Theorem ldepsnlinclem2 42295

Description: Lemma 2 for ldepsnlinc 42297. (Contributed by AV, 25-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmodzxzldep.z	|- Z = (ℤring freeLMod { 0 , 1 } )
zlmodzxzldep.a	|- A = { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. }
zlmodzxzldep.b	|- B = { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. }

Assertion

Ref	Expression
ldepsnlinclem2	|- ( F e. ( ( Base ` ℤring ) ^m { A } ) -> ( F ( linC ` Z ) { A } ) =/= B )

Proof of Theorem ldepsnlinclem2

Dummy variable i is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 7879	. 2 |- ( F e. ( ( Base ` ℤring ) ^m { A } ) -> F : { A } --> ( Base ` ℤring ) )
2		zlmodzxzldep.a	. . . . 5 |- A = { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. }
3		prex 4909	. . . . 5 |- { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } e. _V
4	2, 3	eqeltri 2697	. . . 4 |- A e. _V
5	4	fsn2 6403	. . 3 |- ( F : { A } --> ( Base ` ℤring ) <-> ( ( F ` A ) e. ( Base ` ℤring ) /\ F = { <. A , ( F ` A ) >. } ) )
6		oveq1 6657	. . . . . 6 |- ( F = { <. A , ( F ` A ) >. } -> ( F ( linC ` Z ) { A } ) = ( { <. A , ( F ` A ) >. } ( linC ` Z ) { A } ) )
7	6	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ( F ` A ) e. ( Base ` ℤring ) /\ F = { <. A , ( F ` A ) >. } ) -> ( F ( linC ` Z ) { A } ) = ( { <. A , ( F ` A ) >. } ( linC ` Z ) { A } ) )
8		zlmodzxzldep.z	. . . . . . . . 9 |- Z = (ℤring freeLMod { 0 , 1 } )
9	8	zlmodzxzlmod 42132	. . . . . . . 8 |- ( Z e. LMod /\ ℤring = (Scalar ` Z ) )
10	9	simpli 474	. . . . . . 7 |- Z e. LMod
11	10	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( F ` A ) e. ( Base ` ℤring ) /\ F = { <. A , ( F ` A ) >. } ) -> Z e. LMod )
12		3z 11410	. . . . . . . . 9 |- 3 e. ZZ
13		6nn 11189	. . . . . . . . . 10 |- 6 e. NN
14	13	nnzi 11401	. . . . . . . . 9 |- 6 e. ZZ
15	8	zlmodzxzel 42133	. . . . . . . . 9 |- ( ( 3 e. ZZ /\ 6 e. ZZ ) -> { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } e. ( Base ` Z ) )
16	12, 14, 15	mp2an 708	. . . . . . . 8 |- { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } e. ( Base ` Z )
17	2, 16	eqeltri 2697	. . . . . . 7 |- A e. ( Base ` Z )
18	17	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( F ` A ) e. ( Base ` ℤring ) /\ F = { <. A , ( F ` A ) >. } ) -> A e. ( Base ` Z ) )
19		simpl 473	. . . . . 6 |- ( ( ( F ` A ) e. ( Base ` ℤring ) /\ F = { <. A , ( F ` A ) >. } ) -> ( F ` A ) e. ( Base ` ℤring ) )
20		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( Base ` Z ) = ( Base ` Z )
21	9	simpri 478	. . . . . . 7 |- ℤring = (Scalar ` Z )
22		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( Base ` ℤring ) = ( Base ` ℤring )
23		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( .s ` Z ) = ( .s ` Z )
24	20, 21, 22, 23	lincvalsng 42205	. . . . . 6 |- ( ( Z e. LMod /\ A e. ( Base ` Z ) /\ ( F ` A ) e. ( Base ` ℤring ) ) -> ( { <. A , ( F ` A ) >. } ( linC ` Z ) { A } ) = ( ( F ` A ) ( .s ` Z ) A ) )
25	11, 18, 19, 24	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( F ` A ) e. ( Base ` ℤring ) /\ F = { <. A , ( F ` A ) >. } ) -> ( { <. A , ( F ` A ) >. } ( linC ` Z ) { A } ) = ( ( F ` A ) ( .s ` Z ) A ) )
26	7, 25	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( ( F ` A ) e. ( Base ` ℤring ) /\ F = { <. A , ( F ` A ) >. } ) -> ( F ( linC ` Z ) { A } ) = ( ( F ` A ) ( .s ` Z ) A ) )
