Theorem lincvalpr 42207

Description: The linear combination over an unordered pair. (Contributed by AV, 16-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lincvalsn.b	|- B = ( Base ` M )
lincvalsn.s	|- S = (Scalar ` M )
lincvalsn.r	|- R = ( Base ` S )
lincvalsn.t	|- .x. = ( .s ` M )
lincvalpr.p	|- .+ = ( +g ` M )
lincvalpr.f	|- F = { <. V , X >. , <. W , Y >. }

Assertion

Ref	Expression
lincvalpr	|- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( F ( linC ` M ) { V , W } ) = ( ( X .x. V ) .+ ( Y .x. W ) ) )

Proof of Theorem lincvalpr

Dummy variable v is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 473	. . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) -> M e. LMod )
2	1	3ad2ant1 1082	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> M e. LMod )
3		lincvalsn.r	. . . . . . . . 9 |- R = ( Base ` S )
4		lincvalsn.s	. . . . . . . . . 10 |- S = (Scalar ` M )
5	4	fveq2i 6194	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` S ) = ( Base ` (Scalar ` M ) )
6	3, 5	eqtri 2644	. . . . . . . 8 |- R = ( Base ` (Scalar ` M ) )
7	6	eleq2i 2693	. . . . . . 7 |- ( X e. R <-> X e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
8	7	biimpi 206	. . . . . 6 |- ( X e. R -> X e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
9	8	anim2i 593	. . . . 5 |- ( ( V e. B /\ X e. R ) -> ( V e. B /\ X e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
10	9	3ad2ant2 1083	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( V e. B /\ X e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
11	6	eleq2i 2693	. . . . . . 7 |- ( Y e. R <-> Y e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
12	11	biimpi 206	. . . . . 6 |- ( Y e. R -> Y e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
13	12	anim2i 593	. . . . 5 |- ( ( W e. B /\ Y e. R ) -> ( W e. B /\ Y e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
14	13	3ad2ant3 1084	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( W e. B /\ Y e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
15		fvexd 6203	. . . . . . 7 |- ( M e. LMod -> ( Base ` (Scalar ` M ) ) e. _V )
16	15	anim2i 593	. . . . . 6 |- ( ( V =/= W /\ M e. LMod ) -> ( V =/= W /\ ( Base ` (Scalar ` M ) ) e. _V ) )
17	16	ancoms 469	. . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) -> ( V =/= W /\ ( Base ` (Scalar ` M ) ) e. _V ) )
18	17	3ad2ant1 1082	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( V =/= W /\ ( Base ` (Scalar ` M ) ) e. _V ) )
19		lincvalpr.f	. . . . 5 |- F = { <. V , X >. , <. W , Y >. }
20	19	mapprop 42124	. . . 4 |- ( ( ( V e. B /\ X e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) /\ ( W e. B /\ Y e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) /\ ( V =/= W /\ ( Base ` (Scalar ` M ) ) e. _V ) ) -> F e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m { V , W } ) )
21	10, 14, 18, 20	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> F e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m { V , W } ) )
22		lincvalsn.b	. . . . . . . 8 |- B = ( Base ` M )
23	22	eleq2i 2693	. . . . . . 7 |- ( V e. B <-> V e. ( Base ` M ) )
24	23	biimpi 206	. . . . . 6 |- ( V e. B -> V e. ( Base ` M ) )
25	24	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( V e. B /\ X e. R ) -> V e. ( Base ` M ) )
26	22	eleq2i 2693	. . . . . . 7 |- ( W e. B <-> W e. ( Base ` M ) )
27	26	biimpi 206	. . . . . 6 |- ( W e. B -> W e. ( Base ` M ) )
28	27	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( W e. B /\ Y e. R ) -> W e. ( Base ` M ) )
29		prelpwi 4915	. . . . 5 |- ( ( V e. ( Base ` M ) /\ W e. ( Base ` M ) ) -> { V , W } e. ~P ( Base ` M ) )
30	25, 28, 29	syl2an 494	. . . 4 |- ( ( ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> { V , W } e. ~P ( Base ` M ) )
31	30	3adant1 1079	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> { V , W } e. ~P ( Base ` M ) )
