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Theorem lincdifsn 42213
Description: A vector is a linear combination of a set containing this vector. (Contributed by AV, 21-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincdifsn.b |- B = ( Base ` M )
lincdifsn.r |- R = (Scalar ` M )
lincdifsn.s |- S = ( Base ` R )
lincdifsn.t |- .x. = ( .s ` M )
lincdifsn.p |- .+ = ( +g ` M )
lincdifsn.0 |- .0. = ( 0g ` R )
Assertion
Ref Expression
lincdifsn |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( F ( linC ` M ) V ) = ( ( G ( linC ` M ) ( V \ { X } ) ) .+ ( ( F ` X ) .x. X ) ) )
Proof of Theorem lincdifsn
Dummy variable x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp11 1091 . . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> M e. LMod )
2 lincdifsn.s . . . . . . . . 9 |- S = ( Base ` R )
3 lincdifsn.r . . . . . . . . . 10 |- R = (Scalar ` M )
43fveq2i 6194 . . . . . . . . 9 |- ( Base ` R ) = ( Base ` (Scalar ` M ) )
52, 4eqtri 2644 . . . . . . . 8 |- S = ( Base ` (Scalar ` M ) )
65oveq1i 6660 . . . . . . 7 |- ( S ^m V ) = ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V )
76eleq2i 2693 . . . . . 6 |- ( F e. ( S ^m V ) <-> F e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) )
87biimpi 206 . . . . 5 |- ( F e. ( S ^m V ) -> F e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) )
98adantr 481 . . . 4 |- ( ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) -> F e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) )
1093ad2ant2 1083 . . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> F e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) )
11 lincdifsn.b . . . . . . . 8 |- B = ( Base ` M )
1211pweqi 4162 . . . . . . 7 |- ~P B = ~P ( Base ` M )
1312eleq2i 2693 . . . . . 6 |- ( V e. ~P B <-> V e. ~P ( Base ` M ) )
1413biimpi 206 . . . . 5 |- ( V e. ~P B -> V e. ~P ( Base ` M ) )
15143ad2ant2 1083 . . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> V e. ~P ( Base ` M ) )
16153ad2ant1 1082 . . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> V e. ~P ( Base ` M ) )
17 lincval 42198 . . 3 |- ( ( M e. LMod /\ F e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( F ( linC ` M ) V ) = ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( F ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) )
181, 10, 16, 17syl3anc 1326 . 2 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( F ( linC ` M ) V ) = ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( F ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) )
19 lincdifsn.p . . . 4 |- .+ = ( +g ` M )
20 lmodcmn 18911 . . . . . 6 |- ( M e. LMod -> M e. CMnd )
21203ad2ant1 1082 . . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> M e. CMnd )
22213ad2ant1 1082 . . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> M e. CMnd )
23 simp12 1092 . . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> V e. ~P B )
2414anim2i 593 . . . . . . 7 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B ) -> ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) )
25243adant3 1081 . . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) )
26253ad2ant1 1082 . . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) )
27 simp2l 1087 . . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> F e. ( S ^m V ) )
28 lincdifsn.0 . . . . . . . . 9 |- .0. = ( 0g ` R )
2928breq2i 4661 . . . . . . . 8 |- ( F finSupp .0. <-> F finSupp ( 0g ` R ) )
3029biimpi 206 . . . . . . 7 |- ( F finSupp .0. -> F finSupp ( 0g ` R ) )
3130adantl 482 . . . . . 6 |- ( ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) -> F finSupp ( 0g ` R ) )
32313ad2ant2 1083 . . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> F finSupp ( 0g ` R ) )
333, 2scmfsupp 42159 . . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp ( 0g ` R ) ) -> ( x e. V |-> ( ( F ` x ) ( .s ` M ) x ) ) finSupp ( 0g ` M ) )
