   z, B   z, E   z, G   z, M   z, S   z, X   z, Y   z, N

Allowed substitution hints:   R( z)   F( z)   .0. ( z)   Z( z)

Proof of Theorem lincext3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1085	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. ~P B ) /\ ( Y e. E /\ X e. S /\ G e. ( E ^m ( S \ { X } ) ) ) /\ ( G finSupp .0. /\ ( Y ( .s ` M ) X ) = ( G ( linC ` M ) ( S \ { X } ) ) ) ) -> M e. LMod )
2		simp1r 1086	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. ~P B ) /\ ( Y e. E /\ X e. S /\ G e. ( E ^m ( S \ { X } ) ) ) /\ ( G finSupp .0. /\ ( Y ( .s ` M ) X ) = ( G ( linC ` M ) ( S \ { X } ) ) ) ) -> S e. ~P B )
3		simp2 1062	. . . 4 |- ( ( Y e. E /\ X e. S /\ G e. ( E ^m ( S \ { X } ) ) ) -> X e. S )
4	3	3ad2ant2 1083	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. ~P B ) /\ ( Y e. E /\ X e. S /\ G e. ( E ^m ( S \ { X } ) ) ) /\ ( G finSupp .0. /\ ( Y ( .s ` M ) X ) = ( G ( linC ` M ) ( S \ { X } ) ) ) ) -> X e. S )
5		lincext.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` M )
6		lincext.r	. . . . 5 |- R = (Scalar ` M )
7		lincext.e	. . . . 5 |- E = ( Base ` R )
8		lincext.0	. . . . 5 |- .0. = ( 0g ` R )
9		lincext.z	. . . . 5 |- Z = ( 0g ` M )
10		lincext.n	. . . . 5 |- N = ( invg ` R )
11		lincext.f	. . . . 5 |- F = ( z e. S |-> if ( z = X , ( N ` Y ) , ( G ` z ) ) )
12	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	lincext1 42243	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. ~P B ) /\ ( Y e. E /\ X e. S /\ G e. ( E ^m ( S \ { X } ) ) ) ) -> F e. ( E ^m S ) )
13	12	3adant3 1081	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. ~P B ) /\ ( Y e. E /\ X e. S /\ G e. ( E ^m ( S \ { X } ) ) ) /\ ( G finSupp .0. /\ ( Y ( .s ` M ) X ) = ( G ( linC ` M ) ( S \ { X } ) ) ) ) -> F e. ( E ^m S ) )
14	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	lincext2 42244	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. ~P B ) /\ ( Y e. E /\ X e. S /\ G e. ( E ^m ( S \ { X } ) ) ) /\ G finSupp .0. ) -> F finSupp .0. )
15	14	3adant3r 1323	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. ~P B ) /\ ( Y e. E /\ X e. S /\ G e. ( E ^m ( S \ { X } ) ) ) /\ ( G finSupp .0. /\ ( Y ( .s ` M ) X ) = ( G ( linC ` M ) ( S \ { X } ) ) ) ) -> F finSupp .0. )
16		elmapi 7879	. . . . . 6 |- ( G e. ( E ^m ( S \ { X } ) ) -> G : ( S \ { X } ) --> E )
17	11	fdmdifeqresdif 42120	. . . . . 6 |- ( G : ( S \ { X } ) --> E -> G = ( F |` ( S \ { X } ) ) )
18	16, 17	syl 17	. . . . 5 |- ( G e. ( E ^m ( S \ { X } ) ) -> G = ( F |` ( S \ { X } ) ) )
19	18	3ad2ant3 1084	. . . 4 |- ( ( Y e. E /\ X e. S /\ G e. ( E ^m ( S \ { X } ) ) ) -> G = ( F |` ( S \ { X } ) ) )
20	19	3ad2ant2 1083	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. ~P B ) /\ ( Y e. E /\ X e. S /\ G e. ( E ^m ( S \ { X } ) ) ) /\ ( G finSupp .0. /\ ( Y ( .s ` M ) X ) = ( G ( linC ` M ) ( S \ { X } ) ) ) ) -> G = ( F |` ( S \ { X } ) ) )
21		eqid 2622	. . . 4 |- ( .s ` M ) = ( .s ` M )
22		eqid 2622	. . . 4 |- ( +g ` M ) = ( +g ` M )
23	5, 6, 7, 21, 22, 8	lincdifsn 42213	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. ~P B /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( S \ { X } ) ) ) -> ( F ( linC ` M ) S ) = ( ( G ( linC ` M ) ( S \ { X } ) ) ( +g ` M ) ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) ) )
24	1, 2, 4, 13, 15, 20, 23	syl321anc 1348	. 2 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. ~P B ) /\ ( Y e. E /\ X e. S /\ G e. ( E ^m ( S \ { X } ) ) ) /\ ( G finSupp .0. /\ ( Y ( .s ` M ) X ) = ( G ( linC ` M ) ( S \ { X } ) ) ) ) -> ( F ( linC ` M ) S ) = ( ( G ( linC ` M ) ( S \ { X } ) ) ( +g ` M ) ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) ) )