27		eqid 2622	. . . . . 6 |- { <. 0 , 0 >. , <. 1 , 0 >. } = { <. 0 , 0 >. , <. 1 , 0 >. }
28		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( -g ` Z ) = ( -g ` Z )
29		zlmodzxzldep.b	. . . . . 6 |- B = { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. }
30	8, 27, 23, 28, 2, 29	zlmodzxznm 42286	. . . . 5 |- A. i e. ZZ ( ( i ( .s ` Z ) A ) =/= B /\ ( i ( .s ` Z ) B ) =/= A )
31		r19.26 3064	. . . . . 6 |- ( A. i e. ZZ ( ( i ( .s ` Z ) A ) =/= B /\ ( i ( .s ` Z ) B ) =/= A ) <-> ( A. i e. ZZ ( i ( .s ` Z ) A ) =/= B /\ A. i e. ZZ ( i ( .s ` Z ) B ) =/= A ) )
32		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( i = ( F ` A ) -> ( i ( .s ` Z ) A ) = ( ( F ` A ) ( .s ` Z ) A ) )
33	32	neeq1d 2853	. . . . . . . . 9 |- ( i = ( F ` A ) -> ( ( i ( .s ` Z ) A ) =/= B <-> ( ( F ` A ) ( .s ` Z ) A ) =/= B ) )
34	33	rspcv 3305	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` A ) e. ZZ -> ( A. i e. ZZ ( i ( .s ` Z ) A ) =/= B -> ( ( F ` A ) ( .s ` Z ) A ) =/= B ) )
35		zringbas 19824	. . . . . . . . . . . 12 |- ZZ = ( Base ` ℤring )
36	35	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . 11 |- ( Base ` ℤring ) = ZZ
37	36	eleq2i 2693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F ` A ) e. ( Base ` ℤring ) <-> ( F ` A ) e. ZZ )
38	37	biimpi 206	. . . . . . . . 9 |- ( ( F ` A ) e. ( Base ` ℤring ) -> ( F ` A ) e. ZZ )
39	38	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F ` A ) e. ( Base ` ℤring ) /\ F = { <. A , ( F ` A ) >. } ) -> ( F ` A ) e. ZZ )
40	34, 39	syl11 33	. . . . . . 7 |- ( A. i e. ZZ ( i ( .s ` Z ) A ) =/= B -> ( ( ( F ` A ) e. ( Base ` ℤring ) /\ F = { <. A , ( F ` A ) >. } ) -> ( ( F ` A ) ( .s ` Z ) A ) =/= B ) )
41	40	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( A. i e. ZZ ( i ( .s ` Z ) A ) =/= B /\ A. i e. ZZ ( i ( .s ` Z ) B ) =/= A ) -> ( ( ( F ` A ) e. ( Base ` ℤring ) /\ F = { <. A , ( F ` A ) >. } ) -> ( ( F ` A ) ( .s ` Z ) A ) =/= B ) )
42	31, 41	sylbi 207	. . . . 5 |- ( A. i e. ZZ ( ( i ( .s ` Z ) A ) =/= B /\ ( i ( .s ` Z ) B ) =/= A ) -> ( ( ( F ` A ) e. ( Base ` ℤring ) /\ F = { <. A , ( F ` A ) >. } ) -> ( ( F ` A ) ( .s ` Z ) A ) =/= B ) )
43	30, 42	ax-mp 5	. . . 4 |- ( ( ( F ` A ) e. ( Base ` ℤring ) /\ F = { <. A , ( F ` A ) >. } ) -> ( ( F ` A ) ( .s ` Z ) A ) =/= B )
44	26, 43	eqnetrd 2861	. . 3 |- ( ( ( F ` A ) e. ( Base ` ℤring ) /\ F = { <. A , ( F ` A ) >. } ) -> ( F ( linC ` Z ) { A } ) =/= B )
45	5, 44	sylbi 207	. 2 |- ( F : { A } --> ( Base ` ℤring ) -> ( F ( linC ` Z ) { A } ) =/= B )
46	1, 45	syl 17	1 |- ( F e. ( ( Base ` ℤring ) ^m { A } ) -> ( F ( linC ` Z ) { A } ) =/= B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   _Vcvv 3200   {csn 4177   {cpr 4179   <.cop 4183   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   0cc0 9936   1c1 9937   2c2 11070   3c3 11071   4c4 11072   6c6 11074   ZZcz 11377   Basecbs 15857  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   -gcsg 17424   LModclmod 18863  ℤ_ringzring 19818   freeLMod cfrlm 20090   linC clinc 42193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-prm 15386  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-cnfld 19747  df-zring 19819  df-dsmm 20076  df-frlm 20091  df-linc 42195

This theorem is referenced by:  ldepsnlinc  42297