3426, 27, 32, 33syl3anc 1326 . . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( x e. V |-> ( ( F ` x ) ( .s ` M ) x ) ) finSupp ( 0g ` M ) )
35 simpl1 1064 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) ) -> M e. LMod )
3635adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) ) /\ x e. V ) -> M e. LMod )
37 elmapi 7879 . . . . . . . . . 10 |- ( F e. ( S ^m V ) -> F : V --> S )
38 ffvelrn 6357 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : V --> S /\ x e. V ) -> ( F ` x ) e. S )
3938ex 450 . . . . . . . . . . 11 |- ( F : V --> S -> ( x e. V -> ( F ` x ) e. S ) )
4039a1d 25 . . . . . . . . . 10 |- ( F : V --> S -> ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( x e. V -> ( F ` x ) e. S ) ) )
4137, 40syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( F e. ( S ^m V ) -> ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( x e. V -> ( F ` x ) e. S ) ) )
4241adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) -> ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( x e. V -> ( F ` x ) e. S ) ) )
4342impcom 446 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) ) -> ( x e. V -> ( F ` x ) e. S ) )
4443imp 445 . . . . . 6 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) ) /\ x e. V ) -> ( F ` x ) e. S )
45 elelpwi 4171 . . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. V /\ V e. ~P B ) -> x e. B )
4645expcom 451 . . . . . . . . 9 |- ( V e. ~P B -> ( x e. V -> x e. B ) )
47463ad2ant2 1083 . . . . . . . 8 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( x e. V -> x e. B ) )
4847adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) ) -> ( x e. V -> x e. B ) )
4948imp 445 . . . . . 6 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) ) /\ x e. V ) -> x e. B )
50 eqid 2622 . . . . . . 7 |- ( .s ` M ) = ( .s ` M )
5111, 3, 50, 2lmodvscl 18880 . . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ ( F ` x ) e. S /\ x e. B ) -> ( ( F ` x ) ( .s ` M ) x ) e. B )
5236, 44, 49, 51syl3anc 1326 . . . . 5 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) ) /\ x e. V ) -> ( ( F ` x ) ( .s ` M ) x ) e. B )
53523adantl3 1219 . . . 4 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) /\ x e. V ) -> ( ( F ` x ) ( .s ` M ) x ) e. B )
54 simp13 1093 . . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> X e. V )
55 ffvelrn 6357 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : V --> S /\ X e. V ) -> ( F ` X ) e. S )
5655expcom 451 . . . . . . . . . 10 |- ( X e. V -> ( F : V --> S -> ( F ` X ) e. S ) )
57563ad2ant3 1084 . . . . . . . . 9 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( F : V --> S -> ( F ` X ) e. S ) )
5837, 57syl5com 31 . . . . . . . 8 |- ( F e. ( S ^m V ) -> ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( F ` X ) e. S ) )
5958adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) -> ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( F ` X ) e. S ) )
6059impcom 446 . . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) ) -> ( F ` X ) e. S )
61 elelpwi 4171 . . . . . . . . 9 |- ( ( X e. V /\ V e. ~P B ) -> X e. B )
6261ancoms 469 . . . . . . . 8 |- ( ( V e. ~P B /\ X e. V ) -> X e. B )
63623adant1 1079 . . . . . . 7 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> X e. B )
6463adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) ) -> X e. B )
65 lincdifsn.t . . . . . . 7 |- .x. = ( .s ` M )
6611, 3, 65, 2lmodvscl 18880 . . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ ( F ` X ) e. S /\ X e. B ) -> ( ( F ` X ) .x. X ) e. B )
6735, 60, 64, 66syl3anc 1326 . . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) ) -> ( ( F ` X ) .x. X ) e. B )
68673adant3 1081 . . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( ( F ` X ) .x. X ) e. B )
6965eqcomi 2631 . . . . . . 7 |- ( .s ` M ) = .x.