25		oveq1 6657	. . . . . 6 |- ( ( G ( linC ` M ) ( S \ { X } ) ) = ( Y ( .s ` M ) X ) -> ( ( G ( linC ` M ) ( S \ { X } ) ) ( +g ` M ) ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) ) = ( ( Y ( .s ` M ) X ) ( +g ` M ) ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) ) )
26	25	eqcoms 2630	. . . . 5 |- ( ( Y ( .s ` M ) X ) = ( G ( linC ` M ) ( S \ { X } ) ) -> ( ( G ( linC ` M ) ( S \ { X } ) ) ( +g ` M ) ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) ) = ( ( Y ( .s ` M ) X ) ( +g ` M ) ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) ) )
27	26	adantl 482	. . . 4 |- ( ( G finSupp .0. /\ ( Y ( .s ` M ) X ) = ( G ( linC ` M ) ( S \ { X } ) ) ) -> ( ( G ( linC ` M ) ( S \ { X } ) ) ( +g ` M ) ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) ) = ( ( Y ( .s ` M ) X ) ( +g ` M ) ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) ) )
28	27	3ad2ant3 1084	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. ~P B ) /\ ( Y e. E /\ X e. S /\ G e. ( E ^m ( S \ { X } ) ) ) /\ ( G finSupp .0. /\ ( Y ( .s ` M ) X ) = ( G ( linC ` M ) ( S \ { X } ) ) ) ) -> ( ( G ( linC ` M ) ( S \ { X } ) ) ( +g ` M ) ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) ) = ( ( Y ( .s ` M ) X ) ( +g ` M ) ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) ) )
29		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( invg ` M ) = ( invg ` M )
30		simpll 790	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. ~P B ) /\ ( Y e. E /\ X e. S /\ G e. ( E ^m ( S \ { X } ) ) ) ) -> M e. LMod )
31		elelpwi 4171	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X e. S /\ S e. ~P B ) -> X e. B )
32	31	expcom 451	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S e. ~P B -> ( X e. S -> X e. B ) )
33	32	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. LMod /\ S e. ~P B ) -> ( X e. S -> X e. B ) )
34	33	com12 32	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. S -> ( ( M e. LMod /\ S e. ~P B ) -> X e. B ) )
35	34	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . 9 |- ( ( Y e. E /\ X e. S /\ G e. ( E ^m ( S \ { X } ) ) ) -> ( ( M e. LMod /\ S e. ~P B ) -> X e. B ) )
36	35	impcom 446	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. ~P B ) /\ ( Y e. E /\ X e. S /\ G e. ( E ^m ( S \ { X } ) ) ) ) -> X e. B )
37		simpr1 1067	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. ~P B ) /\ ( Y e. E /\ X e. S /\ G e. ( E ^m ( S \ { X } ) ) ) ) -> Y e. E )
38	5, 6, 21, 29, 7, 10, 30, 36, 37	lmodvsneg 18907	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. ~P B ) /\ ( Y e. E /\ X e. S /\ G e. ( E ^m ( S \ { X } ) ) ) ) -> ( ( invg ` M ) ` ( Y ( .s ` M ) X ) ) = ( ( N ` Y ) ( .s ` M ) X ) )
39	11	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. ~P B ) /\ ( Y e. E /\ X e. S /\ G e. ( E ^m ( S \ { X } ) ) ) ) -> F = ( z e. S |-> if ( z = X , ( N ` Y ) , ( G ` z ) ) ) )
40		iftrue 4092	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = X -> if ( z = X , ( N ` Y ) , ( G ` z ) ) = ( N ` Y ) )
41	40	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ S e. ~P B ) /\ ( Y e. E /\ X e. S /\ G e. ( E ^m ( S \ { X } ) ) ) ) /\ z = X ) -> if ( z = X , ( N ` Y ) , ( G ` z ) ) = ( N ` Y ) )
42	3	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. ~P B ) /\ ( Y e. E /\ X e. S /\ G e. ( E ^m ( S \ { X } ) ) ) ) -> X e. S )
43		fvexd 6203	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. ~P B ) /\ ( Y e. E /\ X e. S /\ G e. ( E ^m ( S \ { X } ) ) ) ) -> ( N ` Y ) e. _V )