32		lincval 42198	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ F e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m { V , W } ) /\ { V , W } e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( F ( linC ` M ) { V , W } ) = ( M gsumg ( v e. { V , W } |-> ( ( F ` v ) ( .s ` M ) v ) ) ) )
33	2, 21, 31, 32	syl3anc 1326	. 2 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( F ( linC ` M ) { V , W } ) = ( M gsumg ( v e. { V , W } |-> ( ( F ` v ) ( .s ` M ) v ) ) ) )
34		lmodcmn 18911	. . . . 5 |- ( M e. LMod -> M e. CMnd )
35	34	adantr 481	. . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) -> M e. CMnd )
36	35	3ad2ant1 1082	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> M e. CMnd )
37		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) -> V =/= W )
38		simpl 473	. . . . 5 |- ( ( V e. B /\ X e. R ) -> V e. B )
39		simpl 473	. . . . 5 |- ( ( W e. B /\ Y e. R ) -> W e. B )
40	37, 38, 39	3anim123i 1247	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( V =/= W /\ V e. B /\ W e. B ) )
41		3anrot 1043	. . . 4 |- ( ( V =/= W /\ V e. B /\ W e. B ) <-> ( V e. B /\ W e. B /\ V =/= W ) )
42	40, 41	sylib 208	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( V e. B /\ W e. B /\ V =/= W ) )
43	19	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) ) -> F = { <. V , X >. , <. W , Y >. } )
44	43	fveq1d 6193	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) ) -> ( F ` V ) = ( { <. V , X >. , <. W , Y >. } ` V ) )
45		simprl 794	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) ) -> V e. B )
46		simprr 796	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) ) -> X e. R )
47	37	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) ) -> V =/= W )
48		fvpr1g 6458	. . . . . . . 8 |- ( ( V e. B /\ X e. R /\ V =/= W ) -> ( { <. V , X >. , <. W , Y >. } ` V ) = X )
49	45, 46, 47, 48	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) ) -> ( { <. V , X >. , <. W , Y >. } ` V ) = X )
50	44, 49	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) ) -> ( F ` V ) = X )
51	50	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) ) -> ( ( F ` V ) ( .s ` M ) V ) = ( X ( .s ` M ) V ) )
52	1	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) ) -> M e. LMod )
53		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( .s ` M ) = ( .s ` M )
54	22, 4, 53, 3	lmodvscl 18880	. . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ X e. R /\ V e. B ) -> ( X ( .s ` M ) V ) e. B )
55	52, 46, 45, 54	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) ) -> ( X ( .s ` M ) V ) e. B )
56	51, 55	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) ) -> ( ( F ` V ) ( .s ` M ) V ) e. B )
57	56	3adant3 1081	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( ( F ` V ) ( .s ` M ) V ) e. B )
58	19	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> F = { <. V , X >. , <. W , Y >. } )
59	58	fveq1d 6193	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( F ` W ) = ( { <. V , X >. , <. W , Y >. } ` W ) )
60		simprl 794	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> W e. B )
61		simprr 796	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> Y e. R )
62	37	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> V =/= W )
63		fvpr2g 6459	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. B /\ Y e. R /\ V =/= W ) -> ( { <. V , X >. , <. W , Y >. } ` W ) = Y )
64	60, 61, 62, 63	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( { <. V , X >. , <. W , Y >. } ` W ) = Y )
65	59, 64	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( F ` W ) = Y )
66	65	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( ( F ` W ) ( .s ` M ) W ) = ( Y ( .s ` M ) W ) )
67	1	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> M e. LMod )
68	22, 4, 53, 3	lmodvscl 18880	. . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ Y e. R /\ W e. B ) -> ( Y ( .s ` M ) W ) e. B )
69	67, 61, 60, 68	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( Y ( .s ` M ) W ) e. B )