7069a1i 11 . . . . . 6 |- ( x = X -> ( .s ` M ) = .x. )
71 fveq2 6191 . . . . . 6 |- ( x = X -> ( F ` x ) = ( F ` X ) )
72 id 22 . . . . . 6 |- ( x = X -> x = X )
7370, 71, 72oveq123d 6671 . . . . 5 |- ( x = X -> ( ( F ` x ) ( .s ` M ) x ) = ( ( F ` X ) .x. X ) )
7473adantl 482 . . . 4 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) /\ x = X ) -> ( ( F ` x ) ( .s ` M ) x ) = ( ( F ` X ) .x. X ) )
7511, 19, 22, 23, 34, 53, 54, 68, 74gsumdifsnd 18360 . . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( F ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) = ( ( M gsumg ( x e. ( V \ { X } ) |-> ( ( F ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) .+ ( ( F ` X ) .x. X ) ) )
76 fveq1 6190 . . . . . . . . . 10 |- ( G = ( F |` ( V \ { X } ) ) -> ( G ` x ) = ( ( F |` ( V \ { X } ) ) ` x ) )
77763ad2ant3 1084 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( G ` x ) = ( ( F |` ( V \ { X } ) ) ` x ) )
78 fvres 6207 . . . . . . . . 9 |- ( x e. ( V \ { X } ) -> ( ( F |` ( V \ { X } ) ) ` x ) = ( F ` x ) )
7977, 78sylan9eq 2676 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) /\ x e. ( V \ { X } ) ) -> ( G ` x ) = ( F ` x ) )
8079oveq1d 6665 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) /\ x e. ( V \ { X } ) ) -> ( ( G ` x ) ( .s ` M ) x ) = ( ( F ` x ) ( .s ` M ) x ) )
8180mpteq2dva 4744 . . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( x e. ( V \ { X } ) |-> ( ( G ` x ) ( .s ` M ) x ) ) = ( x e. ( V \ { X } ) |-> ( ( F ` x ) ( .s ` M ) x ) ) )
8281eqcomd 2628 . . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( x e. ( V \ { X } ) |-> ( ( F ` x ) ( .s ` M ) x ) ) = ( x e. ( V \ { X } ) |-> ( ( G ` x ) ( .s ` M ) x ) ) )
8382oveq2d 6666 . . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( M gsumg ( x e. ( V \ { X } ) |-> ( ( F ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) = ( M gsumg ( x e. ( V \ { X } ) |-> ( ( G ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) )
8483oveq1d 6665 . . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( ( M gsumg ( x e. ( V \ { X } ) |-> ( ( F ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) .+ ( ( F ` X ) .x. X ) ) = ( ( M gsumg ( x e. ( V \ { X } ) |-> ( ( G ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) .+ ( ( F ` X ) .x. X ) ) )
8575, 84eqtrd 2656 . 2 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( F ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) = ( ( M gsumg ( x e. ( V \ { X } ) |-> ( ( G ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) .+ ( ( F ` X ) .x. X ) ) )
86 eqid 2622 . . . . . . . . . . . 12 |- V = V
8786, 5feq23i 6039 . . . . . . . . . . 11 |- ( F : V --> S <-> F : V --> ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
8837, 87sylib 208 . . . . . . . . . 10 |- ( F e. ( S ^m V ) -> F : V --> ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
8988adantr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) -> F : V --> ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
90893ad2ant2 1083 . . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> F : V --> ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
91 difssd 3738 . . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( V \ { X } ) C_ V )
9290, 91fssresd 6071 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( F |` ( V \ { X } ) ) : ( V \ { X } ) --> ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
93 feq1 6026 . . . . . . . 8 |- ( G = ( F |` ( V \ { X } ) ) -> ( G : ( V \ { X } ) --> ( Base ` (Scalar ` M ) ) <-> ( F |` ( V \ { X } ) ) : ( V \ { X } ) --> ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
94933ad2ant3 1084 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( G : ( V \ { X } ) --> ( Base ` (Scalar ` M ) ) <-> ( F |` ( V \ { X } ) ) : ( V \ { X } ) --> ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
9592, 94mpbird 247 . . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> G : ( V \ { X } ) --> ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
96 fvex 6201 . . . . . . 7 |- ( Base ` (Scalar ` M ) ) e. _V