44	39, 41, 42, 43	fvmptd 6288	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. ~P B ) /\ ( Y e. E /\ X e. S /\ G e. ( E ^m ( S \ { X } ) ) ) ) -> ( F ` X ) = ( N ` Y ) )
45	44	eqcomd 2628	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. ~P B ) /\ ( Y e. E /\ X e. S /\ G e. ( E ^m ( S \ { X } ) ) ) ) -> ( N ` Y ) = ( F ` X ) )
46	45	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. ~P B ) /\ ( Y e. E /\ X e. S /\ G e. ( E ^m ( S \ { X } ) ) ) ) -> ( ( N ` Y ) ( .s ` M ) X ) = ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) )
47	38, 46	eqtr2d 2657	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. ~P B ) /\ ( Y e. E /\ X e. S /\ G e. ( E ^m ( S \ { X } ) ) ) ) -> ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) = ( ( invg ` M ) ` ( Y ( .s ` M ) X ) ) )
48	47	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. ~P B ) /\ ( Y e. E /\ X e. S /\ G e. ( E ^m ( S \ { X } ) ) ) ) -> ( ( Y ( .s ` M ) X ) ( +g ` M ) ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) ) = ( ( Y ( .s ` M ) X ) ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` ( Y ( .s ` M ) X ) ) ) )
49	5, 6, 21, 7	lmodvscl 18880	. . . . . . 7 |- ( ( M e. LMod /\ Y e. E /\ X e. B ) -> ( Y ( .s ` M ) X ) e. B )
50	30, 37, 36, 49	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. ~P B ) /\ ( Y e. E /\ X e. S /\ G e. ( E ^m ( S \ { X } ) ) ) ) -> ( Y ( .s ` M ) X ) e. B )
51	5, 22, 9, 29	lmodvnegid 18905	. . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ ( Y ( .s ` M ) X ) e. B ) -> ( ( Y ( .s ` M ) X ) ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` ( Y ( .s ` M ) X ) ) ) = Z )
52	30, 50, 51	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. ~P B ) /\ ( Y e. E /\ X e. S /\ G e. ( E ^m ( S \ { X } ) ) ) ) -> ( ( Y ( .s ` M ) X ) ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` ( Y ( .s ` M ) X ) ) ) = Z )
53	48, 52	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. ~P B ) /\ ( Y e. E /\ X e. S /\ G e. ( E ^m ( S \ { X } ) ) ) ) -> ( ( Y ( .s ` M ) X ) ( +g ` M ) ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) ) = Z )
54	53	3adant3 1081	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. ~P B ) /\ ( Y e. E /\ X e. S /\ G e. ( E ^m ( S \ { X } ) ) ) /\ ( G finSupp .0. /\ ( Y ( .s ` M ) X ) = ( G ( linC ` M ) ( S \ { X } ) ) ) ) -> ( ( Y ( .s ` M ) X ) ( +g ` M ) ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) ) = Z )
55	28, 54	eqtrd 2656	. 2 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. ~P B ) /\ ( Y e. E /\ X e. S /\ G e. ( E ^m ( S \ { X } ) ) ) /\ ( G finSupp .0. /\ ( Y ( .s ` M ) X ) = ( G ( linC ` M ) ( S \ { X } ) ) ) ) -> ( ( G ( linC ` M ) ( S \ { X } ) ) ( +g ` M ) ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) ) = Z )
56	24, 55	eqtrd 2656	1 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. ~P B ) /\ ( Y e. E /\ X e. S /\ G e. ( E ^m ( S \ { X } ) ) ) /\ ( G finSupp .0. /\ ( Y ( .s ` M ) X ) = ( G ( linC ` M ) ( S \ { X } ) ) ) ) -> ( F ( linC ` M ) S ) = Z )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   ifcif 4086   ~Pcpw 4158   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   finSupp cfsupp 8275   Basecbs 15857   +g cplusg 15941  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   0gc0g 16100   invgcminusg 17423   LModclmod 18863   linC clinc 42193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-lmod 18865  df-linc 42195

This theorem is referenced by:  lindslinindsimp1  42246  islindeps2  42272