70	66, 69	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( ( F ` W ) ( .s ` M ) W ) e. B )
71	70	3adant2 1080	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( ( F ` W ) ( .s ` M ) W ) e. B )
72		lincvalpr.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` M )
73		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( v = V -> ( F ` v ) = ( F ` V ) )
74		id 22	. . . . 5 |- ( v = V -> v = V )
75	73, 74	oveq12d 6668	. . . 4 |- ( v = V -> ( ( F ` v ) ( .s ` M ) v ) = ( ( F ` V ) ( .s ` M ) V ) )
76		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( v = W -> ( F ` v ) = ( F ` W ) )
77		id 22	. . . . 5 |- ( v = W -> v = W )
78	76, 77	oveq12d 6668	. . . 4 |- ( v = W -> ( ( F ` v ) ( .s ` M ) v ) = ( ( F ` W ) ( .s ` M ) W ) )
79	22, 72, 75, 78	gsumpr 42139	. . 3 |- ( ( M e. CMnd /\ ( V e. B /\ W e. B /\ V =/= W ) /\ ( ( ( F ` V ) ( .s ` M ) V ) e. B /\ ( ( F ` W ) ( .s ` M ) W ) e. B ) ) -> ( M gsumg ( v e. { V , W } |-> ( ( F ` v ) ( .s ` M ) v ) ) ) = ( ( ( F ` V ) ( .s ` M ) V ) .+ ( ( F ` W ) ( .s ` M ) W ) ) )
80	36, 42, 57, 71, 79	syl112anc 1330	. 2 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( M gsumg ( v e. { V , W } |-> ( ( F ` v ) ( .s ` M ) v ) ) ) = ( ( ( F ` V ) ( .s ` M ) V ) .+ ( ( F ` W ) ( .s ` M ) W ) ) )
81		lincvalsn.t	. . . . . 6 |- .x. = ( .s ` M )
82	81	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> .x. = ( .s ` M ) )
83	82	eqcomd 2628	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( .s ` M ) = .x. )
84	19	fveq1i 6192	. . . . 5 |- ( F ` V ) = ( { <. V , X >. , <. W , Y >. } ` V )
85	38	3ad2ant2 1083	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> V e. B )
86		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( V e. B /\ X e. R ) -> X e. R )
87	86	3ad2ant2 1083	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> X e. R )
88	37	3ad2ant1 1082	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> V =/= W )
89	85, 87, 88, 48	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( { <. V , X >. , <. W , Y >. } ` V ) = X )
90	84, 89	syl5eq 2668	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( F ` V ) = X )
91		eqidd 2623	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> V = V )
92	83, 90, 91	oveq123d 6671	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( ( F ` V ) ( .s ` M ) V ) = ( X .x. V ) )
93	19	fveq1i 6192	. . . . 5 |- ( F ` W ) = ( { <. V , X >. , <. W , Y >. } ` W )
94	39	3ad2ant3 1084	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> W e. B )
95		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( W e. B /\ Y e. R ) -> Y e. R )
96	95	3ad2ant3 1084	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> Y e. R )
97	94, 96, 88, 63	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( { <. V , X >. , <. W , Y >. } ` W ) = Y )
98	93, 97	syl5eq 2668	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( F ` W ) = Y )
99		eqidd 2623	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> W = W )
100	83, 98, 99	oveq123d 6671	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( ( F ` W ) ( .s ` M ) W ) = ( Y .x. W ) )
101	92, 100	oveq12d 6668	. 2 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( ( ( F ` V ) ( .s ` M ) V ) .+ ( ( F ` W ) ( .s ` M ) W ) ) = ( ( X .x. V ) .+ ( Y .x. W ) ) )
102	33, 80, 101	3eqtrd 2660	1 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( F ( linC ` M ) { V , W } ) = ( ( X .x. V ) .+ ( Y .x. W ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   _Vcvv 3200   ~Pcpw 4158   {cpr 4179   <.cop 4183   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   Basecbs 15857   +g cplusg 15941  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   gsum_g cgsu 16101  CMndccmn 18193   LModclmod 18863   linC clinc 42193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-lmod 18865  df-linc 42195

This theorem is referenced by:  ldepspr  42262