97 difexg 4808 . . . . . . . . 9 |- ( V e. ~P B -> ( V \ { X } ) e. _V )
98973ad2ant2 1083 . . . . . . . 8 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( V \ { X } ) e. _V )
99983ad2ant1 1082 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( V \ { X } ) e. _V )
100 elmapg 7870 . . . . . . 7 |- ( ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) e. _V /\ ( V \ { X } ) e. _V ) -> ( G e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m ( V \ { X } ) ) <-> G : ( V \ { X } ) --> ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
10196, 99, 100sylancr 695 . . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( G e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m ( V \ { X } ) ) <-> G : ( V \ { X } ) --> ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
10295, 101mpbird 247 . . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> G e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m ( V \ { X } ) ) )
103 elpwi 4168 . . . . . . . . . 10 |- ( V e. ~P B -> V C_ B )
10411sseq2i 3630 . . . . . . . . . . . 12 |- ( V C_ B <-> V C_ ( Base ` M ) )
105104biimpi 206 . . . . . . . . . . 11 |- ( V C_ B -> V C_ ( Base ` M ) )
106105ssdifssd 3748 . . . . . . . . . 10 |- ( V C_ B -> ( V \ { X } ) C_ ( Base ` M ) )
107103, 106syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( V e. ~P B -> ( V \ { X } ) C_ ( Base ` M ) )
108107adantl 482 . . . . . . . 8 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B ) -> ( V \ { X } ) C_ ( Base ` M ) )
10997adantl 482 . . . . . . . . 9 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B ) -> ( V \ { X } ) e. _V )
110 elpwg 4166 . . . . . . . . 9 |- ( ( V \ { X } ) e. _V -> ( ( V \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) <-> ( V \ { X } ) C_ ( Base ` M ) ) )
111109, 110syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B ) -> ( ( V \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) <-> ( V \ { X } ) C_ ( Base ` M ) ) )
112108, 111mpbird 247 . . . . . . 7 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B ) -> ( V \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) )
1131123adant3 1081 . . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( V \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) )
1141133ad2ant1 1082 . . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( V \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) )
115 lincval 42198 . . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ G e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m ( V \ { X } ) ) /\ ( V \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( G ( linC ` M ) ( V \ { X } ) ) = ( M gsumg ( x e. ( V \ { X } ) |-> ( ( G ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) )
1161, 102, 114, 115syl3anc 1326 . . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( G ( linC ` M ) ( V \ { X } ) ) = ( M gsumg ( x e. ( V \ { X } ) |-> ( ( G ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) )
117116eqcomd 2628 . . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( M gsumg ( x e. ( V \ { X } ) |-> ( ( G ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) = ( G ( linC ` M ) ( V \ { X } ) ) )
118117oveq1d 6665 . 2 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( ( M gsumg ( x e. ( V \ { X } ) |-> ( ( G ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) .+ ( ( F ` X ) .x. X ) ) = ( ( G ( linC ` M ) ( V \ { X } ) ) .+ ( ( F ` X ) .x. X ) ) )
11918, 85, 1183eqtrd 2660 1 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( F ( linC ` M ) V ) = ( ( G ( linC ` M ) ( V \ { X } ) ) .+ ( ( F ` X ) .x. X ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   finSupp cfsupp 8275   Basecbs 15857   +g cplusg 15941  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   0gc0g 16100   gsumg cgsu 16101  CMndccmn 18193   LModclmod 18863   linC clinc 42193
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-lmod 18865  df-linc 42195
This theorem is referenced by:  lincext3  42245  lindslinindimp2lem4  42250  lincresunit3  42270
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